Эффективное применение информационных технологий при реализации сложных программ теория игр. Учебное пособие

q

1

5

Рис. 2.2. Чертеж в виде «зигзага» с результатами

q

1

1

2

5

Рис. 2.3. Объединение чертежей в виде «зигзагов»

Игра имеет три равновесные ситуации с соответствующими выигрышами:

1)p = 1; q = 1; HA(1, 1) = 2; HB(1, 1) = 1;

2)p = 0; q = 0; HA(0, 0) = –2; HB(0, 0) = –1;

3)p = 15 ; q = 12 ; HA(15 , 12 )= 12 ; HB(15 , 12 )= – 75 .

71

Вывод: из представленных трех смешанных стратегий лучшей являетсяпервая(p =q =1),котораяпозволяетхорошоподготовиться к зачету и поставить зачет.

В этой задаче реализуется относительно редкая для биматричных игр ситуация: функции выигрышей игроков достигают максимума одновременно.

Задача 2.4. Борьба за рынки. Небольшая фирма A намерена сбытьпартиютоваранаодномиздвухрынков,монополизируемых другой, более крупной фирмой B. Для этого фирма A готова предпринять для одного из рынков действие – развернуть рекламную кампанию. Фирма B может воспрепятствовать этому. Если фирмаA встречает противодействие, то терпит поражение, в противном случае – захватывает рынок. Проникновение фирмы A на первый рынок более выгодно, чем на второй, но и поражение на первом рынке принесет фирме A потери бо́льшие, чем на втором рынке. Таким образом, фирмы имеют по две стратегии: A1 и B1 – выбор первого рынка, A2 и B2 – выбор второго рынка. Составьте биматричную игру и найдите равновесие по Нэшу.

Решение. Составим платежные матрицы игроков в условных единицах:

Из этих матриц видно, что если обе фирмы выберут один рынок, то выигрывает фирма B, если разные – фирма A.

Найдем равновесные ситуации, вычислив параметры системы

(2.8):

C = –10 – 2 – 1 – 1 = –14; α = –1 – 2 = –3;

D = 5 + 2 + 1 + 1 = 9; β = 1 + 1 = 2.

Получим следующие системы неравенств:

72

Решим первую систему:

1)p = 1; –14q + 3 ≥ 0; q ≤ 143 ;

2)p = 0; –14q + 3 ≤ 0; q ≥ 143 ;

3)0 < p < 1; –14q + 3 = 0; q = 143 .

Решим вторую систему:

1)q = 1; 9p – 2 ≥ 0; p ≥ 92 ;

2)q = 0; 9p – 2 ≤ 0; p ≤ 92 ;

3)0 < q < 1; 9p – 2 = 0; p = 92 .

Представим решения этих систем на рис. 2.4.

q

1

3

14

9

Рис. 2.4. Графическое решение системы неравенств

73

Таким образом, получилась одна точка равновесия (p = 92 ,

q = 143 ).Этодаетнамследующиеоптимальныесмешанныестратегии игроков:

которым соответствуют оптимальные (средние) выигрыши:

Вывод: если игра может быть многократно повторена в схожих условиях, то фирма A в 22,22 % случаев осуществляет попытки проникновения на первый рынок, а в 77,78 % – на второй рынок.

При этом в среднем она не проиграет больше, чем 47 у. е. Фирме B

рекомендуется в 21,43 % случаев оказывать противодействие на первом рынке, а в 78,57 % – на втором. Средний выигрыш соста-

вит не менее 13 у. е.

Отметим, что в этой задаче получилась одна равновесная точка и νA ≠ νB. В других биматричных играх можно получить несколько равновесныхситуаций,как,например,вприведеннойранее«Сту- дент–Преподаватель».Существуетпроблемавыбораоптимальной в некотором смысле ситуации из нескольких равновесных. Эту задачу можно попытаться решить, исходя из содержательного смысла игры.

Из рассмотренных примеров видно, что точка равновесия

Следовательно, в равновесной ситуации выбор одного игрока полностью определяется платежной матрицей другого игрока и не зависит от собственной платежной матрицы. Иными словами,

74

равновесная ситуация определяется не столько стремлением увеличить свой выигрыш, сколько желанием держать под контролем выигрыш другого игрока.

Используя условие примера 2.4, рассмотрим задачу. Разобьем биматричную игру на две матричные игры с матрицами

Сравнивая полученные решения с решением биматричной игры, приходим к следующим выводам.

1.Оптимальный средний выигрыш игрока в матричной игре совпадаетсеговыигрышемприравновеснойситуациивбиматричной.

2.По своей матрице игрок может определить только оптимальнуюстратегию(равновеснуюпоНэшу)другогоигрока,нонесвою (для определения своей стратегии нужна матрица противника).

Данное заключение можно использовать для решения биматричных игр большей размерности, чем 2×2, только необходимо решить две матричные игры той же размерности.

В биматричных играх принцип равновесия по Нэшу не всегда приводит к ситуации, выгодной обоим игрокам.

Рассмотрим в связи следующий пример.

Задача 2.5. Дилемма узников. Игроками являются два узника, находящиеся в камере предварительного заключения по подозрению в совершении преступления. При отсутствии прямых улик возможность их осуждения в большей степени зависит от того, заговорят они или будут молчать.

Если оба будут молчать, то наказание им обоим составит ровно 1 год. Если оба сознаются, то получат срок 6 лет (признание

75

учитывается как смягчающее обстоятельство). Если заговорит только один, а другой будет молчать, то заговоривший будет выпущеннасвободу,апромолчавшийполучитмаксимальновозможное наказание – 9 лет.

Составьте и решите биматричную игру.

