Элементы квантовой физики, атомной физики, физики ядра, физики элементарных частиц, физики твердого тела. Учебное пособие

Для линейного гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

U mω02 x2

2

( m – масса осциллятора, ω0 – собственная частота), волновая функция зависит только от одной координаты ψ(x) , а уравнение Шредингера записывается следующим образом:

1.5. ЧАСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ

С БЕСКОНЕЧНО ВЫСОКИМИ СТЕНКАМИ

Рассмотрим одномерную прямоугольную потенциальную яму с бесконечно высокими стенками (рис. 1.1). Ширина потенциальной ямы . Начало отсчета потенциальной энергии выберем на дне потенциальной ямы.

Рис. 1.1

Зависимость потенциальной энергии от координаты имеет вид

, x 0,

U (x) 0, 0 x , (1.13)

, x .

11

Уравнение Шрёдингера для рассматриваемой потенциальной ямы имеет вид

Решением уравнения (1.14) с учетом граничных условий является функция

где индекс n указывает, что вид волновой функции определяется номером уровня n .

Энергия частицы в потенциальной яме принимает дискретные значения и зависит от числа n :

n 2m 2

Дискретные значения энергии En называются уровнями энергии, а число n – главным квантовым числом. Так, например, энергия пер-

На рис. 1.2 показаны графики волновой функции и квадрата ее модуля (плотность вероятности) для первых трех уровней энергии. Из рисунка видно, что для каждого уровня энергии в потенциальной яме существуют области, где вероятность обнаружить частицу максимальна, а также области, где частица не может находиться. Так, например, на втором уровне энергии частица не может находиться посередине потенциальной ямы, поскольку вероятность ее обнаружения в этой точке равна нулю. Если частица находится на первом уровне энергии, то, скорее всего, ее можно обнаружить в середине потенциальной ямы, поскольку плотность вероятности в этой точке максимальна.

Разность энергий соседних уровней

12

Пусть энергия частицы меньше высоты потенциального барьера E U . Если бы частица была классической, то она бы отразилась от по-

тенциального барьера и стала двигаться в обратную сторону. Классическая частица могла бы преодолеть потенциальный барьер только в том случае, если ее энергия больше высоты потенциального барьера E U .

В квантовой механике частица с энергией, меньшей высоты потенциального барьера, может быть обнаружена за барьером, а частица

сэнергией, большей высоты потенциального барьера, может подлететь

кбарьеру и отразиться от него. Такие непривычные с точки зрения обыденнойжизниситуацииследуютизрешенияуравненияШрёдингерадля трех областей.

Вид волновых функций в различных областях показан на рис. 1.4, откуда видно, что волновая функция не равна нулю под барьером и за барьером. Такимобразом, существуетненулеваявероятностьобнаружения частицы во второй и третьей области, т. е. частица может проникнуть через потенциальный барьер. Это явление получило название тун-

нельный эффект.

Для описания туннельного эффекта вводят понятие коэффициента прозрачности потенциального барьера – отношения плотности по-

тока частиц, прошедших через потенциальный барьер, к плотности потока частиц, падающих на потенциальный барьер. Для прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности имеет вид

где D0 1– постоянный множитель, m– масса частицы.

Из (1.19) следует, что коэффициент прозрачности барьера D существенно зависит от массы частицы и ширины потенциального барьера,

14

с увеличением массы частицы и ширины потенциального барьера вероятность прохождения частицы через него уменьшается.

Рис. 1.4

Коэффициент отражения потенциального барьера R – отноше-

ние плотности потока частиц, отраженных от потенциального барьера, к плотности потока частиц, падающих на потенциальный барьер. Очевидно, что R D 1.

1.7. КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Линейным квантовым гармоническим осциллятором называют систему, которая совершает колебания под действием квазииупругой силы, пропорциональной отклонению осциллятора от положения равновесия x .

Потенциальная энергия осциллятора имеет вид

где 0 – собственная частота колебаний осциллятора; m– масса.

В классическом гармоническом осцилляторе частица совершает колебания внутри параболической потенциальной ямы, выйти за пределы которой она не может (рис. 1.5). Границы потенциальной ямы определяются энергией частицы E , и частица может двигаться только внутри интервала A x A , где A – амплитуда колебаний.

