Элементы аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие

Мы получили две пересекающиеся прямые.

Пример 9. Привести уравнение 5x2 + 9 y2 −30x +18y + 9 = 0 к каноническому виду и построить кривую.

Решение.

Сгруппируем члены этого уравнения, содержащие одноименные координаты:

(5x2 −30x)+ (9 y2 +18y)+ 9 = 0 ,

или

5(x2 −6x)+ 9(y2 + 2 y)+ 9 = 0 .

Дополняем члены в скобках до полных квадратов:

5(x −3)2 + 9(y +1)2 = 45.

Обозначаем x′ = x – 3, y′ = y + 1,

x0 = 3, y0 = -1, то есть точка О1(3, -1) – центр кривой. Уравнение в новой системе координат принимает вид:

Рис.3.8.

41

с полуосями а=3, b=5 , который в исходной системе координат имеет центр в точке О1(3, -1).

Пример 9. Построить заданные в полярной системе координат линии:

1)ρ = 2аsinϕ , a > 0.

2)ρ = 2 + cosϕ .

3)ρ = 4 −5cos9 ϕ .

4)ρ2 sin 2ϕ = a2 .

Решение 1.

Рис.3.9.

42

Решение 2.

Рис.3.10.

Линия получается, если каждый радиус-вектор окружности ρ = cosϕ увеличить на два. Найдем координаты контрольных точек:

При этом ρ (4 −5cosϕ) = 9. Переходя к декартовым координатам, получаем:

x2 + y2 4 −5 x2 x+ y2 = 9 ,

43

4x2 + y2 = 5x +9, 16(x2 + y2 )= (5x +9)2 , 16x2 +16y2 = 25x2 +90x +81,

9x2 +90x −16y2 +81 = 0, 9(x +5)2 −16y2 =144,

Мы получили правую ветвь гиперболы при указанных ϕ .

Рис.3.11.

Кривую можно было построить по точкам, например, при

ϕ =π, ρ = 109 .

Решение 4.

ρ2 sin 2ϕ = a2 .

44

Рис.3.12.

3.2. Задачи для аудиторных занятий

Задача 1. Центр окружности в начале координат, а прямая 3х+4у12=0 касается окружности. Записать уравнение этой окружности.

Задача 2. Записать уравнение прямой, соединяющий центры окружностей: x2 + y2 − 4x + 6y −3 = 0, x2 + y2 + 6x + 2y −15 = 0.

Задача 3. Составить уравнение геометрического места точек плоскости, сумма расстояний от из которых до двух точек F1(−3,0) и

F2 (3,0) постоянна и равна 10.

45

Задача 6. Записать уравнение кривой, разность расстояний, от каждой точки которой до двух точек F1(−5,0) и F2 (5,0) по

абсолютному значению постоянна и равна 8.

Задача 7. Вычислить площадь треугольника, ограниченного асимптотами гиперболы 9x2 −16y2 −1 = 0 и прямой 3x − 2y −12 = 0.

Задача 8. Записать уравнение параболы, если её фокус находится в точке F (7,2), а директрисой служит прямая x = 5.

Задача 9. Определить тип и построить кривую второго порядка:

4x2 + 4y2 −8x +16y +11 = 0.

Задача 10. Определить тип и построить кривую второго порядка:

9x2 + 25y2 −36x −50y −164 = 0 .

Задача 11. Определить тип и построить кривую второго порядка: x2 −6xy + y2 −10x − 2y −11 = 0.

Задача 12. Определить тип и построить кривую второго порядка: x2 − 4xy + 4y2 + 4x −13y +10 = 0.

Задача 13. Определить тип и построить кривую второго порядка:

3x2 −10xy +3y2 + 4x + 4y − 4 = 0 .

Задача 14. Определить тип и построить кривую второго порядка:

3x2 −10xy +3y2 + 4x + 4y − 4 = 0 .

Задача 15. Определить тип и построить кривую второго порядка: x2 + 2xy + y2 + 2x + 2y +1 = 0.

