Элементы аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие
.pdf
Рис.5.2
Данные прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда эти векторы некомпланарны, т. е. когда их смешанное произведение отлично от нуля: (r2 − r1)ab ≠ 0.
Данные прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда указанные векторы компланарны, т. е. когда их смешанное произведение равно нулю: (r2 − r1 )ab = 0.
Данные прямые пересекаются, когда векторы а и b неколлинеарны; параллельны, когда векторы а и b коллинеарны; совпадают, когда все векторы r2 − r1, a, b коллинеарны.
Пример 4. |
Доказать, что прямые x = 8 + 3t, y = −7 −5t, z =11 + 6t, |
х = 8 + 3t |
и x = 9 +7t, y =1 − 2t, пересекаются, и найти точку |
их пересечения.
71
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим векторы |
r2 − r1 = (9 −8,1 − (− 7),3 −11)= (1,8,−8), а = (3, - |
|||||||||||
5,6), b = (7,-2, 4) и их смешанное произведение |
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
8 |
−8 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
30 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
(r − r )ab = |
3 −5 |
6 |
= |
3 |
1 |
30 |
= |
= 0. |
||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
60 |
|
|
|
7 |
−2 |
4 |
|
2 |
2 |
60 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Поскольку смешанное произведение трех векторов равно нулю, то прямые лежат в одной плоскости. Так как направляющие векторы а и b данных прямых неколлинеарны, то прямые пересекаются.
Чтобы найти точку пересечения прямых, приравняем выражения для координат, предварительно обозначив параметры разными буквами:
8 + 3t=9+7s, -7-5t=1-2s, 11+6t=3+4t.
Умножая первое уравнение на 2 и вычитая из него почленно третье, имеем: 5=15+ 10s, 10s = - 10, s =- 1.
При s = - 1 получаем t = -2. Подставляя значение t =- 2 в уравнения первой прямой (или s =- 1 в уравнения второй прямой), находим х = 2, у = 3, z = - 1. Следовательно, М0(2, 3, -1) - точка пересечения данных прямых.
5.2. Задачи для аудиторных занятий
Задача 1. Составить параметрические уравнения следующих прямых:
1)3x-3y+2z-1=0, 5x-2y+3z-3=0.
2)x-3y+z+3=0, 3x+y-2z-6=0.
Задача 2. Составить канонические уравнения следующих прямых:
3x-2y+z-2=0, 4x+y-3z-2=0.
Задача 3. Записать канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(4, 3, -6) параллельно прямой 7x+y+z-8=0, 6x+y-2z-7=0.
72
Задача 4. Записать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М0(5,-2, 7) параллельно прямой x+2y+3z-
5=0, 2x+y+2z-3=0.
Задача 5. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2, - 1,-3) и прямую x+2y-3z-3=0, 2x+y+z-7=0.
Задача 6. Записать уравнение плоскости, проектирующей прямую 3x-3y-4z=0, 4x+y+3z-5=0 на плоскость 2x-6y+7z-9=0.
Задача 7. Записать параметрические уравнения проекции прямой 2x-y-z-1=0, x+y+2z-2=0 на плоскость 9х +4у- 5z-13 = 0.
Задача 8. Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей 3x-2y+4z-1=0, 5x+y-2z-6=0 параллельно плоскости x-y+2z-7=0.
Задача 9. Записать уравнен ие плоскости, проходящей через
прямую x+2y+3z-5=0, 3x-4y+2z+1=0 и равноудаленной |
от |
точек M(1,2,-1) и M(-2, 1, 2). |
|
Задача 10. Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую x+y-z+1=0, 3x+2y+z-4=0 и отстоящей от начала координат на расстоянии р = 0,6.
Задача 11. Доказать, что прямые
x +8 7 = y 5− 4 = 2z
и
x 1−1 = y 7− 3 = z −4 2
являются скрещивающимися.
Задача 12. Доказать, что прямые x=7+5t, y=-5-7t, z=-2-3t и x=t, y=t, z=-3+2t пересекаются. Найти точку пересечения. Записать уравнение плоскости, в которой лежат эти прямые.
73
Задача 13. Доказать, что прямые 2x-y-z-1=0, x+y+2z-2=0 и 3x-3y- 4z=0, 4x+y+3z-5=0 совпадают.
Задача 14. Исследовать взаимное расположение прямых: x=t, y=1+4t, z=1-3t и x=1+7t, y=-8t, z=1+5t.
Задача 15. Исследовать взаимное расположение прямых^
х= -3t, y= 2 +3t, z=1 и x=1+5t, y=1+13t, z=1+11t.
5.3. Задачи для самостоятельных занятий
Задача 1. Составить параметрические уравнения следующих прямых:
3)x+2y+z-1=0, 2x+2y-3z+6=0.
