Эффективное применение информационных технологий при реализации сложных программ теория игр. Учебное пособие

P o = (1/2, 1/2).

1.4.2. Алгоритм геометрического решения игры m×2

Приведём алгоритм.

1.Откладываем горизонтальный отрезок [0, 1], каждая точка которого соответствует смешанной стратегии игрока B. Два перпендикуляра проводятся в концах этого отрезка. Левый соответствует чистой стратегии B1, правый – чистой стратегии B2 игрока B.

2.На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с горизонтальным отрезком откладываем (как на вертикальной

41

числовой оси) все элементы первого столбца платежной матрицы. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0, 1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все элементы второго столбца платежной матрицы. При этом масштабы на обоих перпендикулярах должны быть одинаковыми, но они не всегда могут быть идентичны масштабу отрезка [0, 1].

3.Каждуюпаруточексэлементами ai1,ai2,i = 1,...,m,стоящими

вi-й строке платежной матрицы, соединяем отрезком ai1, ai2. Будет построено m отрезков, представляющих собой графики m линейных функций, зависящих от вероятности(q): H(Ai, Q)=(ai2 – ai1)q +

+ai1; i = 1, ..., m, q [0, 1].

4.Находим верхнюю огибающую семейства построенных от-

резков ai1, ai2, представляющую собой выпуклую вниз ломаную. Затем находим минимальную точку верхней огибающей. Абсцисса qo этой точки определяет оптимальную смешанную стратегию Qo =(1 – qo, q o) игрокаB. Ордината наинизшей точки верхней огибающей равна цене игры ν.

5.Верхний из нижних концов отрезков ai1, ai2 – нижняя цена игры в чистых стратегиях, т. е. α. Нижний из концов верхней оги- бающей(лежащихнаперпендикулярах)–верхняяценаигрывчи- стых стратегиях, т. е. β.

6.Элемент платежной матрицы, изображающая точка которого является нижним концом отрезка, на котором она лежит, и верхней на перпендикуляре, на котором она лежит, будет седловой точкой игры. В этом случае чистая стратегия игрока A, номер которой совпадает с первым индексом седловой точки, является оптимальной.

Задача 1.21. Графически решить игру:

42

Решение. Действуя по алгоритму геометрического нахождения игры m×2 (рис. 1.8), находим, что цена игры ν = 4, нижняя цена игры a = 3, верхняя цена игры b = 5.

Таким образом, оптимальная стратегия игрока B будет Q o = = (2/3, 1/3).

Графический метод решения матричных антагонистических игр дает приближенное решение. Для получения более точных вычислений стоит воспользоваться аналитическим методом. Преимущество графической интерпретации в том, что она может определить нижнюю и верхнюю цены игры, средний выигрыш,

43

а также заведомо невыгодные стратегии по графику. Для решения игры 2×n необходимо найти стратегии, при пересечении которых была выявлена точка P o, для решения игры m×2, – стратегии, при пересечении которых была выявлена точка Qo. Эти стратегии являются активными, остальные – пассивными. Используя только активные стратегии, решим игру 2×2.

Задача 1.22. Решить матричную игру

Определим максиминную стратегию: α1 = –3; α2 = –6, α = –3 (см. столбец αi).

Максиминная стратегия – строка A1.

Определим минимаксную стратегию: β1 = 5; β 2 = 8; β 3 = 9; β4 = 12; β 5 = 13; β = 5 (см. столбец βj). Максиминная стратегия – столбец B1.

Согласно табл. 1.9, α < β, следовательно, cедловой точки нет.

Решим матричную игру графически. Построим прямые, соответствующие стратегиям игрока В (см. рис. 1.9).

Ломаная B4KMB5 соответствует нижней границе выигрыша. Нанейопределяемточку Kсмаксимальнойординатой,котораяявляетсяценойигры(ν=KN).ОптимальныестратегиидляигрокаВ– первая и четвертая.