Задача 16. Построить кривую 5x2 + 9 y 2 − 30x +18y + 9 = 0 .

Задача 17. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку А(9; 6).

46

Задача 18. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса

ε = 2 .

Задача 19. Даны две точки М1(9; -3) и М2(-6; 5). Начало координат перенесено в точку М1, а оси координат повернуты так, что положительное направление новой оси абсцисс совпадает с

направлением отрезка М1М2 . Вывести формулы преобразования координат.

Задача 20. Поворотом осей координат на угол α преобразовать уравнение и построить кривую, если sinα = − 22 . (-π/2 < α < 0),

6x2 − 4xy + 9 y 2 =10

Задача 21. Привести кривые к каноническому виду:

3.3. Задачи для самостоятельных занятий

Задача 1. Найти значения параметра k , при которых прямая y = kx с окружностью имеет: а) одну общую точку; б) две общие

точки; в) ни одной общей точки.

Задача 2. Найти длину общей хорды двух пересекающихся окружностей, заданных уравнениями:

x2 + y2 −10x −10y = 0, x2 + y2 + 6x + 2y − 40 = 0.

Задача 3. Определить полуоси, фокусы, и эксцентриситет эллипса заданного уравнением 20x2 +36y2 −720 = 0.

47

Задача 4. Вычислить площадь четырёхугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса x2 +5y2 − 20 = 0 , а две другие вершины расположены на концах малой оси эллипса.

Задача 5. Найти длину общей хорды двух эллипсов, заданных уравнениями: x2 +9y2 − 45 = 0 , x2 +9y2 −6x − 27 = 0.

Задача 6. Определить угол между асимптотами гиперболы заданной уравнением: 3x2 − 2y2 −12 = 0.

Задача 7. Найти значения параметра m, для которых прямая y = x + m касается гиперболы заданной уравнением:9x2 −16y2 −144 = 0.

Задача 8. Записать уравнение касательной к параболе x2 =16y и перпендикулярно прямой 2x + 4y + 7 = 0.

Задача 9. Определить тип и построить кривую второго порядка:

16y2 −9x2 +32y +54x − 209 = 0.

Задача 10. Определить тип и построить кривую второго порядка: x2 − 4x + 4y = 0.

Задача 11. Построить кривую x = 2 y2 −12 y +14..

Задача 12. Составить уравнение гипеболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны точки М1(6; -1) и М2(-8; 22 ) гиперболы.

Задача 13. Эллипс касается оси абсцисс в точке А (3, 0) и оси ординат в точке В(0, -4). Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.

Задача 14. Даны две точки М(3; 1) и N(-1; 5). Найти их координаты в новой системе координат, если исходные оси координат повернуты на угол -45°.

Задача 15. Поворотом осей координат на угол α преобразовать уравнение и построить кривую, если sinα = − 22 . (-π/2 < α < 0),

32x2 +52xy −7 y2 +180 = 0 .

Задача 16. Привести кривые к каноническому виду:

48

Задача 19. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат,

если даны точка М1(-5; 3) гиперболы и эксцентриситет ε = 2 .

Задача 21. Точка С (-3, 2) является центром эллипса, касающегося обеих координатных осей. Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.

49

Тема 3. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

Занятие 4. Уравнения плоскости. Уравнения прямой линии в пространстве

Определение 1. Уравнением плоскости, проходящей через точку M0 (x0 , y0 , z0 ) и перпендикулярно заданному вектору N(A, B,C), называется уравнение вида A (x − x0 )+ B (y − y0 )+C (z − z0 )= 0.

Определение 2. Общим уравнением плоскости называется уравнение первой степени с тремя неизвестными

A x + B y +C z + D = 0, A2 + B2 +C2 ≠ 0 .

Определение 3. Общим уравнением плоскости в векторной форме называется равенство (N r )+ D = 0 .

Определение 4. Уравнением плоскости, проходящей через три

заданные точкиM1(x1, y1, z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3, y3, z3 ) называется равенство

Определение 5. Расстоянием от точки M0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости Ax + By +Cz + D = 0 называется число, определяемое формулой

50