Элементы квантовой физики, атомной физики, физики ядра, физики элементарных частиц, физики твердого тела. Учебное пособие
.pdf
Возможные значения момента импульса электрона
При 0 L 0 ;
1 |
L |
( 1) |
|
1(1 1) |
2 ; |
2 |
L |
( 1) |
|
2(2 1) |
6 . |
Выбираем правильный ответ из списка – б).
19. Какие из указанных переходов возможны для электрона в атоме
водорода: |
|
а) 3s 4 f ; |
в) 4 f 3d; |
б) 3p 4 f ; |
г) 4 f 2 p? |
Решение Переходы электрона в атоме водорода с одного уровня на другой
подчиняются правилам отбора: разрешены только такие переходы, где орбитальное квантовое число изменяется на единицу.
Орбитальному квантовому числу 0 соответствует s -состояние,
12
3
При переходе
3s 4 f
3p 4 f
4 f 3d
4 f 2 p
p-состояние; d-состояние; f-состояние.
0 3 3 |
запрещено; |
1 3 2 |
запрещено; |
3 2 1 |
разрешено; |
4 2 2 |
запрещено. |
Выбираем правильный ответ из списка – в).
41
2.8. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Т12. Серия Бальмера описывает спектр: а) абсолютно черного тела; б) любого твердого тела;
в) атома водорода в видимой области; г) атома водорода в инфракрасной области.
Т13. Электронпереходитватомеводородастретьего уровнянавторой и излучает электромагнитную волну с частотой (постоянная Рид-
берга R 3,29 10 15 c 1 ):
а) |
0, 46 10 15 |
с 1 ; |
в) 1, 24 10 15 |
с 1 ; |
б) |
2,92 10 15 |
с 1 ; |
г) 2,48 10 15 |
с 1. |
Т14. Чтобы наблюдать спектральные линии атома водорода, находящиеся в видимой области спектра, необходимы переходы электрона с вышележащих энергетических уровней:
а) на первый уровень; |
в) третий уровень; |
б) второй уровень; |
г) четвертый уровень. |
Т15. В теории атома Бора утверждается, что:
а) момент импульса электрона в атоме имеет дискретные значения; б) электрон в атоме обладает магнитным моментом; в) спиновый момент электрона в атоме имеет дискретные значения;
г) магнитный момент электрона в атоме имеет дискретные значения.
Т16. В теории атома Бора верным является утверждение:
а) радиус орбиты электрона с течением времени увеличивается; б) энергия электрона на орбите и ее радиус могут быть произволь-
ными; в) разрешенными орбитами для электронов в атоме являются такие,
для которых момент импульса электронов кратен целому числу величин (постоянная Планка);
г) придвиженииэлектроновполюбойорбитепроисходитнепрерывное излучение энергии.
42
Т17. Электрон находится в атоме водорода на третьем энергетическом уровне. При переходе на первый энергетический уровень радиус
орбиты электрона: |
|
а) не изменится; |
в) увеличится в 9 раз; |
б) уменьшится в 3 раза; |
г) уменьшится в 9 раз. |
Т18. Энергияэлектрона, находящегосяв атоме водородавосновном состоянии, E1 13,53 эВ. Энергия электрона, находящегося на тре-
тьем уровне энергии: |
|
а) –1,50 эВ; |
в) –3,38 эВ; |
б) –0,85 эВ; |
г) –0,54 эВ. |
Т19. На рисунке показана диаграмма уровней энергии атома. Какой переход соответствует испусканию фотона с наибольшей частотой?