44

45

Задача 1.23. Найти решение игры заданной матрицей

Решение. Седловой точки нет, так как 7 ≠ 11. Решим матричную игруграфическимспособом.Построимпрямые,соответствующие стратегиям игрока А (рис. 1.10).

Ломаная A1PKMA4 изображает верхнюю границу выигрыша игрока А. На нем определяем К с минимальной ординатой, кото-

A4 A1

N

Рис. 1.10. Решение игры для игрока В

46

рая является ценой игры (ν = KN). Оптимальные стратегии для игрока А – вторая и третья. Матрица оптимальных стратегий имеет вид

ЗАДАЧИ

Задача 1.24. Найти решение задачи графическим способом:

Решение.Изобразимграфическуюинтерпретациюданнойигры

(рис. 1.11).

Цена игры ν = 0,7.

ПриопределенииоптимальнойстратегииигрокаАнаходиминтервал значения x2 и определяем x1:

0,5 ≤ x2 ≤ 0,6, x1 = 1 – x2.

При наличии горизонтального участка оптимальной чистой стратегией игрока В будет стратегия, соответствующая этому

47

Рис. 1.11. Графическая интерпретация игры согласно задаче 1.24

горизонтальному участку (В2):

y2 = 1; y1 = y3 = 0.

Ответ: ν = 0,7; SA =( x1; x2); x2 [0,5; 0,6]; x1 =1– x2; SB = =(0;1;0).

Задача 1.25. Определить графическим способом решение игровой задачи:

Решение.Изобразимграфическуюинтерпретациюданнойигры

(рис. 1.12).

48

Рис. 1.12. Графическая интерпретация игры согласно задаче 1.25

1.5. Приведение матричной игры к паре двойственных задач линейного программирования

Игра m×n в общем случае не имеет наглядной геометрической интерпретации. Ее решение достаточно трудоемко при больших значениях m и n, но может быть сведено к решению задачи линейного программирования.

Пусть игра m×n задана платежной матрицей p = (aij): i = 1, ..., m; j = 1, ..., n. Игрок A обладает стратегиями A1, A2, ..., Am, игрок B – стратегиями B1, B2, ..., Bn. Необходимо определить оптимальные стратегии SA0 =(p10, p20, ..., pm0 ) и SB0 =(q10, q20, ..., qn0 ), где pi0 ,

q0j – вероятности применения соответствующих чистых стратегий

Ai, Bj, p10 + p20 +...+ pm0 =1, q10 +q20 +...+qn0 =1.

Оптимальная стратегия SA0 удовлетворяет следующему требованию. Она обеспечивает игроку A средний выигрыш, не меньший,

49

чемценаигрыv прилюбойстратегииигрокаB,ивыигрыш,равный цене игры v, при оптимальной стратегии игрока B. Без ограничения общности полагаем v > 0, при этом результата можно добиться,сделаввсеэлементыaij ≥ 0.ЕслиигрокA применяетсмешанную

стратегию SA0 =(p10, p20, ..., pm0 ) против любой чистой стратегии Bj

игрока B, то он получает средний выигрыш, или математическое

ожидание выигрыша aj = a1j p1 + a 2j p2 + ... + amj pm, j = 1, ..., n (т.е.элементыj-гостолбцаплатежнойматрицыпочленноумножа-

ютсянасоответствующиевероятностистратегийA1,A2,...,Am и результаты складываются).

Дляоптимальнойстратегии SA0 всесредниевыигрышинеменьше цены игры v, поэтому получаем систему неравенств

Каждое из неравенств можно разделить на число v > 0. Введем новые переменные:

Цель игрока A – максимизировать свой гарантированный выигрыш, т. е. цену игры v. Разделив на v ≠ 0 равенство p1 + p2 + ... + + pm = 1, получаем переменные xi (i = 1, ..., m), которые удовлетво-

ряют условию x1 + x2 + ... + xm = 1v .

50