Эффективное применение информационных технологий при реализации сложных программ теория игр. Учебное пособие

Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной y5 в план 2 войдет переменная y1. Таким образом, получаем новую симплекс-таблицу (табл. 1.17).

Оптимальный план можно записать следующим образом:

y1 =141 , y2 =0 , y3 = 17 ; Z ′=1141 +1 0 +117 =143 .

Используя последнюю итерацию прямой задачи, найдем оптимальный план двойственной задачи: x1 = 8411 , x2 =121 .

Применяя теоремы двойственности, можно получить анало-

гичное решение: Z =18411 +1121 =143 .

Цена игры: ν =1 :143 =143 , p1 =143 8411 =1811 , p2 =143 121 =187 .

61

Если ранее к элементам матрицы было прибавлено число 5,

то теперь вычтем это число из цены игры: 143 −5= −13 .

Следовательно, цена игры: ν= −13 .

Поскольку из исходной матрицы были удалены строки и столб-

цы, то найденные векторы вероятности можно записать в виде

Задачa 1.28. Определить с помощью линейного программирования решение игровой задачи вида

Задача 1.29. Определить с помощью линейного программирования решение игровой задачи вида

62

Задача 1.30. Выполнив возможные упрощения платежной матрицы А, решите игру в смешанных стратегиях, сведя ее к паре двойственных задач линейного программирования, если

Найдите оптимальные стратегии игроков и цену игры.

2.БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

2.1.Смешанные стратегии. Равновесие по Нэшу

Вматричной игре интересы двух игроков были прямо противоположны, т. е. речь шла об антагонистической игре. Однако гораздо чаще случаются ситуации, в которых интересы игроков хотяинесовпадают,нонеобязательноявляютсяпротивоположными.

Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой два участника имеют следующие возможности для выбора своей линии поведе-

ния: игрок A может выбрать любую из стратегий (A1, A2, ..., Am), игрок B – любую из стратегий (B1, B2, …, Bn).

При этом в ситуации (Ai, Bj) выигрыш первого игрока будет ра-

вен aij, а выигрыш – второго bij. Причем bij ≠ aij. Получаем две платежные матрицы размерности m×n:

гдеA –платежнаяматрицапервогоигрока;B–платежнаяматрица второго игрока.

63

Вданном случае речь идет о биматричной игре двух игроков

сплатежными матрицами (2.1).

Вместе с тем отметим, что при bij = –aij получаем обычную матричную игру.

Биматричная игра – это игра с ненулевой суммой.

Класс биматричных игр значительно шире класса матричных (разнообразие новых моделируемых конфликтных ситуаций весьма заметно), а следовательно, требуют больших усилий при решении.

Рассмотрим один пример биматричной игры.

Задача 2.1. Студент–Преподаватель. Студент (игрок A) готовит-

ся к зачету, который принимает Преподаватель (игрок B). Предпо- ложим,чтоуСтудентадвестратегии–подготовитьсяксдачезачета

(+)инеподготовиться(–),уПреподавателятакжедвестратегии– поставить зачет [+] и не поставить зачет [–].

Рассмотрим выигрыш студента. При варианте «сдал зачет» (+) оценка может быть заслужена при условии, что он «готовился к зачету» (+), и не заслужена, когда Преподавателя «удалось обмануть» (+), притом что Студент «не готовился к зачету» (–). Если «не сдал зачет» (–), то «оценка заслужена» (+), если «не готовился к зачету» (–), и «очень обидно» (–), если «готовился к зачету» (+).

Также строится и выигрыш Преподавателя. При варианте, если Преподаватель «поставил зачет» (+), то «все нормально» (+) при условии, что Студент «готовился к зачету» (+), и «дал себя обмануть» (+) при условии, что Студент «не готовился к зачету» (–). Преподаватель «не поставил зачет» (–) при условии, что Студент «опять придет» (–), раз он «не готовился к зачету» (–), и «был не прав» (–), если Студент «готовился к зачету» (+).

