Элементы квантовой физики, атомной физики, физики ядра, физики элементарных частиц, физики твердого тела. Учебное пособие

Внутренняя энергия одного моля с учетом колебаний осциллятора в трех независимых направлениях

ω

При высоких температурах, разлагая экспоненту в ряд ekT 1 kTω

и пренебрегая малыми слагаемыми, можно получить молярную теплоемкостьCV 3R , совпадающую с законом Дюлонга и Пти.

При низких температурах, когда T 0 ,

Выражение (3.7) не согласуется с экспериментом, в котором при

T 0 теплоемкость уменьшается пропорционально T3 . НесоответствиетеорииЭйнштейнаэкспериментуобъясняетсяупро-

щением использованной модели: считалось, что все осцилляторы независимы друг от друга и колеблются с одинаковой частотой. Реальная кристаллическая решетка – это система взаимодействующих частиц, т. е. система связанных осцилляторов с разными частотами.

Развивая теорию теплоемкости Эйнштейна, Дебай учел, что смещение одного из атомов из положения равновесия вызывает смещение соседних атомов, т. е. возникает упругая волна. Дойдя до границы кристалла, эта волна отражается, и при наложении прямой и отраженной волнвозникаетстоячаяволна. Каждойстоячейволнесоответствуетнормальное колебание кристаллической решетки. Количество нормальных

51

колебаний (стоячих волн) в трехмерном кристалле равно 3N, где N – количество атомов в кристаллической решетке.

Примерынормальныхколебанийодномернойцепочкиатомоввкристалле приведены на рис. 3.6.

1 гармоника

2 гармоника

min 2a

Рис. 3.6

Очевидно, что с увеличением номера гармоники длина волны уменьшается, и ее минимальное значение определяется расстоянием между атомами.

Минимальная порция энергии, которую может поглотить или испустить колебательная цепочка атомов, соответствует переходу от одного нормального колебания к другому, или переходу энергии кристалла с одного уровня на другой. Эта минимальная порция тепловой энергии называется фононом и равна

Таким образом, упругие волны в кристалле можно рассматривать как газ фононов, обладающих энергией и импульсом. Поведение такого газа описывается статистикой Бозе–Эйнштейна с химическим потенциалом, равным нулю.

52

Максимальная частота, соответствующая минимально возможной длине волны, называется характеристической частотой Дебая

где u – скорость звука; N – количество атомов; V – объем кристалла.

Дебаевская частота ωD связана с характеристической температу-

рой Дебая, при которой в кристалле возбуждены все возможные типы колебаний и энергия теплового движения становится равной максимальной энергии осцилляторов:

где k – постоянная Больцмана. Температура Дебая ограничивает область температур, где становится существенным квантование энергии, и при T ТD теплоемкость начинает быстро убывать с понижением

температуры.

Вобластинизкихтемпературосновнойвкладвтеплоемкостьвносят колебания с низкой частотой (малыми ω ), и при T ТD молярная теплоемкость твердого тела пропорциональна кубу температуры:

Уравнение(3.11) – этозаконДебая, которыйпридостаточнонизких температурах для кристаллов с простой кристаллической решеткой совпадает с экспериментальными результатами.

В области высоких температур, когда T ТD , молярная теплоемкость твердого тела не зависит от температуры:

Уравнение (3.12) совпадает с законом Дюлонга и Пти.

53

3.4.ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

20.Выберите верное утверждение:

а) бозоны – это частицы с полуцелым спином; б) для бозонов выполняется принцип Паули;

в) бозоны– эточастицы, практическиневзаимодействующиемежду собой;

г) бозоны – это частицы как с целым спином, так и с нулевым спином.

Решение Бозоны – это частицы, которые могут иметь как целый, так и нуле-

вой спин. Частицы с полуцелым спином – фермионы, и для них выполняется принцип Паули.

Выбираем правильный ответ из списка – г).

21. Сколькими способами можно разместить два тождественных фермиона по двум состояниям (ячейкам):

Решение Для фермионов выполняется принцип Паули: в одном состоянии не

могут одновременно находиться два фермиона. Кроме того, тождественные квантовые частицы, в отличие от классических, невозможно различить. Поэтомусуществуеттолькоодинспособраспределениядвух фермионов по двум ячейкам – в каждой ячейке по одной частице.