Е |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
а) 1; |
в) 4; |
б) 2; |
г) 3. |
Т20. Какие значения могут принимать орбитальное квантовое число при заданном главном квантовом числе n 4:
а) 0, 1, –1, 2, –2; |
в) –2, –1, 0, 1, 2; |
|
б) 0, 1, 2; |
|
г) 0, 1, 2, 3? |
Т21. Главное квантовое число n может принимать одно из пред- |
||
ставленных значений: |
|
|
а) 0; |
в) –2; |
|
б) 2; |
г) 1,5. |
|
Т22. s-состоянию электрона в атоме соответствует орбитальное квантовое число ( ), равное:
а) 0; |
в) –1; |
б) 1; |
г) 2. |
43
Т23. Момент импульса электрона, находящегося на втором энергетическом уровне атома, может быть равен:
а) ; |
в) 2 ; |
б) 2; |
г) 3 . |
Т24. Какиеизуказанныхпереходоввозможныдляэлектронаватоме |
|
водорода: |
|
а) 5s 4 f ; |
в) 4 f 1s; |
б) 3p 2s; |
г) 4 f 2 p? |
Т25. Проекция спина (собственного момента импульса электрона) на направление внешнего магнитного поля ( Lsz ) может принимать зна-
чения: |
|
|
в) ; |
а) 0; |
1 |
|
|
б) |
; |
г) . |
|
|
2 |
|
|
Т26. На 2р-подоболочке атома максимально возможное число элек- |
|||
тронов: |
|
|
|
а) 2; |
|
|
в) 6; |
б) 4; |
|
|
г) 8. |
Т27. Какая из формулировок соответствует принципу Паули:
а) в квантово-механической системе не может быть двух или более электронов, находящихся в состоянии с одинаковым набором квантовых чисел;
б) энергетический спектр электронов в квантово-механической системе дискретен;
в) в квантово-механической системе не может быть двух или более электронов, обладающих одинаковым спином;
г) состояниемикрочастицывквантовоймеханикезадаетсяволновой функцией?
44
3.ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ
3.1.ПРИНЦИП НЕРАЗЛИЧИМОСТИ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
ФЕРМИОНЫ И БОЗОНЫ
Вквантовой механике при движении нескольких микрочастиц проявляются особые свойства, не имеющие аналогов в классической физике.
Рассмотрим квантово-механическую систему, состоящую из одинаковых частиц. Частицы, имеющие одинаковые физические свойства (масса, заряд, спин, квантовые числа и др.), называются тождественными. В квантовой механике выполняется фундаментальный прин-
цип – принцип неразличимости тождественных частиц: невозможно экспериментально различить тождественные частицы.
Когда мы имеем дело с одинаковыми классическими частицами, например электронами (заряд и масса у всех электронов одинаковые), мы всегда их можем различить экспериментально, поскольку каждый электрон движется по своей траектории. В классической механике
вкаждый момент можно сказать, где какой электрон находится, т. е. частицы обладают индивидуальностью. В квантовой механике поведение частицы описывается волновой функцией, квадрат модуля которой определяет только вероятность нахождения частицы в некоторой области пространства, и понятие траектории отсутствует. Если же волновые функции двух тождественных частиц перекрываются, то сказать, какая из частиц находится в области перекрытия, невозможно (рис. 3.1). В квантовой механике частицы теряют индивидуальность и различить их невозможно.
Частицы с нулевым или целым спином называются бозонами. К бозонам относятся, например, фотоны, π-мезоны и др.
45
классическая механика |
квантовая механика |
Рис. 3.1
Частицысполуцелым спином: электроны, протоны, нейтроныназываются фермионами. Для фермионов выполняется принцип Паули: два иболеефермионанемогутодновременнонаходитьсявсостояниисодинаковым набором квантовых чисел.
Спин сложных квантово-механических систем, таких, как, например, атом, определяется суммарным спином всех входящих в систему частиц. Если суммарныйспин атома – целый, то атом является бозоном, если полуцелый – фермионом.
Классические частицы |
Бозоны |
Фермионы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.2
Покажем различия в распределении классических частиц, бозонов и фермионов на примере распределении двух частиц по трем состояниям
46
(трем ячейкам). Классические частицы обладают индивидуальностью, поэтому мы их можем различить и распределить по трем ячейкам девятью способами (рис. 3.2). Квантовые частицы принципиально невозможноразличить, приэтомдляфермионовсуществуетзапретнанахождение двух частиц в одной ячейке (принцип Паули), а для бозонов такого запрета нет. Поэтому два фермиона можно распределить по трем ячейкам только тремя способами, а два бозона – шестью.
3.2. ПОНЯТИЕ О КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКЕ БОЗЕ–ЭЙНШТЕЙНА И ФЕРМИ–ДИРАКА
Основная задача квантовой статистики – определить среднее количество частиц Ni , находящихся в квантовом состоянии с энер-
гией Ei . Связь между спином частиц и типом статистики была уста-
новлена Паули.