Решение. Выигрыши игроков описываются матрицами

Решим первую систему:

1)p = 1; 2q – 3 ≥ 0; q ≥ 32 ;

2)p = 0; 2q – 3 ≤ 0; q ≤ 32 ;

3)0 < p < 1; 2q – 3 = 0; q = 32 .

Решим вторую систему:

1)q = 1; 2p – 3 ≥ 0; p ≥ 32 ;

2)q = 0; 2p – 3 ≤ 0; p ≤ 32 ;

3)0 < q < 1; 2p – 3 = 0; p = 32 .

Представим решения этих систем на рис. 2.5.

76

q

3/2 A

1

B

Рис. 2.5. Графическое решение системы неравенств

Согласно данным рис. 2.5, «зигзаги» для A и B пересекаются только в одной точке (0,0). Показана ситуация равновесия, в которойкаждыйигроквыбираетвторуючистуюстратегию«сознаться» и теряет 6 лет: HA(0, 0) = HB(0, 0) = –6.

Отклонение от ситуации равновесия одного из игроков не дает ему преимуществ. Однако при одновременном отклонении обоих игроков каждый из них может получить больший выигрыш, чем в равновесной ситуации. Например, в ситуации (p, q) = (1, 1), когда игроки A и B выбирают первую чистую стратегию «молчать», будет потерян лишь один год. При этом очевидно, что ситуация (1, 1) неустойчива, так как любой игрок, изменяя свою стратегию, может увеличить свой выигрыш (избежать наказания).

Разобьем биматричную игру на две матричные игры с нулевой

νA = –6, p0 = (0, 1), q0 = (0, 1), νB = –1, p0 = (1, 0), q0 = (1, 0).

77

Игроку B рекомендуется придерживаться второй стратегии, а игрокуA –первой,однакоHA =–9,HB =0.Ситуацияскладывается хуже для игрока A, чем для игрока B.

Таким образом, в биматричной игре ситуация равновесия обоих игроков определяется не столько стремлением увеличить собственный выигрыш, сколько стремлением минимизировать выигрыш другого игрока.

ЗАДАЧИ

Задача 2.6. Семейный спор. Муж и Жена, договариваются совместно провести одно из двух мероприятий: «пойти на футбол» (Ф) или «отправиться в театр» (Т). При реализации первого мероприятия (Ф) выигрыш первого партнера (игрок A) вдвое больше выигрышавторого(игрокB).Вместестемприреализациивторого мероприятия (Т) выигрыш игрока A будет вдвое меньше выигрыша игрока B. Составьте биматричную игру и найдите равновесие по Нэшу.

Решение. Составим платежные матрицы игроков в условных единицах, исходя из соответствующих качественных соображений. Матрицы выигрышей имеют вид

Игра имеет три равновесные ситуации с соответствующими выигрышами:

1)p = 1; q = 1; HA(1, 1) = 2; HB(1, 1) = 1;

2)p = 0; q = 0; HA(0, 0) = 1; HB(0, 0) = 2;

Очевидно, что для первого игрока предпочтительнее ситуация (A1; B1), а для второго (A2; B2), и эти ситуации являются равновесными, хотя стратегии (A1; B1) и (A2; B2) являются оптимальными, поскольку дают максимальные выигрыши, но приносят игрокам неодинаковые выигрыши, поэтому не являются справедливыми.

78

2.2. Оптимальность по Парето

Другим способом определения оптимальности в биматричных играх является принцип оптимальности по Парето.

Определение 2.2. Ситуация (p*, q*) в биматричной игре двух лиц A и B называется оптимальной по Парето, если из того, что

cледуют равенства p = p*, q = q*, т. е. не существует ситуации (p, q), для которой имеют место неравенства (2.10). Среди этих неравенств по крайней мере одно должно быть строгим.

В оптимальной ситуации по Парето все игроки, действуя совместно, не могут увеличить выигрыш каждого, не уменьшив при этом выигрыш одного из них. Однако, в отличие от ситуации по Нэшу, ни один из игроков, действуя в одиночку, не может увеличить своего собственного выигрыша.

Покажем, как на практике отыскать оптимальную ситуацию по Парето в биматричной игре 2×2. Введем обозначения

и рассмотрим плоскость (U, V). На плоскости (U, V) найдем целевую точку, в качестве координат которой выберем сочетание наи-

Вследствие того, что такая точка (T ) при заданных ограничениях не реализуется, ее называют точкой утопии.

Строим множество точек, отвечающее соотношениям (2.11), определяем множество Парето, отвечающее заданным условиям на переменные p, q, и находим на нем точку, ближайшую к точке утопии T. Именно такая точка и будет идеальной, отвечающей

принципу оптимальности по Парето: P (UП, VП ). Найдя идеальную точку P и используя соотношения (2.11), можно определить также значения pП, qП , при которых она достигается, где(pП, qП ) – оптимальная ситуация по Парето.

79

V

U

Рис. 2.6. ГрафическоеизображениемножестваПарето

МножествоПарето–множествотехграничныхточек,отвечаю- щих соотношениям (2.11), перемещение которых по границе построенногомножествауменьшаетоднуизкоординат(UилиV)при одновременном увеличении другой (рис. 2.6, дуга Г).

Задача 2.7. Построить множество Парето для задачи 2.5. Решение. По формулам (2.4), (2.4а) находим

U = HA(p, q) = 2pq – 3p + 6q – 6;

V = HB(p, q) = 2pq + 6p – 3q – 6; (2.12) 0 ≤ p ≤ 1, 0 ≤ q ≤ 1.

Найдем границы множества точек, удовлетворяющих (2.12). Рассмотримкрайниезначенияпеременныхpиqиприведемихнарис.2.7.

1) при p = 0 имеем

−9≤V ≤ −6

80