Элементы аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие

1.3. Задачи для самостоятельных занятий

Задача 1. Даны векторы: a(2,−1,3), b(1,−3,2), a(3,2,−4). Найти координаты вектора X , если: (X a )= −5,(X b)= −11,(X c)= 20.

Задача 2. Векторы a = 2i +α j +3k,b = 3α i +5 j −11k

перпендикулярны. Найтиα .

Задача 3. Даны векторы a(2,−3,5),b(1,−3,−2) и c(3,−2,−4).

Проекцию вектора (a + 2b −c)на направление вектора c.

Задача 6. Найти координаты вектора → , параллельного вектору

X

a = 2i + j −k , если (a X)= −3.

Задача 7. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках: А(1,2,0), В(5,2,6), С(3,0,-3).

Задача 8. В треугольнике с вершинами в точках: А(1,-1,2),

В(5,-6,2), С(1,3,-1). Найти длину высоты ВD.

Задача 9. Даны векторы:

21

Задача 13. Компланарны ли векторы a,b,c ?

a ={3;−2;1},b ={2;1;1},c ={3;−1;−2}.

Задача 14. Найти угол между векторами AB и AC .

A(0;−3;6),B (−12;−3;−3),C (−9;−3;−6).

Задача 15. Даны координаты точек A,B,C.

A(0;1;2),B (3;−1;2),C (−1;2;5).

Вычислить:

1)прBC AB ;

2)пр(AB+CB)(2AC +3CB);

3)AB + 4BC ;

4)((AB −CB),AB);

5)(AB,BC);

6)((AB + 4BC),(BA − AC));

7)AB, BC ;

8)(AB + 2BC),(CB − AB) ;

9)AB BC AC ;

10)(AB + BC), BC , AC ;

11)(AB, BC) AC ;

12)орт вектора AB ;

Задача 16. Даны координаты вершин пирамиды ABCD .

A(0;5;0),B (2;3;−4),C (0;0;6),D (−3;1;−1).

Вычислить:

1)объем пирамиды;

2)длину ребра AB ;

3)площадь грани ABC ;

22

4) угол между ребрами AB и AD ;

Задача 17. Имеет ли смысл выражение ? Обосновать.

((a, b,c ),a).

Задача 18. Имеет ли смысл выражение ? Обосновать.

(a −b ),c ,d .

Задача 19. Имеет ли смысл выражение ? Обосновать.

(a +b ),c ,a .

Задача 20. Имеет ли смысл выражение ? Обосновать. пр d (a,b ).

23

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ

Занятие 2. Простейшие задачи на плоскости. Линии первого порядка (прямая на плоскости)

Определение 4. Площадью треугольника АВС со сторонами АВ и АС называется число определяемое формулой

коэффициент прямой, α – угол между прямой и осью ox, b – отрезок отсекаемый прямой на оси oy.

Определение 6. Уравнением прямой проходящей через точку M(x0 , y0 ) и с заданным угловым коэффициентом называется

уравнение вида:

y − y0 = k (x − x0 ),

24

где угловой коэффициент можно определить через точки A(x1, y1 ) и

B(x2 , y2 ):

k = y2 − y1 . x2 − x1

Определение 7. Уравнением прямой походящей через две точки A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) называется уравнение вида

Определение 8. Общим уравнением прямой первой степени с двумя неизвестными является:

Ax + By +C = 0 ,

где A2 + B2 ≠ 0 .

Определение 9. Углом ϕ , между двумя прямыми называется угол определяемый равенством:

где k1 = tgϕ1 , k2 = tgϕ2 их угловые коэффициенты.

Определение 10. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны k1 = k2 .

Определение 11. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратно пропорциональны с

25

2.1. Образцы решения типовых задач

Пример 1. Вершины треугольника расположены в точках: А(-8,3), В(4,-12), С(8,10). Найти длину высоты опущенной из вершины С.

Решение:

1) Из формулы AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 следует:

AB = (4 +8)2 +(−12 +3)2 =15.

Пример 2. Дан треугольник с вершинами в точках А(-8,4), В(4,-5)

иС(2,9). Требуется:

1)Записать уравнения сторон АВ и АС ;

2)Вычислить внутренний угол ϕ при вершине А;

3)Записать уравнение высоты СD и найти её длину.

26

3) Так как высота СD и сторона АВ перпендикулярны, то из

2.2. Задачи для аудиторных занятий

Задача 1. Даны две смежные вершины квадрата АВСD. Вычислить площадь квадрата.

Задача 2. На оси абсцисс найти точку, удалённую от точки A(2,−3) на расстоянии 5 ед.

Задача 3. Три последовательные вершины параллелограмма АВСД находятся в точках: А(3,5), В(5,-3), С(-1,3). Определить координаты точки D и площадь параллелограмма.

