Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Эффективное применение информационных технологий при реализации сложных программ теория игр. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Максимизация цены игры v эквивалентна минимизации вели-

чины 1v .

Задача линейного программирования может быть сформулирована так: определить значения переменных xi ≥ 0, i = 1, ..., m таким образом, чтобы они удовлетворяли линейным ограничениям (1.24), и при этом линейная функция

Z = x1 + x2 + ... + xm

(1.25)

обращалась в минимум. Это задача линейного программирования, при решении которой получаем оптимальное решение

(p10, p20, ..., pm0 ) и оптимальную стратегию SA0 .

Для определения оптимальной стратегии SB0 =(q10, q20, ..., qn0 ) следуетучесть,чтоигрокBстремитсяминимизироватьгарантиро-

ванный выигрыш, т. е. найти max 1v. Переменные q1, q2, ..., qn удовлетворяют неравенствам

a q +a q				+...+a		q	n	≤ v;
11 1	12	2			1n		n
a21q1 +a22q2 +...+a2nqn ≤ v;											(1.26)
............................................											(1.26)

a q	+a		q	2	+...+a q				n	≤ v,
m1 1	m2			2		mn			n

которыеследуютизтого,чтосреднийпроигрышигрокаBнепревосходитценыигры,какуюбычистуюстратегиюнеприменялигрокA.

Если обозначить

y	=	q1	, y	=	q2	, ..., y=	qn	,
		v			v
1			2			n	v

то получим систему неравенств

a y +a y +...+a y ≤1;
	11 1	12 2			1n	n		≤1;
a y +a y			2	+...+a		y	n	≤1;
	21 1	22	2		2n		n
...........................................

a y		+a	y	2	+...+a y				n	≤1.
	m1 1	m2		2	mn				n

(1.27)

(1.28)

Переменныеyj ( j =1,...,n)удовлетворяютусловиюy1 + y2 +...+

+ yИграn = v .свелась к следующей задаче: определить значения переменных yj ≥ 0, j = 1, ..., n, которые удовлетворяют системе неравенств (1.28) и максимизируют линейную функцию

Z' = y1 + y2 + ... + yn.

(1.29)

Решение задачи линейного программирования (1.27), (1.28) определяет оптимальную стратегию SB0 =(q10, q20, ..., qn0 ).

Таким образом, цена игры

v =	1	=	1	.	(1.30)
	max Z ′		minZ

Составив расширенные матрицы для задач (1.24)–(1.25) и (1.28)–(1.29), убеждаемся, что одна матрица получилась из другой транспонированием:

				≥							≤
	a21	...	am1		1			a12	...	a1n		1

a11							a11
a12	a22	...	am2		1		a21	a22	...	a2n		1
... ... ... ...					...	↔	... ... ... ...					...
	a2n	...	amn		1			am2	...	amn		1
a1n							am1


	1	...	1					1	...	1
1				minZ			1				max Z ′

Таким образом, задачи линейного программирования (1.24)– (1.25) и (1.28)–(1.29) являются взаимно двойственными. Очевидно, при определении оптимальных стратегий в конкретных задачах следует выбрать взаимно двойственную задачу с менее трудоемкимрешением,адругуюзадачурешитьспомощьютеорем двойственности. Приведем пример задачи, которая описывается игровыми моделями m×n и может быть решена методами линейного программирования.

Задача 1.26. Построить прямую и двойственную задачи линейного программирования и решить матричную игру, заданную

платежной матрицей
3		3	6	8
	9	10	4	2
					.
	7	7	5	4

Решение. Задача сводится к игровой модели, в которой игра задана платежной матрицей (табл. 1.10).

Прежде чем решать задачу, можно попытаться упростить игру, проведя анализ платежной матрицы и отбросив стратегии, заведомо невыгодные или дублирующие.

Так,элементывторогостолбцабольшеэлементовпервогостолбца. Соответственно, вторая стратегия (см. второй столбец матрицы в табл. 1.10) является явно невыгодной для игрока B по сравне- ниюспервой,таккакцельигрокаB–уменьшитьвыигрышигрока A. Поэтому второй столбец можно отбросить.

