Элементы аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ЧЕЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ КАФЕДРА «АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ»

Тумгоева Х.А.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ГРОЗНЫЙ 2016

Печатается по решению Ученого совета ФГБОУ ВО «Чеченский государственный университет»

протокол № 4 от 14.06.2016 г.

СОСТАВИТЕЛЬ:

Тумгоева Х.А., кандидат физико-математических наукф, доцент кафедры «Алгебра и геометрия» ФГБОУ ВО «Чеченский государственный университет»

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Гачаев А.М., доцент, к.ф.м.к., зав.кафедрой «Алгебра и геометрия» ФГБОУ ВО «Чеченский государственный университет»

Аджиева А.А., д.ф.м.н., доцент кафедры «Высшая математика», КБГСХУ

Тумгоева Х.А. Элементы аналитической геометрии. Учебнометодическое пособие. – Грозный: Издательство ФГБОУ ВО «Чеченский государственный университет», 2016. – 88 с.

Учебно-методическое пособие составлено в соответствии с утвержденной программой изучения дисциплины «Аналитическая геометрия» и предназначено для проведения практических занятий.

©Тумгоева Х.А., 2016

©ФГБОУ ВО «Чеченский государственный университет», 2016

2

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………. 4

ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ………… 5

1.Основные определения и понятия. Скалярное

произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение трёх векторов……………………………………………….. 5

1.1.Образцы решения типовых задач …………………… 10

1.2.Задачи для аудиторных занятий …………………….. 18

1.3.Задачи для самостоятельных занятий ………………. 21

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

НА ПЛОСКОСТИ …………………………………. 24

2.Простейшие задачи на плоскости. Линии первого

порядка (прямая на плоскости) ………………….. 24

2.1.Образцы решения типовых задач ………………….. 26

3.Кривые второго порядка ………………………….. 32

3.1.Образцы решения типовых задач …………………… 34

3.2.Задачи для аудиторных занятий …………………….. 45

3.3.Задачи для самостоятельных занятий ………………. 47

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ… 50

4.Уравнения плоскости. Уравнения прямой линии

в пространстве ………………………………………. 50

4.1.Образцы решения типовых задач …………………… 53

4.2.Задачи для аудиторных занятий …………………….. 57

4.3.Задачи для самостоятельных занятий.………………... 62

5.Прямая как линия пересечения двух плоскостей.

Пучок плоскостей. Взаимное расположение двух

ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………….. 85

3

ВВЕДЕНИЕ

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов нематематических специальностей, содержит изложение основ аналитической геометрии, сопровождаемое рассмотрением типичных задач, а также заданий ко всем излагаемым темам.

Учебное пособие составлено в соответствии с утвержденной программой изучения дисциплины « Аналитическая геометрия» и методически разработана таким образом, чтобы по каждому разделу студенты могли выполнить задания для самостоятельной работы.

4

Тема 1. ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Занятие 1. Основные определения и понятия. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов.

Смешанное произведение трёх векторов

Рис. 1.1.

5

→

Определение 4. Проекцией вектора AB на ось L называется величина отрезка A1B1, где A1 и B1– основания перпендикуляров

опущенных из точек A и B на ось L. Записывают прL АВ = А1В1 . Пусть M(x, y, z) произвольная точка пространства (xyz). Вектор

r = OM называется радиус-вектором точки М. Проекции

OA= x,OB = y,OC = z вектора r на оси координат называются координатами радиусвектора.

Пишут r = r(x, y, z) или r = (x, y, z) (рис. 2).

r = x i + y j + z k .

Такое представление вектора называется разложением вектора по компонентам.

Если концы вектора находятся в точках A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 )

то:

AB = (x2 − x1 ) i +(y2 − y1 ) j +(z2 − z1 ) k ,

AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .

6

Определение 5. Скалярным произведением векторов a и b называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними (рис.3),

(a b)= a b cosϕ .

Рис. 1.3.

Скалярное произведение обладает следующими основными свойствами:

7

Если a ┴b, то (a b)= 0 .

Если a ║b, то a = λ b .

Предположим, что векторы даны координатами, т.е. a = (X1, ,Y1 , Z1 )и b = (X2 ,Y2 , Z2 ).

Тогда, равенства запишутся в виде:

(a b)= X1 X2 +Y1 Y2 + Z1 Z2 ,

Определение 6. Векторным произведением векторов a и b

называется вектор c = (a ×b), удовлетворяющий следующим трём условиям:

1) модуль векторного произведения равняется произведению длин этих векторов на синус угла между ними т.е.

c = (a ×b)= a b sinϕ;

3) векторы a,b,c образуют ту же тройку векторов, что и система координат (правую или левую тройку).

Как следует из первого условия, модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих

векторах, поскольку h = BB1 = a sinϕ (рис. 3), т.е.

8

Sпар. = (a ×b).

Если векторы a и b заданы своими координатами, векторное произведение выражается следующей формулой:

Векторное произведение обладает следующими основными свойствами:

1) При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. a ×b = −(b×a).

2) (λ a)×b = a ×(λ b)= λ (a ×b), где λ – скаляр.

3) Векторное произведение подчиняется распределительному закону, т.е. (a +b)×с = a×c+b×c.

4) Для того чтобы два ненулевых вектора a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.

В частности, отсюда следует, что векторное произведение вектора на себя равно нулевому вектору: a ×a = 0 .

a ×a еще называют векторным квадратом вектора a .

Пусть даны три некомпланарных вектора: a,b,c. Умножим вектор a векторно на вектор b, результат затем скалярно умножим на вектор c . Такое произведение называется смешанным произведением трёх векторов, записывают (a ×b) c.

Смешанное произведение трёх векторов есть число, по абсолютному значению равное объёму параллелепипеда построенного на этих векторах, как на рёбрах исходящих из одной вершины:

Vпар. = (a ×b) c .

9

Если векторы a , b и c компланарны (принадлежат одной плоскости), то

(a ×b) c = 0.

Последнее равенство называют условием компланарности трёх векторов.

Если заданы векторы a(X1 ,Y1 , Z1 ), b(X2 ,Y2 , Z2 ), c(X3 ,Y3 , Z3 ) своими координатами, то смешанное произведение выражается

равенством:

И мы получим соответствующие равенства:

1.1. Образцы решения типовых задач

Пример 1. Даны векторы a = (7,−5,3), b = (− 2,4,−7), c = (4,4,−2).

Найти прс (а + в).

Решение: Имеем d = a +b = (7 − 2,−5 + 4,3 −7)= (5,−1,−4).

Следовательно, согласно равенству (6’), находим:

10