4)x+y+z-3=0, x-y+z-1=0.
Задача 2. Составить канонические уравнения следующих прямых:
2x+3y+2z-4=0, x+4y+5z-6=0.
Задача 3. Записать канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(5, 4, -5) параллельно прямой 8x+2y+2z-7=0,
5x+y-3z-6=0.
Задача 4. Записать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М0(6,-1, 5) параллельно прямой x+2y+2z-6=0, x+y+z-1=0.
Задача 5. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2, - 2,-3) и прямую x+4y-3z-3=0, 2x+2y+z-7=0.
Задача 6. Записать уравнение плоскости, проектирующей прямую 6x-6y-7z=0, 2x+y+4z-6=0 на плоскость x-5y+6z-8=0.
Задача 7. Записать параметрические уравнения проекции пря-
мой 3x-y-z-2=0, x+y+3z-3=0 на плоскость 7х +3у-3z-11 = 0.
74
Задача 8. Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей 5x-2y+3z-1=0, 4x+y-3z-7=0 параллельно плоскости x-y+2z-7=0.
Задача 9. Записать уравнен ие плоскости, проходящей через прямую x+2y+3z-5=0, 3x-4y+2z+1=0 и равноудаленной от точек M(2,3,0) и M(-1, 0, 1).
Задача 10. Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую x+y-z+1=0, 5x+3y+z-2=0 и отстоящей от начала координат на расстоянии р = 0,4.
Задача 11. Доказать, что прямые
x 7+ 5 = y 4− 3 = 5z
и
x 1−1 = y 7− 3 = z −4 2
являются скрещивающимися.
Задача 12. Доказать, что прямые x=7+5t, y=-5-7t, z=-2-2t и x=t, y=t, z=-3+3t пересекаются. Найти точку пересечения. Записать уравнение плоскости, в которой лежат эти прямые.
Задача 13. Доказать, что прямые 2x-y-z-1=0, x+y+2z-2=0 и 3x-3y- 4z=0, 4x+y+3z-5=0 совпадают.
Задача 14. Исследовать взаимное расположение прямых: x=2+2t, y=1, z=-2t и x=2t, y=0, z=-2t.
Задача 15. Исследовать взаимное расположение прямых^
х= 8+3t, y= 7-2t, z=11+t и x=5-6t, y=9+4t, z=10+2t.
75
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задание 1. Ответить на вопрос своего варианта.
Векторы
1)Определение компланарности векторов;
2)Определение коллиниарности векторов;
3)Проекция вектора на ось. Свойства проекции;
4)Умножение вектора на число. Сложение (вычитание) векторов;
5)Модуль и направление вектора;
6)Радиус-вектор точки и его координаты;
7)Модуль и направляющие косинусы радиус-вектора;
8)Координаты и модуль произвольного вектора;
9)Линейные операции над векторами в координатах;
10)Скалярное произведение векторов и следствия;
11)Скалярное произведение векторов и следствия в координатах;
12)Векторное произведение. Площадь параллелограмма. Угол между векторами;
13)Векторное произведение через координаты векторов;
14)Смешанное произведение трёх векторов. Объём параллелепипеда;
15)Выражение смешанного произведения через координаты векторов;
16)Объём параллелепипеда и условие компланарности в координатах;
17)Линейная зависимость векторов.
Аналитическая геометрия на плоскости
18)Расстояние между двумя точками на плоскости;
19)Формулы деления отрезка в заданном отношении;
76
20)Площадь треугольника с вершинами в точках A(x1, y1, z1),
B(x2 , y2 , z2 ), C(x3 , y3 , z3 );
21)Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом;
22)Уравнение прямой проходящей через заданную точку и с заданным угловым коэффициентом;
23)Уравнение прямой проходящей через две заданные точки;
24)Общее уравнение прямой и его частные случаи;
25)Нормальное уравнение прямой;
26) Расстояние от точки M0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости
Ax + By +C = 0 ;
27)Угол между двумя прямыми;
28)Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых;
29)Точка пересечения двух прямых.
30)Окружность и её уравнение;
31)Определение и каноническое уравнение эллипса;
32)Определение и каноническое уравнение гиперболы;
33)Определение и каноническое уравнение параболы;
34) Общее уравнение кривых второго порядка.
Прямая плоскость в пространстве
35)Общее уравнение плоскости. Вектор нормали к плоскости;
36)Нормальное уравнение плоскости;
37)Расстояние от точки до плоскости;
38)Уравнение плоскости проходящей через три заданные точки;
39)Угол между двумя плоскостями;
40)Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей ;
41)Параметрические и канонические уравнения прямой;
42)Общее уравнение прямой линии;
43)Угол между двумя прямыми;
77
44)Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых;
45)Угол между прямой и плоскостью
Задание 2. Решить задачу своего варианта
Векторы и действия над ними
и– количество букв в имени, ϕ - количество букв в фамилии.