Получим матрицу размера 3×3:
3		6	8
	9	4	2
P =	9	4	2	.
	7	5	4
	7	5	4			Таблица 1.10
						Таблица 1.10

Bj			B1		B2	B3	B4
Ai			B1		B2	B3	B4
Ai
A1			3		3	6	8
A2			9		10	4	2
A3			7		7	5	4
						Таблица 1.11

Bj			B1		B3	B4	αi
Ai			B1		B3	B4	αi
A1			3		6	8	3
A2			9		4	2	2
A3			7		5	4	4
βj			9		6	8	4
βj			9		6	8	6
							6

Определим нижнюю и верхнюю цены игры в табл. 1.11. Если α ≠ β, то седловая точка отсутствует и оптимальное решение сле-

дует искать в смешанных стратегиях игроков: SA0 =(p10, p20, p30 ) и

SB0 =(q10, q20, q30 ).

Обозначив xi = pνi , i = 1, 2, 3 и yj = qνj , j = 1, 2, 3, составим

две взаимно двойственные задачи линейного программирования

(см. (1.23)–(1.24) и (1.27)–(1.28)):

	3x +9x			2	+7x ≥1		3y +6y			2	+8y ≤1
		1			3			1			3
1)	6x1 +4x2 +5x3 ≥1 ;					2)	9y1 +4y2 +2y3 ≤1 ;
			+2x2		+4x3 ≥1				+5y2		+4y3 ≤1
	8x1						7y1
	x1 ≥0, x2 ≥0, x3 ≥0 ;						y1 ≥0, y2 ≥0, y3 ≥0;
	Z = x1 + x2 + x3 → min;						Z' = y1 + y2 + y3 → max.

Решаем вторую задачу симплексным методом, поскольку для нее первое базисное решение является допустимым. Введем добавочные переменные и перейдем к уравнениям:

3y1 +6y2 +8y3 + y4 =19y1 +4y2 +2y3 + y5 =1;7y1 +5y2 +4y3 + y6 =1

yj ≥0, =j 1,2,...,6.

Первый шаг. Основные переменные ( y4, y5, y6) и неосновные переменные (y1, y2, y3).

y	=1	−3y	−6y	−8y
4		1	2	3
y5 =1−9y1 −4y2 −2y3;
y	=1	−7y	−5y	−4y
6		1	2	3

Z ′= y1 + y2 + y3.

Базисное решение Y1 = (0; 0; 0; 1; 1; 1) – допустимое. Переводим y2 в основные, y4 – в неосновные переменные.

Второй шаг. Основные переменные ( y2, y5, y6) и неосновные

переменные (y1, y3, y4).

Получим после преобразований:

y	2	=	1 −			3 y				− 8 y − 1 y
	2		6			6		1			6		3	6			4
			6			6					6			6
			1	−7y1 +							10		y3 +		2		y4 ;
y5 =			3	−7y1 +							3		y3 +		3		y4 ;
			3								3				3
y		=	1 −			27 y						−16 y			+		5 y
6			6				6			1			6	3			6		4
			6				6						6				6
			1				1				2				1
Z ′= 6					+		2 y1 − 6 y3							−	6 y4.
Базисным решением является											Y2			0;		1		;0;0;		1	;	1
Базисным решением является											Y2		=	0;		6		;0;0;		3	;	. Переводим
																6				3		6
y4 в основные y1 =min	1		;		1		;			1			1		. Переводим y6 в неоснов-

		3			21								27
ные переменные.		3			21				27				27
ные переменные.

