Элементы аналитической геометрии. Учебно-методическое пособие

Определение 7. Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при неизвестных пропорциональны

A1 = B1 = C1 ≠ D1

A2 B2 C2 D2

или

A2 = λ A1, B2 = λ B1, C2 = λ C1, D2 ≠ λ D1.

Определение 8. Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение коэффициентов при неизвестных равно нулюA1 A2 + B1 B2 +C1 C2 = 0.

51

Определение 15. Углом между плоскостью Ax + By +Cz + D = 0 и

4.1. Образцы решения типовых задач

Пример 1. Даны вершины пирамиды: A(2,-3,1), В(6,1,-1), С(4,8,9),

D(2,-1,2). Найти длину высоты DN опущенной из вершины D.

Решение. Данный пример решим, используя элементы аналитической геометрии в пространстве. Длину высоты DN определим, как расстояние от точки D до плоскости АВС. Запишем уравнение плоскости основания пирамиды:

Пример 2. Записать каноническое уравнение прямой

3x −2y + z −2 = 0,2x +3y +2z −4 = 0.

Решение.

1) Найдём какую-нибудь точку данной прямой. С этой целью примем z = 2. Тогда заданная система примет вид:

3x −2y = 0,

2x +3y = 0.

53

Решив эту систему, получим x0 = 0, y0 = 0. Точка M0 (0,0,2) принадлежит данной прямой.

2)Так как вектор N1(3,−2,1) перпендикулярна первой плоскости,

авектор N2 (2,3,2) перпендикулярна второй плоскости, то их векторное произведение, очевидно, параллельна данной прямой.

Следовательно, направляющий вектор определяется просто:

точке M (x , y , z ). Поскольку, координаты этой точки удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, то

x =1+ t , y = −1− 2t , z = 6t ,

где t −значение параметра соответствующее положению точки M на прямой.

2x +3y + z −1 = 0.

Отсюда следует: 2(1+t )+3(−1− 2t )+ 6t −1 = 0 t =1.

Подставив найденное значение параметра в исходное уравнение прямой, определяем координаты точки пересечения x = 2, y = −3, z = 6 т.е. M (2,−3,6).

54

Пример 4. Даны вешшины паралелепипеда М(1,2,3) и уравнения плоскостей, в которых лежат три его непаралельные тграни:

2x − y + 2z − 3 = 0, x + 2 y − 2z −1 = 0, 3x − y − z −1 = 0. Составить уравнения плоскостей, в которых лежат три другие грани.

Решение. В соотвествии с условием паралельности плоскостей уравнение плоскости, параллельной плоскости 2x − y + 2z −3 = 0, можно искать в виде

2x − y + 2z + D = 0.

Поскольку искомой плоскости принадлежит точка М(1,2,3) то

2x − y + 2z −6 = 0.

Аналогично составляются уравнения плоскостей, в которых лежат две остальные играни:

x + 2 y − 2z +1 = 0, 3x − y − z + 2 = 0.

Пример 5. Составить уравнение плоскостим, проходящей через две точки М(2,1,-3), N(1,-3,4) перпендикулярно плоскости

5x −6y + 7z − 4 = 0.

Решение. Так как искомая плоскость проходит через точку М, то ее уравнение можно представить в виде:

A(x − 2)+ B(y −1)+C(z +1) = 0.

Координаты A, B, C нормального вектора n этой плоскости определим из следующих условий:

2. Искомая плоскость проходит через точку N(1,-3,4) Эти два условия приводят к уравнениям:

5 A −6 B + 7 C = 0;

A(1 − 2) + B(−3 −1) +C(4 +1) = 0;

− A − 4 B +5 C = 0.

Выражая из этих уравнений A и B через C, находим :

55

Подставляя значения A и B в уравнение искомой плоскости, получаем:

131 C(x − 2) + 1613 C(y −1) + C(z +1) = 0

или

(x − 2)+16(y −1)+13(z +1) = 0.

Следовательно, уравнение плоскости имеет вид: x +16y +13z −5 = 0.

x + 2 y − 2z +1 = 0, 3x − y − z + 2 = 0.

Пример 6. На оси Оу найти точку, отстоящую от плоскости 2x + 3y −6z + 7 = 0 на растоянии d=5.

Решение. Пусть М(0,у,0) - искомая точка (x=0, z=0, так как она принадлежит оси Oy). Исходя из условия, получаем:

56

В соответствии с параметрическими уравнениями прямой получаем:

x = 2 + 3 t, y = −5 + 4 t, z = 8 − 7 t.

Исключая из этих уравнений параметр t , находим канонические уравнения ланной прямой:

x −3 2 = y 4+5 = z−−78 .

