Элементы квантовой физики, атомной физики, физики ядра, физики элементарных частиц, физики твердого тела. Учебное пособие

Возможные радиусы орбит электрона ( n – номер орбиты)

Самая близкая к ядру орбита находится на уровне энергии с n 1, поэтому соответствующий ей радиус называется первым боровским радиусом и определяет размеры атома:

Радиусы последующих орбит увеличиваются пропорционально n2 . Полная энергия электрона складывается из его кинетической энер-

гии и потенциальной энергии в электростатическом поле:

При n 1 получим выражение для энергии основного состояния электрона в атоме водорода

а энергия электрона, находящегося на уровне с номером n,

Число n 1, 2, 3, ... называется главным квантовым числом.

На рис. 2.4 показана схемауровней энергии атома водорода. При переходе электрона с более высоких уровней на первый уровень получаем серию Лаймана, при переходе электрона с более высоких уровней на второй получаем серию Бальмера, при переходе на уровни 3, 4, 5 полу-

чаем соответственно серии Пашена, Брэкета, Пфунда.

31

Теория атома Бора прекрасно соответствовала существующим экспериментальным результатам, что свидетельствует о ее справедливости. Однако ужеследующийпростейшийатом, расположенныйза водородом в периодической таблице элементов (атом гелия), теория Бора объяснить не может. Кроме того, теория Бора обладает внутренними противоречиями: с одной стороны используются законы классической механики, с другой – вводятся дискретные энергетические состояния электрона, квантование момента импульса электрона.

2.5. АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Рассмотрим атом, состоящий из одного электрона, движущегося вокруг ядра с зарядом Z e . Такие системы называются водородоподобными. При Z 1 получаематомводорода, при Z 2 – ионатомагелия

32

Уравнение Шрёдингера для водородоподобной системы запишется в виде

Решению уравнения Шрёдингера соответствует дискретный набор отрицательных собственных значений энергии, совпадающий с рассчитанными в модели атома Бора (2.11):

En 1 Z 2me4 , n 1, 2, 3...

n2 8h2ε02

Уровню с номером n 1 соответствует минимально возможнакя энергия – это основное состояние. Уровни с номером n 1 – это возбужденные состояния. Когда энергия электрона отрицательна, он находится внутри гиперболической потенциальной ямы. Если энергия положительна, то электрон является свободным. Разность энергий между соседними уровнями в потенциальной яме зависит от номера уровня n , с увеличением номера уровни располагаются ближе друг к другу (рис. 2.5).

0

Рис. 2.5

33

Собственные функции ψn m (r, θ, φ) , являющиеся решением уравнения Шредингера (2.14), содержат три целочисленных параметра n, , m :

главное квантовое число n 1, 2, 3, ... указывает на номер уровня энергии, на котором расположен электрон;

орбитальное квантовое число 0,1, 2, 3..., (n 1) характери-

зует форму электронного облака и задает возможные значения модуля момента импульса электрона;

магнитное квантовое число m 0, 1, 2, 3..., определяет

ориентацию электронного облака в пространстве и задает возможные значения проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля.

Из решения уравнения Шрёдингера следует, что момент импульса электрона L и проекция момента импульса на направление внешнего

34

Число различных состояний, соответствующих одному значению n ,

называется кратностью вырождения

Так, например, второй уровень энергии четырехкратно вырожден. Различные состояния электрона в атоме при разных значения орбитального квантового числа принято обозначать малыми буквами ла-

тинского алфавита

С помощью квантовых чисел можно более подробно описать спектр атома водорода. Количество возможных переходов электрона между уровнями энергии ограничивается правилами отбора для квантовых чисел:

– орбитальное квантовое число может меняться по правилу

При переходе электрона с более высоких уровней на более низкие испускается фотон, для перехода электрона на более высокий уровень ему необходимо поглотить фотон.

2.6.СПИН ЭЛЕКТРОНА И ПРИНЦИП ПАУЛИ

В1922 году Штерн и Герлах провели серию опытов, в которых обнаружили, что классическое представление о том, что магнитный момент электрона может иметь произвольную ориентацию в магнитном поле, несостоятельно. Эксперименты показали, что магнитный момент электрона может принимать только два дискретных значения.

В1925 году Гаудсмит и Уленбек предположили, что электрон обладает собственным механическим моментом импульса, не связанным

35

с движением в пространстве, – спином. Спин электрона Ls – это кван-

товая величина, у нее нет классического аналога, и она является таким же свойством электрона, как масса и заряд. Спин электрона квантуется по закону

где s спиновое квантовое число. Для электрона спиновое квантовое число имеет значение s 12 .

Проекция спина на направление внешнего магнитного поля также квантуется:

где ms магнитное спиновое квантовое число. Для электрона маг-

нитное спиновое квантовое число имеет два значения:

Наличие у электрона спина объясняет результаты опыта Штерна и Герлаха. Электроны, у которых проекция спина на направление

внешнего магнитного поля Lsz 12 , отклоняются магнитным по-

лем в одну сторону, а электроны с Lsz 12 – в другую.