Третий шаг. Основные переменные ( y1, y2, y5) и неосновные

переменные (y1, y3, y4, y6):
y =		1				− 16 y							+		5		y		4	−			6		y
y =						− 16 y							+				y			−					y
1		27							27			3			27							27				6
		27							27						27							27
	=	4					−		28		y3 −				7						+	1
y2																	y4							y6			;
y2		27							27						27		y4					9		y6			;
		27							27						27							9
y	=		2				+			202 y				− 17 y								+14 y
y	=						+			202 y				− 17 y								+14 y
5		27							27				3		27					4				9			6
		27							27						27									9
		5							17						2							1
Z ′=								− 27 y3 −										y4			− 9 y6.
Z ′=				27				− 27 y3 −								27		y4			− 9 y6.
									1				4									2
Базисное решение: Y3					=						;				;0;0;									;0			.
Базисное решение: Y3					=				27		;		27		;0;0;						27			;0			.
									27				27								27

Так как отсутствуют положительные коэффициенты при неосновных переменных, то критерий оптимальности выполнен,

	5			1		4		2
max Z' =		и базисное решение Y3	=		;		;0;0;		;0	является
	27			27		27		27

оптимальным.

Установим соответствие между переменными взаимно двойственных задач и определим оптимальное базисное решение задачи с помощью теорем двойственности:

											x1 x2 x3 x4 x5 x6

											y4 y5 y6 y1 y2 y3
											2	0	1	1	0	17.
										27			9	2		27
Оптимальное базисное решение																	2			; 0;	1	;	1	;0;	17			, причем

																	27				9		2			27
							5										27				9		2			27
min Z = max Z' =							5		. Из соотношений (1.30) находим цену игры:
min Z = max Z' =						27			. Из соотношений (1.30) находим цену игры:
		1		1		27			27
v =		1	=	1				=	27	=5,4.
v =	max Z ′		=		minZ			=	5	=5,4.				=(p10,			p20, p30 )
	max Z ′				minZ				5
Оптимальную стратегию SA0																						находим,					используя
(1.23):		p0 = x . v, т. е.							p0	= 5,4			2	=0,4,				p0	= 5,4			.0=0,				p0 = 5,4 1 =
(1.23):		p0 = x . v, т. е.							p0	= 5,4				=0,4,				p0	= 5,4			.0=0,				p0 = 5,4 1 =
		i		i					1				27				2									3		9
= 0,6, SA0 = (0,4; 0; 0,6).													27															9
= 0,6, SA0 = (0,4; 0; 0,6).
Оптимальная стратегия спроса SB0																		определяется аналогично:
qj = yj . v,			j = 1, 2, 3, т. е. SB0									=(0,2; 0; 0,8; 0). В данном случае вто-

рой столбец исходной матрицы был отброшен как невыгодный.

Ответ: SA0 =(0,4; 0; 0,6); SB0 =(0,2; 0; 0,8; 0); v = 5,4.

Прирешениипроизвольнойконечнойигрыразмераm×n рекомендуется придерживаться следующей схемы.

1.Исключить из платежной матрицы заведомо невыгодные стратегиипосравнениюсдругимистратегиями.Такимистратегиями для игрока A (игрока B) являются те, которым соответствуют строки (столбцы) с элементами, заведомо меньшими (большими) по сравнению с элементами других строк (столбцов).

2.Определить верхнюю и нижнюю цены игры и проверить, имеет ли игра седловую точку. Если седловая точка есть, то соот-

ветствующие ей стратегии игроков будут оптимальными, а цена совпадет с верхней (нижней) ценой.

3. Если седловая точка отсутствует, то решение следует искать в смешанных стратегиях. Для игр размера m×n рекомендуется симплексный метод, для игр размера 2×2, 2×n, n×2 возможно геометрическое решение.

ЗАДАЧИ

Задача 1.27. Решить матричную игру, заданную приведенной ниже матрицей, сведя ее к паре двойственных задач линейного программирования:

5		−8	7	−6	0
	8	−5	9	−3	2
P =						.
	−2	7	−3	6	−4

Решение.Проверим,имеетлиплатежнаяматрицаседловуюточ-

ку (табл. 1.12).

							Таблица 1.12

Ai	Bj	B1	B2	B3	B4	B5	αi
		B1	B2	B3	B4	B5	αi

A1		5	–8	7	–6	0	–8
A2		8	–5	9	–3	2	–5
A3		–2	7	–3	6	–4	–4
βj		8	7	9	6	2	α = –4
βj		8	7	9	6	2	β = 2
							β = 2

Согласно табл. 1.12, α < β, следовательно, седловой точки нет. Находим решение игры в смешанных стратегиях: игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии – им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (например, смешивать чистые стратегии).

