Элементы аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие

в) высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.

Задача 17. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С(4;-1), а также уравнение высоты 2x-3y+12=0 и медианы 2x+3y=0, про веденных из одной вершины.

Задача 18. Определить точки пересечения прямой 2x-3y-12=0 c координатными осями и построить эту прямую на чертеже. Записать уравнение этой прямой в отрезках.

Задача 19. Через точку М(4;3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3. Определить точки пересе чения этой прямой с осями координат.

Задача 20. Найти проекцию точки Р(-8;12) на прямую, проходящую через точки А(2;-3) и В(-5;1).

31

Занятие 3. Кривые второго порядка

Определение 1. Кривыми второго порядка называются линии, описываемые алгебраическими уравнениями второго порядка

Ax2 +2Bxy +Cx2 + Dx + Ey + F = 0 ,

где A2 + B2 +C2 ≠ 0.

К ним относятся окружность, эллипс, гипербола, парабола. Возможны случаи вырождения: мнимый эллипс; пара пересекающихся прямых; и.т.д.

Определение 2. Окружностью с центром в точке О(x0 , y0 ) и радиусом равным R называется геометрическое место точек

равноудаленных от точки О(x0 , y0 ) называемой центром окружности

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 .

Определение 3. Эллипсом называется геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух точек F1 и F2 , называемых фокусами, постоянна и равна 2a .

Определение 4. Каноническим уравнением эллипса называется уравнение вида:

где b2 = a2 −c2 , a и bназывают полуосями.

Отрезки A1A2 и B1B2 называют, соответственно большой и малой осью эллипса (рис. 1).

Рис. 3.1.

32

Определение 5. Эксцентриситетом эллипса называется величина

Определение 6. Гиперболой называется геометрическое место всех точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до

33

x2 + y2 − 2x −6y −6 = 0 (x2 − 2x)+ (y2 −6y)−6 = 0 (x2 − 2x +1−1)+ (y2 −6y +9 −9)−6 = 0

(x −1)2 + (y −3)2 =16.

Центр в точке 01 (1,3). Далее, имеем:

x2 + y2 + 4x −16y + 43 = 0 (x2 + 4x + 4 − 4)+

+ (y2 −16y + 64 −64)+ 43 = 0 (x + 2)2 + (y −8)2 = 25.

Центр находится в точке 02 (-2,8). Следовательно, имеем:

0102 = 32 +52 = 4.

Пример 2. Вычислить длину хорды эллипса x2 + 2y2 −18 = 0, делящей угол между осями координат, по палам.

Решение. Поскольку, искомая хорда есть отрезок биссектрисы y = x , то решаем совместно уравнение эллипса биссектрисы. Имеем

Концы хорды находятся в точках:A(−6,−6),B(6, 6).

Тогда AB = (6 + 6)2 + (6 + 6)2 = 4 3.

Пример 3. Преобразовать к каноническому виду и указать тип кривой второго порядка:

9x2 −16y2 −18x −64y −199 = 0.

Решение. Проводим, очевидные преобразования

9x2 −16y2 −18x −64y −199 = 0

9(x2 − 2x +1−1)−(y2 4y + 4 − 4) =199

9(x −1)2 −16(y + 2)2 =144 (x16−1)2 − (y +92)2 =1.

35

Исходная кривая является гиперболой с центром в точке 0(1,-2) и полуосями a = 4, b = 3.

Пример 4. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная,

что малая ось равна 10, а эксцентриситет равен 1213 .

значения, получим а2 =169. Следовательно, уравнение эллипса имеет

вид: x2 + y2 =1.

169 25

Пример 5. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами равно 8.

Решение. Из условия имеем а=5, с=4. Вычислим малую полуось b = a2 − c2 = 25 −16 = 3.

Следовательно, уравнение эллипса имеет вид: x2 + y2 =1.

25 9

Пример 6. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса

36

Пример 7. Составить уравнение параболы, если известны ее фокус F(-7, 0) и уравнение директрисы x – 7= 0.

Решение.

Из уравнения директрисы имеем х = − 2р = 7 или p = -14. Таким образом, уравнение искомой параболы y2 = -28x.

Рис.3.3.

Пример 8. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

2.x =1 − 12 y 2+1.

3.у = −2 − 9 − x2 +8x.

4.у2 − x2 = 0.

Сделать чертежи.

Решение 1.

37

у = 7 − 23 x2 −6x +13 . Возводим обе части уравнения в квадрат:

(у −7)2 = 94 (x2 −6x +13)

или

94 (у −7)2 = (x2 −6x +13).

Выделяем в правой части полный квадрат:

94 (у −7)2 = (x −3)2 + 4

Или

(x −43)2 − (y −97)2 = −1.

Это – сопряженная гипербола. О′(3, 7), полуоси а = 2, b = 3.

Рис.3.4.

38

Заданное же уравнение определяет ветвь гиперболы, расположенную под прямой y–7=0, т.к. y < 7.

Решение 2. x =1 − 12 y 2+1.

Область допустимых значений (х, у) определяется условиями:

y 2+1 = 4 (1 − x)2 → y +1 = 8 (1 − x)2 .

Искомая кривая – часть параболы с вершиной в точке (1, -1).

Рис.3.5.

Решение 3.

у = −2 − 9 − x2 +8x.

Искомая кривая – часть окружности:

39

(y + 2)2 + (x − 4)2 = 52 , y ≤ −2, x [−1;9].

Рис.3.6.

Решение 4.

у2 − x2 = 0.

(y − x) (y + x)= 0,

Рис.3.7.

40