Выбираем правильный ответ из списка – в).

22. ТемператураДебаядляалмаза ТD 1860 К. Частотафонона, со-

54

Решение При температуре Дебая в кристалле возбуждены все возможные

типы колебаний и энергия теплового движения kТD становится равной

максимальной энергии осцилляторов ωD . Единицы измерения ωD –

[рад/с].

В ответах приведены значения частоты D в герцах [Гц],

D ω2πD ,

Следовательно,

D ωD kТD kТD .

2π 2π h

Подставляя численные значения, получим

Выбираем правильный ответ из списка – б).

3.5. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Т28. Выберите верное утверждение:

а) в квантовой механике частицы движутся по своим траекториям; б) если волновые функции двух тождественных частиц перекрываются, то сказать, какая из частиц находится в области перекрытия, не-

возможно; в) существуют способы, с помощью которых можно различить тож-

дественные частицы; г) вероятность нахождения квантовой частицы в некоторой области

пространства не определяется ее волновой функцией.

Т29. Выберите верное утверждение:

а) фермионы – это частицы с полуцелым спином; б) для фермионов не выполняется принцип Паули;

55

в) фермионы – это частицы, практически не взаимодействующие между собой;

г) фермионы – это частицы как с целым спином, так и с нулевым спином.

Т30. Сколькими способами можно разместить два тождественных бозона по двум состояниям (ячейкам):

Т31. Системы каких квантовых частиц описываются функцией распределения Бозе–Эйнштейна:

а) системы частиц с полуцелым спином; б) системы частиц только с целым спином;

в) системычастиц, практически невзаимодействующих между собой; г) системы частиц, как с целым спином, так и с нулевым спином?

Т32. Выберите верное утверждение:

а) квантовая теория теплоемкости основана на законе равномерного распределения по степеням свободы;

б) вквантовойтеориитеплоемкостиДебаякристаллическаярешетка рассматривается как связанная система гармонических осцилляторов;

в) закон Дюлонга и Пти выпоняется для всех температур; г) молярная теплоемкость не зависит от температуры.

Т33. Выберите верное утверждение:

а) фонон – это квант электромагнитной волны; б) скорость фонона равна скорости света;

в) фонон – это квант тепловых колебаний решетки; г) спектр тепловых колебаний кристаллической решетки – непре-

рывный.

Т34. Выберите все возможные верные утверждения:

а) при температуре Дебая возбуждены все возможные типы колебаний кристаллической решетки;

б) при температуре ниже температуры Дебая теплоемкость не зависит от температуры;

в) при температуре много меньше температуры Дебая (T ТD )

теплоемкость увеличивается пропорционально T3 ;

г) температура Дебая ограничивает область температур, где становится существенным квантование энергии.

56

а б

Рис. 4.1

С точки зрения зонной теории полупроводники отличаются от диэлектриков только величиной запрещенной зоны. При T 0 К в зоне

проводимости электронов нет, поэтому и полупроводники, и диэлектрики не проводят электрический ток. При повышении температуры, когдаэнергияэлектронастановитсябольшеширинызапрещеннойзоны, он перескакивает в свободную зону проводимости и под действием электрического поля может дрейфовать, т. е. создавать ток проводимости. При переходе электрона в зону проводимости происходит ионизация атома, от которого ушел электрон, а сам электрон становится свободным, и нельзя выделить атом, к которому он принадлежит, т. е. электрон поступает в «коллективное пользование» всех атомов.

У полупроводников ширина запрещенной зоны Eg 1эВ, при тем-

пературе T 300 К средняя энергия теплового движения kT 0,026 эВ,

и некоторые электроны за счет энергии теплового движения могут переходить в зону проводимости. У диэлектриков ширина запрещенной

зоны Eg >3 эВ, и энергии теплового движения недостаточно для пере-

броса электрона в зону проводимости. Поэтому диэлектрики практически не проводят электрический ток.