Количественно выигрыши можно выразить, например, так:

В приведенной задаче описана ситуация, в которой интересы игроков не совпадают. Встает вопрос о том, какие рекомендации необходимо дать игрокам для того, чтобы моделируемая кон-

64

фликтная ситуация разрешилась. Иными словами, что мы будем понимать под решением биматричной игры?

Ответимнаэтовопростак:вследствиетого,чтоинтересыигроковнесовпадают,намследуетпостроитьтакоекомпромиссноерешение, которое бы в том или ином, но в одинаковом смысле удовлетворяло обоих игроков.

Попробуемнайтинекуюравновесную ситуацию,явноеотклонение от которой уменьшало бы выигрыш одного из игроков.

Подобныйвопросмыставилииприрассмотренииматричныхигр. Определение 2.1. Ситуация (i0, j0) биматричной игры называется ситуацией равновесия (равновесной по Нэшу) в чистых стратегиях,

если aij0 ≤ ai0j0 для любых i=1,...,m иbi0j ≤ bi0j0 для любых j =1,...,n. ДлятогочтобынайтиравновесиепоНэшувчистыхстратегиях,

необходимо найти в каждом столбце матрицы выигрышей игрока A максимальный элемент и подчеркнуть его. В каждой строке матрицы выигрышей игрока B нужно подчеркнуть максимальный элемент аналогичным образом. Если в обеих матрицах будет подчеркнут элемент, стоящий на одном и том же месте, то его положение и определит ситуацию равновесия в игре. Заметим, что в биматричной игре (в отличие от матричной) выигрыши игроков при наличии нескольких ситуаций равновесия могут различаться.

Задача2.2.Найтивсеситуацииравновесиявбиматричнойигре

Решение. В матрицах A и B подчеркнем максимальные элементы, стоящие в столбцах и строках, соответственно

65

Следовательно, общий подчеркнутый элемент стоит в позиции (3,3), т. е. единственная ситуация равновесия Ai0 = A3, B0j = B3,

ивыигрыши игроков следующие: νA = 5, νB = 6.

Вбиматричных играх, как и в матричных, можно использовать принцип строгого доминирования для удаления заведомо невыгодных стратегий у игроков A и B.

Напомним, что возникающее при разработке минимаксного подхода понятие равновесной ситуации приводило нас к поиску седловой точки, которая существует только при ограничении чистых стратегий игроков A и B, т. е. стратегиями A1, A2, ..., Am;

B1, B2, …, Bn.

Однако при расширении матричной игры через переход к смешаннымстратегиямреализуетсятакоеповедениеигроков,прикотором они чередуют (чистые) стратегии с определенными частотами:

– игрок A – стратегии A1, A2, ..., Am с частотами p1, p2, ..., pm,

i=1

–игрок B – стратегии B1, B2, …, Bn с частотами q1, q2, ..., qn,

j=1

Следуетотметить,чтовсмешанныхстратегияхравновеснаяситуация всегда существует, иными словами, любая матричная игра в смешанных стратегиях разрешима.

Поэтому, рассматривая биматричные игры, перейдем к смешанным стратегиям игроков и определим средние выигрыши игроков математическим ожиданием

= (p10, p20, ..., pm0 ) и q0 =(q10, q20, ..., qn0 ) определяет равновесную си-

туацию (равновесие по Нэшу), если при любых p и q, удовлетворяю-

66

Неравенства (2.3) означают, что отклонение игрока от равновесной ситуации (p0, q0) может только уменьшить выигрыш.

Таким образом, если равновесная ситуация существует, то отклонение от нее невыгодно самому игроку.

На вопрос о существовании ситуации равновесия отвечает следующая теорема.

Теорема2.1(теоремаДж.Нэша).Всякаябиматричнаяиграимеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стратегиях.

Соответственно, равновесная ситуация существует.