Задача 4. Найти точку пересечения биссектрис треугольника с вершинами в точках: А(2,-5), В(1,-2), С(4,7).

Задача 5. Найти площадь четырёхугольника А(0,2), В(3,9), С(7,3), D(5,-3).

Задача 6. Вычислить площадь треугольника со сторонами: x = 0, y = 0, 3х+ 4y −12 = 0.

27

Задача 7. Записать уравнение серединного перпендикуляра отрезка с концами в точках: А(3,-5), В(5,3).

Задача 8. Найти проекцию точки А(-6,4) на прямую

4х−5y +3 = 0.

Задача 9. Записать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения медиан треугольника А(5,-4), В(-1,3), С(-3,-2) и параллельно стороне АВ.

Задача 11. Определить какие из точек M1(3;1), M2(2;3), M3(6;3),

M4(-3;-3), M5(3;-1), M6(-2;1) лежат на прямой 2x-3y-3=0 и какие не лежат на ней.

Задача 12. Точки Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 расположены на прямой x-3y+2=0; их ординаты соответственно равны числам 1, 0, 2, -1, 3. Определить абсциссы этих точек.

Задача 13. Найти точку пересечения двух прямых 3x-4y-29=0, 2x+5y+19=0.

Задача 14. Стороны треугольника лежат на прямых x+5y-7=0, 3x- 2y-4=0, 7x+y+19=0. Вычислить площадь треугольника.

Задача 15. Найти угловой коэффициент прямой и отрезок, отсекаемый ею на оси ординат, зная, что прямая проходит через точки P(2;-8) , Q(-1;7).

Задача 16. Даны уравнения двух сторон прямоугольника x-2y=0, x-2y+15=0 и уравнение одной из его диагоналей 7x+y-15=0. Найти вершины прямоугольника.

Задача 17. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В(2;-1), а также уравнение высоты 3x-4y+27=0 и биссектрисы x+2y-5=0, проведенных из различных вершин

Задача 18. Определить угол ϕ , образованный двумя прямыми:

1)5x-y+7=0, 3x+2y=0;

2)3x-2y+7=0, 2x+3y-3=0;

3)x-2y-4=0, 2x-4y+3=0.

Задача 19. Даны прямые:

28

1)2x+3y-6=0;

2)4x-3y+24=0;

3)2x+3y-9=0; 4)3x-5y-2=0.

Составить для них уравнения «в отрезках» и построить эти прямые на чертеже.

Задача 20. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1;1) и отсекает от координатного угла треугольник, площадь которого равна 2.

2.3. Задачи для самостоятельных занятий

Задача 1. Вычислить площадь равностороннего треугольник АВС две вершины, которого находятся в точках А(-3,2) и В(1,6).

Задача 2. Найти точку пересечения медиан треугольника с вершинами в точках: А(1,-3), В(3,-5), С(-5,7).

Задача 3. Найти длины высот треугольника с вершинами: А(8,3),

В(-4,12), С(-8,-10).

Задача 4. Найти длину биссектрисы ВD треугольника А(3,-5),

В(-3,3), С(1,3).

Задача 5. Найти расстояние точки Р(3,5) от прямой содержащей точки: А(3,-1), В(-1,2).

уравнения двух других сторон прямоугольника.

Задача 8. Записать уравнение прямой, равноудалённой от двух прямых, заданных уравнениями: 3х− 2y −1 = 0, 3х− 2y −13 = 0.

29

Задача 9. Серединами сторон треугольника АВС являются точки P(5,-4), Q(5,3), R(3,-4). Записать уравнения сторон этого треугольника.

Задача 10. В треугольнике с вершинами в точках А(2,-2), В(3,-5), С(5,7), записать уравнение перпендикуляра ,опущенного из вершины С на биссектрису АМ.

Задача 11. Точки P1, P2, P3, P4, P5 расположены на прямой 3x-2y-6=0; их абсциссы соответственно равны числам 4, 0, 2, -2, -6. Определить ординаты этих точек.

Задача 12. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М1(2;-3) парал лельно прямой:

1)3x-7y+3=0;

2)x+9y-11=0;

3)16x-24y-7=0;

4)2x+3=0;

5)3y-1=0.

Задача 13. Стороны треугольника AB, BC и AC треугольника ABC даны соответст венно уравнениями 4x+3y-5=0, x-3y+10=0, x-2=0. Определить координаты его вершин.

Задача 14. Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная её угол и отрезок, отсекаемый на оси oy:

a) ϕ = 23 π , b=3;

б) ϕ = 13π , b=5.

Задача 15. Дана прямая 5x+3y-3=0. Определить угловой коэффициент k прямой:

1)параллельной данной прямой ;

2)перепендикулярной к данной прямой.

Задача 16. Даны вершины треугольника A(4;6), B(-4;0), C(-1;-4). Составить урав нения:

а) трёх его сторон; б) медианы, проведённой из вершины А;

30