Элементы аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие

Задача 27. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

1)2х +2y -2z-6=0, 2х +y -2z-15=0;

2)3х -2y +6z-7=0, 3х -2y + 6z -35=0.

Задача 28. На оси Оу найти точку, равноудаленную от двух плоскостей: 3х +2y -6z-1=0, 16х +12y - 15z -7=0.

Задача 29. Записать уравнение плоскости, параллельной плоскости 2х -2y -z-6=0, и удаленной от точки М(4, 3, -2) на расстояние d = 7.

Задача 30. Составить уравнения плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образованные двумя пересекающимися плоскос тями:

1)2х +3y –z+1=0, х -2y +3z-4=0;

2)х -y +z-2=0, 2х +2y - 2z +3=0.

Задача 31. Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями 5х -10y -10z+9=0,

2х+11y+10z-8=0, в котором лежит точка М(1, 2, 3).

61

4) оси Оz.

Задача 36. Записать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М0(2, -3, 4) и параллельной вектору,

образующему с координатными осями углы α = π4 , β = π3 , γ = π3 .

Задача 37. Дан треугольник с вершинами А(1, 2,-4), В (5,-6, 2), С(3, 8,-10). Записать уравнения его медиан.

Задача 38. Дан треугольник с вершинами A(5,- 1, 3), В(3,-4,-3), С(-3,-16,1). Составить параметрические уравнения прямой, на которой лежит биссектриса его внутреннего угла В.

Задача 39. Дан треугольник с вершинами A(3, 2, 0), В (6, 5, -2), С(-6, 14, 9). Записать канонические уравнения прямой, на кото рой лежит биссектриса внешнего угла при вершине A.

4.3. Задачи для самостоятельных занятий

Задача 1. Вычислить объём пирамиды, ограниченной

62

Задача 5. Плоскость ω проходит через точку M0 (9,−8,−5) и

образует с плоскостью 2x +3y + 4z −11 = 0 угол 900 . Записать уравнение плоскости ω.

Задача 6. Записать параметрическое уравнение прямой AD , перпендикулярной плоскости проходящей через точки: A(1,2,-4),

B(5,-6,2), C(3,8,-10).

Задача 7. Преобразовать к каноническому виду уравнение прямой:

2x +3y − z −4 = 0,3x −5y +2z +1= 0.

Задача 8. Найти угол между прямыми: x +3 2 = y−−21 = 1z ,

x + y − z = 0,x − y −5z −8= 0.

Задача 9. Найти точку пересечения прямой x1−1 = y−+21 = 6z и плоскости 2x +3y + z =1.

Задача 10. Найти значениеα ,при котором прямая

3x −2y + z +3 = 0,4x −3y +4z +1 = 0,

и плоскость 2x − y +α z − 2 = 0 будут параллельны?

Задача 11. Записать уравнение плоскости в каждом из следующих случаев:

1)плоскость проходит через точку Р(5, —8, 1) и ось Ох;

2)плоскость проходит через точку Q(—2, 4, 6) и ось Оу;

3)плоскость проходит через точку S(3, 7, —9) и ось Oz.

Задача 12. Составить уравнение плоскости, проходящей через

три точки M1(x1 , y1 , z1), M2(x2 , y2 , z2), M3(x3 , y3 , z3), не лежащие на одной прямой.

63

Задача 15. Записать Записать уравнение плоскости, проходящей через точки М(8, 3, 6), N(4, 2, 7) и отсекающей на оси Oz отрезок длиной с = 6.

Задача 16. Пересекает ли плоскость 3х + 4y - 6z + 5 =0 отрезок, соединяющий начало координат с точкой М(2, —3, 1)?

Задача 17. Пересекает ли плоскость 2х - 5y + 3z - 7 =0 отрезок M1M2 в случае, когда:

1)M1(1 ,2 ,3), M2(4,6 ,5);

2)M1(4 ,-1,1), M2(2 ,1,2).

Задача 18. Среди данных плоскостей указать параллельные, совпадающие, перпендикулярные:

1)4х -6y +8z +3 =0;

2)х +2y + z + 6 =0.

Задача 19. Найти углы между двумя плоскостями:

1)10х -9y -8z+7 =0, 4x-10y+z-5=0;

2)5х -y+3z-2=0, -x+2y+10z-7=0;

3)х -2z+8 =0, y-5z+7=0.

Задача 20. Составить уравнение плоскости, проведенной через

перпендикулярен данной плоскости.

64

Задача 21. Составить уравнение плоскости, проведенной через точку M0(x0 , y0 , z0) параллельно вектору а =(a1 , a2 , a3) и перпендикулярно плоскости Ах + By + Cz + D = 0.

Задача 22. Составить уравнение плоскости, проведенной через точку M0(x0 , y0 , z0) и перпендикулярной двум пересекающимся плоскостям A1 x + B1 y +C1z + D1 = 0 , A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 .

Задача 23. Записать уравнение плоскости, проходящей через начало координат, перпендикулярной плоскости 5х -2y +5z+3 =0 и образующей с плоскостью х -4y -8z+7 =0 угол β = 45°.