1)Даны векторы a(u,2u,2u) и b(−ϕ,−2ϕ,2ϕ). Найти угол между
ними.
2)Вычислить прb (a+b), если a = u i +2ϕ j −3 k , b = i +2 j −2 k.
3) Векторы a = u i +α j +ϕ k , b = i +u j +ϕ k параллельны. Найти параметр α .
4) Найти векторное произведение векторов:
a= u i +ϕ j +2k, b = −u i +ϕ j −3 k.
5)При каком значении параметра α векторы a(α,2u,ϕ) и b(−u,α,ϕ) будут перпендикулярными?
6)Даны векторы: a = i − j +u k , b = 2 i + j −ϕ k , c = 2 i − j −u k . Найти неизвестный вектор X(x, y, z), если (a X) = u −ϕ , (b X) = 3u ,
(c X) = −ϕ.
7)Вершины пирамиды находятся в точках: A(1,0,0), В(-1,-u,0), С(0,3,0), D(1,1,ϕ ). Вычислить объём данной пирамиды.
8)Вершины пирамиды находятся в точках: A(3,0,0), В(0,2,0), С(-1,-u,0), D(1,1,ϕ). Вычислить длину высоты опущенной из
вершины D на основание.
9) Найти значение параметра α , при котором векторы a(α,2,1), b(u,ϕ,−ϕ), c(α,1,1) будут компланарными.
78
Аналитическая геометрия на плоскости
10) В треугольнике с вершинами в точках A(−ϕ,-3), В(3,u), С(6,6) требуется:
- вычислить длины сторон треугольника;
- найти тангенс угла между высотой AN и медианой AM ; - записать уравнение высоты AN и медианы AM ;
-вычислить площадь треугольника.
11)Записать уравнение траектории точки, которая при движении остаётся на одинаковом расстоянии от точки A(ϕ,u) и от прямой
линии x = −ϕ.
12) Записать каноническое уравнение и построить кривую второго порядка:
25x2 −14xy + 25y2 + (50 −14ϕ)x +
+(50 ϕ −14)y + (25 −14 ϕ + 25ϕ2 − 288) = 0.
13)Преобразовать к каноническому виду и построить кривую:
3x2 −10xy +3y2 + (6u −10ϕ)x + (6ϕ −10u)y + + (3u2 −10uϕ +3ϕ2 +8) = 0.
Прямая и плоскость в пространстве
14) Записать параметрическое уравнение прямой линии
ϕ x − y + z = 0,ux + y − z =ϕ.
15)Определить расстояние между плоскостями
x− 2y +uz −ϕ = 0 и x − 2y +uz +u ϕ = 0.
16)Вычислить косинус угла между плоскостями:
xt + 2ty + 2t z +u = 0 и −tx + 2t y − 2t z +ϕ = 0,
79
где t = u . |
|
ϕ |
|
17) Определить |
угол между прямой линией x =1+u t , |
y = 2 +ϕ t , z = −2 +u t |
и плоскостью u x −ϕ y −u z +ϕ = 0. |
18)Определить точку пересечения прямой xu−1 = yϕ−2 = z +u 2 и плоскостью x − y − z = 0.
19)Упростить выражение: [(i −ϕ j)×(i +ϕ j)×(i +u j +ϕ k)] ( j +k).
20)Упростить выражение: i ×(i −ϕ j)×(i +u j +ϕ k)×( j −k).
|
|
Задание 3. Выполнить тестовые задания |
|
|
||||||
|
1) |
Даны векторы: |
a =3 i −2 j +k, |
b = −2 |
|
+4 j −3 k. |
Длина |
|||
|
i |
|||||||||
вектора a +b равна .... |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
1 |
2) 3 |
|
3) 5 |
|
4) 7 |
|
|
|
|
|
2) |
Векторы |
a = m i + j + 2 k, b = −2 i −2 m j +3 k |
будут |
||||||
перпендикулярны, если параметр m равен ... |
|
|
|
|
||||||
1) |
2 |
2) 3 |
|
3) − |
5 |
4) 5 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
3) |
Скалярное |
произведение |
(a b) |
векторов: |
|||||
a = 3 i −2 j +2 k, |
b = −i + j −m k |
будет |
|
равна 5, |
|
если m |
||||
равняется ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
-5 |
2) 3 |
3) |
5 |
4) -3 |
5) − |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
4) |
Скалярное произведение векторов: a = i + j, b = i +k |
равно... |
|||||||
1) |
2 |
2) -2 |
|
3) 1 |
|
4) -1 |
|
|
|
|
|
5) |
Скалярное произведение (a +b)(a −b)равно ... |
|
|
||||||
80