Проверим платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы. Вторая строка доминирует первую, отбросим первую строку и получим

5		−8	7	−6	0	8 −5		9 −3 2
	8	−5	9	−3	2
						~	−2 7	−3 6 −4	.
	−2	7	−3	6	−4

С точки зрения проигрышей игрока В стратегия B5 доминирует над стратегией B1 (все элементы столбца 5 меньше элементов столбца 1), следовательно, исключаем 1-й столбец матрицы

−5		9	−3	2
	7	−3	6	−4	.

Вероятность q1 = 0. С точки зрения проигрышей игрока В стратегия B5 доминирует над стратегией B3 (все элементы столбца 5 меньше элементов столбца 3), следовательно, исключаем третий

столбец матрицы
−5		−3	2
	7	6	−4	.
	7	6	−4

Вероятность q3 = 0.

Так, мы свели игру 3×5 к игре 2×3. Если игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока 1 будет случайной величиной. Тогда игрок 1 должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш. Аналогично, игрок 2 должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока 1. В матрице присутствуют отрицательные элементы. Для упрощения расчетов добавим к элементам матрицы 5

0		2	7
	12	11	1	.

Данная замена не повлияет на решение игры, только ее цену (по теореме фон Неймана). Найдем решение игры в смешанных стратегиях.

Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать следующим образом:

	12x	2	≥1		2y2 +7y3 ≤	1

1)	2x1	+11x2 ≥1		2)		+ y3 ≤1
		+ x2 ≥1			12y1 +11y2
	7x1				y1 ≥0, y2 ≥0, y3 ≥0
	x1 ≥0, x2 ≥0

Z = x1 + x2 →min;				Z ′= y1 + y2 + y3 →max.

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы. Для построенияпервогоопорногопланасистемунеравенствприведем ксистемеуравненийпутемвведениядополнительныхпеременных (переход к канонической форме):

2y		+7y	+ y	=1	.
	2	3	4		.
12y1 +11y2 + y3 + y5 =1

Решимсистемууравненийотносительнобазисныхпеременных y4, y5. Исходя из того что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: Y0 = (0, 0, 0, 1, 1) (табл. 1.13).

						Таблица 1.13

Базис	b	y1	y2	y3	y4		y5
y4	1	0	2	7	1		0
y5	1	12	11	1	0		1
Z'	0	–1	–1	–1	0		0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода. Итерация № 0. Текущий опорный план неоптимален, так

как индексная строка содержит отрицательные коэффициенты. Вкачествеведущеговыберемстолбец,соответствующийпеременной y3. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления

b		1		1	1
i	и выберем наименьшее	min		; =		. Следовательно,
ai3			7		7
				1

						Таблица 1.14

Базис	b	y1	y2	y3	y4		y5
y4	1	0	2	7	1		0
y5	1	12	11	1	0		1
Z'	0	–1	–1	–1	0		0

						Таблица 1.15

Базис	b	y1	y2	y3	y4		y5
y3	1	0	2	1	1		0
y3	7	0	7	1	7		0
	7		7		7

y5	6	12	75	0	−1		1
	7		7		7
Z'	1	–1	−5	0	1		0
	7		7		7

первая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен 7 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки (табл. 1.14).

Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной y4 в текущий опорный план войдет переменная y3. Таким образом, получаем новую симплекс-таблицу (табл. 1.15).

Итерация № 1. Текущий опорный план неоптимален, так как индексная строка содержит отрицательные коэффициенты. Вкачествеведущеговыберемстолбец,соответствующийпеременной y1, как наибольший коэффициент по модулю. Вычислим зна-

чения Di по строкам в форме частного от деления				bi	и из них вы-

		1		ai1
берем наименьшее			. Следовательно, вторая строка является
	14

ведущей.Разрешающийэлементравен12инаходитсянапересечении ведущего столбца и ведущей строки (табл. 1.16).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]