Элементы аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие

Пример 2. Вычислить площадь треугольника с вершинами в

Пример 3. Вершины тетраэдра(пирамиды)находятся в точках А(2,-1,1), В(5,5,4), С(3,2,-1) D(4,1,-3). Вычислить длину высоты DN (рис. 4).

11

2) Вычислим теперь объём пирамиды, учитывая что объём

пирамиды построенного на векторах a,b и c = AD(2,2,2) составляет

шестую часть объёма параллелепипеда построенного на этих же векторах. Имеем:

Решение:

1. Вычислим проекции векторов c1,c2 :

c1 = 5a +3b ={5 2+3 7;5 (−1)+3 1;5 5+3 (−3)}={31;−2;16}, c2 = 4a +b ={4 2+7;4 (−1)+1;4 5+(−3)}={15;−3;17}

2. Два вектора коллинеарны, если их проекции пропорциональны, следовательно, проверим пропорциональность проекций векторов:

c1 = 31 ≠ −2 ≠ 16 , c1,c2 c2 15 −3 17

не коллинеарны.

12

a ={−7;1;2},b ={3;2;−1}?

Решение:

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0, вычислим скалярное произведение:

(a,b )= −7 3 +1 2 + 2 (−1)= −21 ≠ 0

Решение:

Три вектора компланарны, если смешанное произведение векторов равно 0, вычислим смешанное произведение векторов:

A(2;1;3),B (3;1;4),C (2;5;3).

Решение:

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

(AB,AC)= arc cos0 = π2 .

Пример 8. Даны точки:

A(1;0;−1),B (0;1;3),C (2;0;1).

Найти:

1.прBC AB ;

2.пр(AB+CB) (2AC + 3CB);

13

3.AB + 4BC ;

4.(AB −CB, AB);

5.(AB, BC) ;

6.((AB + 4BC),(BA − AC));

7.AB, BC ;

8.(AB + 2BC),(CB − AB) ;

9.AB BC AC ;

10.(AB + BC), BC , AC ;

11.(AB, BC) BC ;

12.орт вектора AB .

Решение:

1. Проекция вектора на вектор вычисляется по формуле:

находим проекции векторов:

AB ={0−1;1−0;3−(−1)}={−1;1;4},

BC ={2−0;0−1;1−3}={2;−1;−2}

вычисляем скалярное произведение векторов и длину вектора:

(AB, BC)= (−1) 2 +1 (−1)+ 4 (−2) = −11, BC = 22 + (−1)2 + (−2)2 = 3.

2. Находим проекции векторов:

14

AB ={−1;1;4},CB ={−2;1;2},AC ={1;0;2},

AB +CB ={−3;2;6},2AC +3CB ={−4;3;10},

((AB +CB),(2AC +3CB))= 78,

AB +CB = 7

пр(AB+CB) (2AC +3CB)= 787 ;

3. Находим проекции векторов:

AB ={−1;1;4},BC ={2;−1;−2},AB + 4BC ={7;−3;−4}

5. (AB, BC)= (−1) 2 +1 (−1)+ 4 (−2)= −11;

6.

AB + 4BC ={7;−3;−4},BA − AC ={0;−1;−6}

(AB + 4BC, BA − AC)= 27

7.Векторное произведение векторов вычисляется по формуле:

где

a ={ax ;ay ;az },b ={bx ;by ;bz }

15

8.

9. Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле:

где

a ={ax ;ay ;az },b ={bx ;by ;bz },c ={cx ;cy ;cz }

10.

11.

(AB,BC)= −11,(AB,BC) BC = (−11) {2;−1;−2}={−22;11;22}

единичной длины необходимо каждую проекцию вектора разделить на его длину.

16

A(1;4;3),B (2;3;1),C (−2;1;3),D (0;1;2).

Вычислить:

1.объем пирамиды;

2.длину ребра AB ;

3.площадь грани ABC ;

4.угол между ребрами AB и AD .

Решение:

1.Объем пирамиды вычисляется по формуле:

AB = 12 + (−1)2 + (−2)2 = 6 ;

3. Площадь грани ABC вычисляется по формуле:

=12 36 +36 +36 = 26 3 = 33

4.Угол между ребрами AB иAD вычисляется по формуле:

17

Пример 10.

Имеет ли смысл выражение (a + (b,c ),d ),(a −b ) ? Обосновать.

Решение:

призведения (b,c ) получим число, затем мы должны сложить вектор

aс результатом скалярного произведения (число), что не возможно.

1.2.Задачи для аудиторных занятий

Задача 3. Даны точки А(-1,3,-7), В(2,-1,5) и С(0,1,-5). Найти координаты векторов a = AB, b = AC , c = BC и вычислить скалярное произведение (2a −c) (2c −b).

Задача 4. Найти углы между диагоналями четырёхугольника вершины которого находятся в точках А(1,-2,2), B(1,4,0), C(-4,1,1).

Задача 5. Определить внешний угол при вершине А в треугольнике с вершинами: А(3,2,-3), В(5,1,-1) и С(1,-2,1).

Задача 6. Даны векторы: a = i −3 j +4k , b = 3i −4 j +2k ,

c = −i + j +4k . Найти проекцию вектора a +b на направление вектора

(a + c).

18

Задача 7. Даны точки А(-2,3,-4) и В(3,2,5). Найти координаты единичного вектора e = AC на направление вектора AB.

Задача 8. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках:

А(2,-1,1), В(5,9,4), С(3,2,-1), D(4,1,3).

Задача 9. Вершины пирамиды находятся в точках: А(2,3,1), В(4,1,-2), С(6,3,7), D (-5,-4,8). Вычислить длину высоты опущенной из вершины D на грань АВС.

Задача 10. Возможно ли через точки: А(1,2,-1), В(0,1,5), С(-1,2,1),

D(2,1,3) провести плоскость?

A(1;−2;3),B (0;−1;2),C (3;−4;5).

Задача 15. Даны координаты точек A,B,C.

A(1;2;1),B (−1;3;4),C (0;1;2).

Вычислить:

1)прBC AB ;

2)пр(AB+CB)(2AC +3CB);

3)AB + 4BC ;

4)((AB −CB),AB);

5)(AB,BC);

6)((AB + 4BC),(BA − AC));

19

7)AB, BC ;

8)(AB + 2BC),(CB − AB) ;

9)AB BC AC ;

10)(AB + BC), BC , AC ;

11)(AB, BC) AC ;

12)орт вектора AB ;

Задача 16. Даны координаты вершин пирамиды ABCD .

A(1;1;1),B (−1;2;4),C (2;0;6),D (−2;5;−1).

Вычислить:

1)объем пирамиды;

2)длину ребра AB ;

3)площадь грани ABC ;

4)угол между ребрами AB и AD ;

Задача 17. Имеет ли смысл выражение ? Обосновать.

( a,b ,c ,c).

Задача 18. Имеет ли смысл выражение ? Обосновать.

a,(b + c ) ,d .

Задача 19. Имеет ли смысл выражение ? Обосновать.

((a,b ),c ).

Задача 20. Имеет ли смысл выражение ? Обосновать.

((a,b ),c ) c.

20