Если некоторая пара чисел ( p0, q0) претендует на то, чтобы определять ситуацию равновесия, то для того, чтобы убедиться в обоснованности или доказать необоснованность этих претензий, необходимо проверить справедливость неравенств (2.3) для любого p (в пределах от 0 до 1) и для любого q (в пределах от 0 до 1). Число таких проверок бесконечно. Следовательно, нужно искать другой действенный способ определения равновесной ситуации.

Рассмотрим биматричную игру 2×2

с вероятностями p1 = p, p2 = 1 – p; q1 = q, q2 = 1 – q.

Вычислим средние выигрыши игроков по следующим формулам:

HA (p, q) a11=pq a12+p(1 q)− a21+(1 p)−q a22+(1 p)(−1 q); (2.4)

HB (p, q) b11=pq b12+p(1 q)− b21+(1 p)−q b22+(1 p)(−1 q)−. (2.4а)

Справедлива следующая теорема, позволяющая находить смешанные стратегии.

67

Теорема 2.2. Выполнение неравенств (2.3),

HA(p, q0) ≤ HA(p0, q0), HB(p0, q) ≤ HB(p0, q0).

равносильно выполнению следующих неравенств:

Другимисловами,чтобыубедитьсявтом,чтопара(p0,q0)определяет равновесную ситуацию, достаточно проверить справедливостьнеравенств(2.3)недлявсехp [0,1] иq [0,1],атолькодля двух чистых стратегий каждого игрока.

Перепишем формулу (2.4) в более удобном виде:

HA(p, q) = (a11 – a12 – a21 + a22)pq + (a12 – a22)p + (a21 – a22)q + a22.

Положим p = 0 и p = 1:

HA(1, q) = (a11 – a12 – a21 + a22)q + a12 + (a21 – a22)q;

HA(0, q) = (a21 – a22)q + a22.

Рассмотрим разности

HA(p, q) – HA(1, q) = (a11 – a12 – a21 + a22)pq + (a12 – a22)p –

– (a11 – a12 – a21 + a22)q + a22 – a12;

HA(p, q) – HA(0, q) = (a11 – a12 – a21 + a22)pq + (a12 – a22)p.

Полагая

получим для них следующие выражения:

HA(p, q) – HA(1, q) = Cpq – αp – Cq + α = = Cq(p – 1) – α(p – 1) = (p – 1)(Cq – α);

68

HA(p, q) – HA(0, q) = Cpq – αp = p(Cq – α).

Так как в точке равновесия эти разности должны быть неотрицательными, то приходим к следующей системе неравенств:

Для того чтобы пара (p, q) определяла равновесную ситуацию в биматричнойигре2×2,необходимоидостаточновыполнениеследующей системы:

где C, D, α, β вычисляются по формулам (2.6)–(2.7). Задача 2.3. Найдите равновесие по Нэшу для задачи 2.1.

Решение. Вычислим параметры, входящие в систему (2.8):

C = 2 – (–1) – 1 + 0 = 2, α = 0 + 1 = 1;

D = 1 – (–3) – (–2) – 1 = 5, β = –1 – (–2) = 1.

Получим следующие системы неравенств:

69

Решим первую из систем:

1)p = 1; 2q – 1 ≥ 0; q ≥ 12 ;

2)p = 0; 2q – 1 ≤ 0; q ≤ 12 ;

3)0 < p < 1; q = 12 .

Перенесем эти результаты на чертеж в виде «зигзага» (рис. 2.1). Решим вторую систему:

1)q = 1; 5p – 1 ≥ 0; p ≥ 15 ;

2)q = 0; 5p – 1 ≤ 0; p ≤ 15 ;

3)0 < q < 1; 5p – 1 = 0; p = 15 .

Перенесем результаты на чертеж в виде «зигзага» (рис. 2.2). Объединим рисунки (рис. 2.3).

q

1

1

2

5

Рис. 2.1. Чертеж в виде «зигзага»

70