Таким образом, к набору трех квантовых чисел n, , m добавляется четвертое квантовое число ms .

Принцип Паули: в атоме не может быть двух электронов с одинаковым набором квантовых чисел. Два электрона в атоме должны различаться хотя бы одним квантовым числом. Максимальное количество электронов, находящихся в атоме на уровне энергии с номером n,

Принцип Паули лежит в основе заполнения электронами состояний в атоме и позволяет объяснить таблицу Менделеева.

36

2.7.ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

11.Электрон переходит в атоме водорода со второго уровня на первый и излучает электромагнитную волну с частотой (постоянная Рид-

Решение При переходе электрона с более высокого уровня на более низкий

частота испускаемого фотона определяется формулой Бальмера

ν R m12 n12 , m 1, 2, 3, ..., n m 1, m 2, m 3, ...

Дляпереходасовторогоуровнянапервый m 1, n 2 ичастотаиспускаемого фотона

Выбираем правильный ответ из списка – г).

12. В теории атома Бора верным является утверждение:

а) при переходе электрона в атоме с более высоких уровней на более низкие излучается энергия в виде электромагнитной волны;

б) энергия электрона на орбите и ее радиус могут быть произвольными;

в) для перехода электрона в атоме с более высоких уровней на более низкие электрону необходимо сообщить энергию;

г) придвиженииэлектроновпостационарнойорбитепроисходитнепрерывное излучение энергии.

Решение В атоме водорода электрон может находиться только на дискретных

уровнях энергии. При переходе атома из одного состояния с энергией En всостояниесэнергией Em излучаетсяилипоглощаетсяквант, энергия которого равна разности энергий стационарных состояний:

En Em ,

где 6,63 10 34 Дж с – постоянная Планка; ν – частота излучения.

37

Излучение света происходит при переходе электрона с более удаленной от ядра орбиты (с большей энергией) на менее удаленную от ядра орбиту (с меньшей энергией).

Выбираем правильный ответ из списка – а).

13. Электрон находится в атоме водорода на первом энергетическом уровне. При переходе на второй энергетический уровень радиус орбиты электрона:

Решение Радиусорбитыэлектрона, находящегосяватомеводороданауровне

энергии с номером n, определяется формулой

rn n2 4πε0 22 n2r1 ,

meZe

где r1 – радиус первой боровской орбиты.

Радиус орбиты электрона, находящегося на втором уровне энергии,

r2 22 r1 4r1 .

Поэтому при переходе электрона с первого уровня энергии на второй уровень радиус орбиты увеличится в 4 раза.

Выбираем правильный ответ из списка – б).

14. Энергия электрона, находящегося в атоме водорода в основном состоянии, E1 13,53 эВ. Энергия электрона, находящегося на вто-

Решение

Энергия электрона, находящегося на уровне с номером n, связана с энергией основного состояния формулой

En n12 E1 ,

где n 1, 2, 3, ... – номер уровня энергии.

38

Для второго уровня энергии n 2 и

E2 212 E1 14 ( 13,53) 3,38 эВ.

Выбираем правильный ответ из списка – в).

15. На рисунке показана диаграмма уровней энергии атома. Какой переход соответствует испусканию фотона с набольшей длиной волны?

Решение При переходе электрона в атоме с более высоких уровней энергии

на более низкие излучается фотон с частотой

ν En Em . h

Длина волны фотона обратно пропорциональна частоте:

λ сν .

Следовательно, переход с наибольшей длиной волны фотона – это переход с наименьшей частотой. Наименьшей частоте соответствует наименьшая разность энергий электрона. Поэтому на рисунке надо искать переход с самой маленькой разницей энергий. Это переход 4.

Выбираем правильный ответ из списка – г).

16. Какие значения может принимать орбитальное квантовое число при заданном главном квантовом числе n 3 :

39

Решение Орбитальное квантовое число указывает на форму электронного

облака и может принимать только положительные целые значения от 0

до (n 1) .

Для n 3 (n 1 2) орбитальное квантовое число может иметь зна-

чения 0,1, 2 .

Выбираем правильный ответ из списка – б).

17. При главном квантовом числе n 3 атом водорода может иметь число различных состояний, равное:

Решение Число различных состояний атома водорода (кратность вырожде-

ния) N равно квадрату главного квантового числа n :

N n2 .

При n 3

N n2 32 9 .

Выбираем правильный ответ из списка – в).

18. Моментимпульсаэлектрона, находящегося натретьемэнергетическом уровне атома, может быть равен:

Решение

Момент импульса электрона L может принимать только дискретные значения:

L ( 1) .

По условию электрон находится на третьем энергетическом уровне, значит, главное квантовое число n 3 . Значения орбитального квантового числа, соответствующие этому уровню, 0,1, ..., n 1 0,1, 2 .

40