15

U (x)

E

Рис. 1.5

В квантовой механике движение частицы описывается уравнением Шрёдингера, которое для квантового гармонического осциллятора имеет вид

Это уравнение имеет конечные однозначные и непрерывные решения только в том случае, если значения энергии равны:

Уравнение (1.22) определяет квантование энергии в квантовом гармоническом осцилляторе. Уровни энергии расположены на одинаковом расстоянии друг от друга – эквидистантно (рис. 1.6), кроме того мини-

мальная возможная энергия E0 частицы в гармоническом осцилляторе не равна нулю:

ее называют энергией нулевых колебаний.

Отличная от нуля энергия нулевых колебаний есть следствие проявления волновых свойств частицы. В реальных кристаллах при температурах, близких к абсолютному нулю, когда тепловое движение практически прекращается, кристаллическая решетка совершает колебания за счет энергии нулевых колебаний. Наличие нулевых колебаний подтверждено экспериментально в опытах по рассеянию света при низких температурах.

16

U (x)

E4

E3

E2 E1

E0

x

0

Рис. 1.6

Для квантового гармонического осциллятора существует правило отбора, согласно которому его энергия не может изменяться произвольно. Возможны только такие переходы между уровнями энергии, при которых квантовое число n изменяется на единицу:

n 1 .

1.8.ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

1.Нейтрон массой m имеет кинетическую энергию E. Длина волны де Бройля λB нейтрона равна:

Решение Длина волны де Бройля вычисляется по формуле

λ hp .

Кинетическая энергия связана с импульсом частицы соотношением

Выбираем правильный ответ из списка – а).

17

2. Протон и альфа-частица обладают одинаковой длиной волны де Бройля. Выберитеправильноесоотношениемеждуимпульсамиэтихча-

Решение Длина волны де Бройля для протона вычисляется по формуле

соответственно длина волны де Бройля для альфа-частицы

h . p

Поскольку длины волн протона и альфа-частицы одинаковы:

импульсы частиц также одинаковы:

pp p .

Выбираем правильный ответ из списка – б).

3.Ядроатомагелияв4 разатяжелееядраатомаводорода, аегозаряд

в2 раза больше заряда ядра водорода. Пусть ядра двигаются с одинаковыми нерелятивистскими скоростями. Чему равно отношение соответ-

ствующих им длин волн де Бройля λH / λHe :

Решение ДлинаволныдеБройлядляатомаводородавычисляетсяпоформуле

λH ph mhV ,

H H

18

соответственно длина волны де Бройля для ядра атома гелия

(скорости частиц по условию одинаковы). Отношение длин волн де Бройля

Выбираем правильный ответ из списка – г).

4.Предположим, что импульсы электрона и протона определены

содинаковой абсолютной погрешностью. У какой из частиц неопределенность координаты меньше:

а) у электрона; в) у обеих частиц одинакова; б) у протона; г) у обеих частиц неопределенность

координаты равна нулю?

Решение

Неопределенность координаты x и соответствующей проекции импульса px связаны соотношением

x px ,

где 2hπ 1,05 10 34 Дж с.

По условию задачи импульсы электрона и протона определены с одинаковой абсолютной погрешностью. Это означает, что у них одинаковые неопределенности проекции импульса на ось х:

pxe pxp .

Чтобы выполнялось соотношение неопределенностей, у протона и электрона должны быть одинаковые неопределенности координат:

xe xp .

Выбираем правильный ответ из списка – в).

5.Ядроатомагелияв4 разатяжелееядраатомаводорода, аегозаряд

в2 раза больше заряда ядра водорода. Пусть скорости ядер могут быть

19

измерены с одинаковой абсолютной погрешностью. Чему будет равно отношение неопределенностей их координат xH / xHe :

Решение

Неопределенности координаты x и соответствующей проекции импульса px связаны соотношением

x px , m x Vx .

Для ядра атома гелия и атома водорода должно выполняться соотношение

mH xH VxH mHe xHe VxHe .

По условию

VxH VxHe .

Тогда

Выбираем правильный ответ из списка – г).

6. Время жизни атома в возбужденном состоянии t 10 нс. Ширина энергетического уровня составляет (в электрон-вольтах) не менее

Решение

Соотношение неопределенностей для энергии E за промежуток времени t имеет вид

E t ,

соответственно ширина энергетического уровня E t .

20