Задача 24. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

1)х +2y +2z-9=0, 2х +4y +4z+15=0;

2)2х -10y +11z+30=0, 2х -10y + 11z - 45=0.

Задача 25. Вычислить расстояния от данных точек М1, M2 до указанных плоскостей:

1) х -2y +2z-3=0, М1 (4, 2, -1), М2(-3, 5,- 7); 2) 10x -11y +2z-45=0, М1 (0, 1, -2), М2(6, -1,2).

Задача 26. Найти направляющие косинусы и длину перпендикуляра, проведенного из начала координат к плоскости

2х+10y-11z-60=0.

Задача 27. На оси Ох найти точку, отстоящую от плоскости

6x+2y+3z-12=0 на расстоянии d = 6.

65

1)плоскости 3x-4y+5z-1=0;

2)плоскости Oyz;

3)плоскости Охz;

4)плоскости Оху.

Задача 34. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку Мо (10, -12,15) параллельно:

1) прямой x=-2+t, y=5-3t, z=4+8t;

Задача 35. Дан треугольник с вершинами A(4, -5, 7), В(3, 2, -1), С(-6, 8, 10). Записать уравнения прямых, на которых лежат его стороны.

Задача 37. Три последовательные вершины параллелограмма находятся в точках A(9,-3, 2), В (4,-2, 8), С (-7,-5, 6). Записать уравнения его диагоналей.

66

Занятие 5. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Пучок плоскостей. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Определение 1. Прямая как линия пересечения двух плоскостей определяется заданием двух уравнений первой степени:

Рис.5.1.

при условии, что коэффициенты А1, В1, С1 пропорциональны кэффициентам А2, В2, С2.

Уравнения (5.1) можно привести к параметрическому виду, для чего достаточно выбрать произвольную точку Мо(хо,yо ,zо ) этой прямой и взять в качестве направляющего вектора вектор а=[n1 ,n2] , где n1 = (А1, В1, С1), n2= (А2, В2, С2) — векторы нормалей к соответствующим плоскостям (рис. 5.1):

67

Определение 2. Пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую (5.1), имеет вид

α(A1x + B1 y +C1z + D1 )+ β(A2 x + B2 y +C2 z + D2 )= 0,

где α и β — действительные числа, причем хотя бы одно из них отлично от нуля. Это уравнение можно привести к виду

A1x + B1 y +C1z + D1 + λ(A2 x + B2 y +C2 z + D2 )= 0,

где λ = αβ , α ≠ 0 . Данное уравнение определяет все плоскости пуч-

ка, за исключением той, которой соответствует α = 0 , т. е. за исключением плоскости

A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0.

5.1. Образцы решения типовых задач

Пример 1. Дан треугольник с вершинами А(1, 1, 1), В(5, -3, 2), С(3, 2, 0). Составить параметрические уравнения прямой, на которой лежит его высота, проведенная из точки В.

Решение:

Эту прямую можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей: плоскости, проходящей через три точки А, В, С, и плос-

68

x + 2 y + 4z −7 = 0,

2(x −5)+1(y +3)−1(z −2) = 0,

2x + y − z −5 = 0.

Следовательно, данная прямая определяется уравнениями: x + 2 y + 4z −7 = 0,

2x + y − z −5 = 0.

Приведем эти уравнения к параметрическому виду. Нам известна точка В, через которую проходит данная прямая. Найдем координаты направляющего вектора а=[n1 ,n2] , Так как n1 = (1, 2, 4), n2= (2, 1, -1), то

а = (−6, 9, −3), или 13 а = (−2, 3, −1).

Следовательно, параметрические уравнения прямой имеют вид:

x = 5 − 2t, y = −3 +3t, z = 2 −t.

Пример 2. Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей x + 2 y +3z −7 = 0, 2x − y − z +5 = 0 и перпендикулярной к плоскости 4x −3y + 2z −1 = 0.

69

Решение:

Уравнение

α(x + 2 y +3z −7)+ β(2x − y − z +5)= 0

или

(α + 2β)х +(2α − β)y +(3α − β)z −7α +5β = 0

определяет пучок плоскостей, проходящих через данную прямую. Среди этих плоскостей выберем ту, которая перпендикулярна плоскости 4x −3y + 2z −1 = 0. Для нее должно выполняться условие

4(α + 2β)−3(2α − β)+ 2(3α − β) = 0, 4σ +9β = 0,

откуда β = − 94 α. Подставляя это выражение для β в исходное уравнение, получаем

9α(x + 2 y +3z −7)+ 4α(2x − y − z +5)= 0.

Считая α ≠ 0 и сокращая на α , находим искомое уравнение: x + 22 y +31z −83 = 0.

3 а м е ч а н и е. При α = 0 получаем 2x − y − z +5 = 0. Эта плоскость условию задачи не удовлетворяет.

Пример 3. Найти необходимые и достаточные условия, при которых прямые:

x = x1 +α1t, y = y1 +α2t, z = z1 +α3t, x = x2 + β1t, y = y2 + β2t, z = z2 + β3t

скрещиваются; пересекаются; параллельны; совпадают.

Решение: Введем в рассмотрение три вектора: M1M2 = r2 − r1, a и b рис.5.2.

70