К полупроводникам относятся элементы IV, V, VI группы таблицы Менделеева (Si, Ge, As, Se, …) и химические соединения, например, GaAs (арсенидгаллия) илисоединениеиндияисурьмыInSb (антимонид индия). При T 0 К полупроводники ведут себя как диэлектрики.

Металлы – это вещества, хорошо проводящие электрический ток, поэтомуихзоннаяструктураотличаетсяотдиэлектриковиполупроводников. Для того чтобы вещество проводило электрический ток даже при

58

T 0 К , в валентной зоне должны быть свободные уровни (рис. 4.2, а)

либо валентная зона должна перекрываться со следующей зоной проводимости (рис. 4.2, б). На рис. 4.2, б видно, что потолок валентной зоны

EV находится выше дна зоны проводимости Ec . Переход с уровня на уровень внутри зоны легко осуществим, поскольку даже при T 1 К

энергия теплового движения электрона kT 10 4 эВ , а расстояние

между уровнями внутри зоны порядка 10 22 эВ . Поэтому вещество с

частичнозаполненнойзонойвсегдабудетпроводитьэлектрическийток. Перекрытие зон наблюдается у элементов II группы таблицы Менделе-

ева (Be, Mg, Zn...).

Металлы имеют такую кристаллическую структуру, в которой атомы находятся на строго определенном расстоянии друг от друга и окружены обобщенными («коллективизированными») электронами. Эти электроны не локализуются вблизи своих атомов, а свободно перемещаются между атомами, образуя «электронный газ». Возможность электронов свободно перемещаться по металлу и объясняет его высокую проводимость.

4.2. СОБСТВЕННЫЕ И ПРИМЕСНЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ

Собственный полупроводник – это полупроводник, состоящий из атомоводного типа, расположенныхв строгомпорядке вузлах кристаллической решетки, и в нем нет атомов других элементов. Собственные полупроводники – это некоторая идеализированная модель, поскольку в реальных веществах всегда встречаются атомы примеси и дефекты кристаллической решетки.

59

Из природных веществ, входящих в таблицу Менделеева, типичными полупроводниками являются кремний (Si) и германий (Ge).

Ширина запрещенной зоны при T 300 К составляет Eg 1,12 эВ для кремния и Eg 0,67 эВ для германия. Атомы кремния и германия

имеют по четыре валентных электрона и организуются в кристаллическую решетку типа алмаза, в которой каждый атом окружен четырьмя соседними атомами и связан с каждым из них ковалентной связью.

Таким образом, вокруг каждого атома Si или Ge, кроме его соб-

ственныхчетырехвалентныхэлектронов, находятсяещечетыревалентных электрона от соседних атомов. Образовавшаяся ковалентная связь является очень прочной. Электрону трудно отделиться от атома и стать свободным. Поэтому при T 0 К полупроводники не проводят элек-

трический ток и являются диэлектриками. Однако под воздействием температуры или других внешних факторов, например облучения, электрон получает дополнительную энергию и может стать свободным, оторвавшись от атома. На месте оторвавшегося электрона образуется вакантное место (дырка), на которое также может перейти валентный электрон соседней связи. На месте перешедшего электрона также окажется дырка. Перемещение вакантного места – дырки принято рассматривать как перемещение квазичастицы «дырки», имеющей положительный заряд, совпадающий по величине с зарядом электрона и обозначающейся символом p – от английского слова positive. Свободный элек-

трон обозначается символом n – от английского слова negative.

На зонной диаграмме процесс образования дырки выглядит так, как показано на рис. 4.3, а. Электрон, получив энергию, большую ширины запрещенной зоны, переходит с верхних уровней валентной зоны на свободные нижние уровни в зоне проводимости. В валентной зоне остается свободное место – дырка. Процесс образования электронно-дыроч- ной пары называется генерацией.

Возможен и обратный переход электрона из зоны проводимости на свободное место в валентной зоне (когда электрон во время движения покристаллувстречаетсвободноеместовковалентнойсвязиизанимает его). Этот процесс показан на рис. 4.3, б и называется рекомбинацией. При этом пара электрон–дырка исчезает.

Если заменить некоторые атомы кристаллической решетки атомами другого сорта, мы получим примесный полупроводник. Примесные полупроводники бывают двух типов: донорные и акцепторные.

60