Бозоны(частицыснулевымилицелымспином) подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна, для них
Ni |
1 |
|
, |
(3.1) |
|
|
Ei |
|
|||
|
e |
kT |
1 |
|
|
где – химическийпотенциал, некотораяфункцияпараметровсостояния системы, зависящая от температуры; k – постоянная Больцмана. Химический потенциал находится из условия Ni N , сумма всех
i
Ni – общее количество частиц в системе N . Химический потенциал системы бозонов может быть только отрицательным ( 0), иначе
уравнение (3.1) теряет физический смысл.
Количествобозонов, находящихсянаодномэнергетическомуровне, ничем не ограничено и при малых значениях EkTi может оказаться
очень большим. Если же EkTi 1 , то
|
|
Ei |
|
|
Ei |
|
|
|
Ni e |
|
kT |
Аe |
|
kT , |
А e kT |
||
47
– распределение Бозе–Эйнштейна переходит в классическоераспределение Больцмана (рис. 3.3).
Ni 
3
Распределение 2 Больцмана
Распределение Бозе–Эйнштейна
1
Ei μ
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
kT |
|
Рис. 3.3
Фермионы (частицы с полуцелым спином) подчиняются статистике Ферми–Дирака, для них
|
|
|
Ni |
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(3.2) |
|||
|
|
|
|
Ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
e |
kT |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
Химический потенциал системы фермионов может быть только по- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ei |
|
|||
ложительным ( 0), |
иначе при |
T 0 , |
e |
kT |
|
, |
Ni 0 , чего |
|||||||||||
быть не может. При e |
|
Ei |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ni e |
|
Ei |
|
Аe |
|
|
Ei |
, |
|
|
|
|
|
|||||
|
kT |
|
|
kT |
А e |
kT |
|
|
||||||||||
распределение Ферми–Дирака также переходит в классическое распределение Больцмана (рис. 3.4).
Для фермионов значение Ni не может превышать единицу в соответствии с принципом Паули, а при Ei значение Ni (Ei ) 0,5
(рис. 3.4).
Таким образом, при высоких температурах оба квантовых распределения переходят в классическое распределение Больцмана.
48
Ni 
1
Распределение Распределение Больцмана Ферми–Дирака 0,5
Ei μ
3 |
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
2 |
kT |
|
Рис. 3.4
Система частиц называется вырожденной, если ее свойства отличаются от свойств системы частиц, описываемой классической статистикой. Вырождение становится существенным при низких температурах и больших плотностях. Температурой вырождения называется температура, ниже которой явно проявляются квантовые свойства, обусловленные тождественностью частиц.
3.3.КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ
Втвердых телах, имеющих упорядоченную структуру расположения атомов (кристаллическую решетку) или ионов (ионную решетку), частицы обладают минимальной потенциальной энергией в узлах решетки. При смещении частицы из узла кристаллической решетки (от положения равновесия) в любом направлении она совершает колебания под действием возвращающей силы. Любое колебание можно представить как суперпозицию колебаний по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Из закона равномерного распределения по степеням свободы известно, что на каждую колебательную степень свободы приходится энергия kT .
Внутренняя энергия 1 моля
Um 3NAkT 3RT ,
где NA – число Авогадро; k – постоянная Больцмана, R – универсальная газовая постоянная.
49
Теплоемкость при постоянном объеме |
|
||
C |
dUm |
3R . |
(3.3) |
|
|||
V |
dT |
|
|
|
|
|
|
При нагревании объем твердых тел меняется незначительно, по-
этому можно считать, что CV CP C 3R 25 мольДж К , и это совпа-
дает с установленным эмпирическим путем – законом Дюлонга и Пти для твердых тел.
Закон Дюлонга и Пти выполняется с хорошей степенью точности для многих веществ при комнатной температуре. Однако эксперимент показывает, чтотеплоемкостьтвердыхтелзависитоттемпературы, при-
чем при низких температурах эта зависимость пропорциональна T3 (рис. 3.5), а при T 0 теплоемкость также стремится к нулю.
C
3R
T
0
Рис. 3.5
Уменьшениетеплоемкостипринизкихтемпературахудалосьобъяснить Эйнштейну, который рассматривал кристалл как совокупность независимых гармонических осцилляторов, колеблющихся вблизи положенияравновесиясодинаковойчастотой ω. Вэтомслучаесреднеезна-
чение энергии осциллятора с учетом энергии нулевых колебаний 2ω имеет вид
|
|
ω |
|
ω |
. |
(3.4) |
2 |
|
|||||
|
|
|
ω |
|
||
|
|
|
|
ekT 1 |
|
|
50