Пример 8. Дан треугольник с вершинами А(1, 4,-5), В(-3, 6, 9), С(5, 6, 7). Составить уравнения прямой, на которой лежит медиана, проведенная из вершины В.

Решение. Используя соответственные формулы, находим середину отрезка АС — точку D(3, 5, 1). Задача сводится к составлению уравнения прямой, проходящей через две точки В и D. Считая точку В первой, а точку D второй, получаем уравнения:

Замечание 1. Обозначая равные отношения через t, получаем параметрические уравнения данной прямой:

x = −3 +6 t, y = 6 −t, z = 9 −8 t.

Замечание 2. Если в этих уравнениях 0 ≤ t ≤1, то точка описывает медиану BD. При t = 0 получаем х = - 3, у = 6, z = 9, т. е. координаты точки В, при t = 1 — координаты точки D.

4.2. Задачи для аудиторных занятий

Задача 1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1,2,-3), М2(-2,1,-3) и параллельной вектору a(3,−5,1).

57

Задача 2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (4,−6,5) параллельной плоскости 7x +3y −8z −5 = 0.

Задача 3. Записать уравнение плоскости, проходящей через

точки: A(2,0,0), B(0,3,0) C(0,0,5) и найти длину вектора N , перпендикулярного полученной плоскости.

Задача 4. Записать уравнение плоскости, равноудалённой от двух данных плоскостей 4x − y − 2z −3 = 0 и 4x − y − 2z −5 = 0.

Задача 5. Найти линейный угол двугранного угла между плоскостями 3x − 2y +5z + 2 = 0 и x + 4y + z − 4 = 0.

Задача 6. Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0(1,-3,2) и параллельно вектору S = 3i − j +5k.

Задача 7. Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(10,-12,15) и параллельно прямой: x = 3 − 4t, y = 7 +9t,

z = −2 −6t.

Задача 8. Записать параметрическое уравнение прямой:

x +2y − z −6 = 0,2x −5y + z +1= 0.

Задача 9. Найти угол между прямыми:

x + y −3z −1 = 0,2x − y −9z −2 = 0,

и

2x + y +2z +5 = 0,2x −2y − z +2 = 0.

Задача 10. Записать уравнение плоскости, содержащей прямую

системы координат в следующих случаях:

1) D=0;

58

2)А=0;

3)В=0;

4)С = 0;

5)A=0, D=0;

6)B=0, D=0;

7)C=0, D=0;

8)A=0, B=0, D=0?

Задача 13. Составить уравнения плоскостей, параллельных координатным плоскостям и проходящих через точку Мо(2, —3, 1).

Задача 14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Мо и имеющей нормальный вектор п, в каждом из следующих случаев:

1)Мо(4,3,-2), n=(1,-7,5);

2)Мо(1,-6,-8), n=(2,1,-2).

Задача 14. Записать уравнение плоскости в каждом из следующих случаев:

1)плоскость перпендикулярна оси Ох и проходит через точку

Р(7,-4,3);

2)плоскость перпендикулярна оси Оу и проходит через точку

Q(l,2,-6);

3)плоскость перпендикулярна оси Oz и проходит через точку

R(-5,8, 9).

Задача 15. Записать уравнение плоскости, проходящей через две точки M1, M2 и параллельной данному вектору а:

1)M1(1 ,-2 ,-1), M2(4,1 ,1), а=(5 ,3,4);

2)M1(3 ,2 ,1), M2(1,-4 ,3), а = (2, -1, -2).

Задача 16. Найти отрезки, отсекаемые на осях координат плоскостями:

1)3х - 4y + 2z – 12 =0;

2)6х - y -7z – 42 =0;

3)х + 5y - 4z + 20 =0;

4)4х - 3y + 5z + 15 =0.

59

Задача 17. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2, 5,-4) и отсекающей на осях координат равные отрезки.

Задача 18. Вычислить объем пирамиды, ограниченной координатными плоскостями и плоскостью 3х - 6y + 4z - 24 =0.

Задача 19. Среди данных плоскостей указать параллельные, совпадающие, перпендикулярные:

1)2х - 3y + 4z – 5 =0;

2)6х - 9y +12z – 15 =0.

Задача 20. Найти углы между двумя плоскостями:

1)5х +4y -2z –3 =0, 20x+16y-8z+5=0;

2)3х -2y+5z+2=0, x+4y+z-4=0;

3)11х -8y -7z+6 =0, 4x-10y+z-5=0.

Задача 21. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1, —3, 2) и параллельной плоскости 7х +3y -8z-5=0.

Задача 22. Записать уравнение плоскости, проведенной через точку М(4,-6, 5) и параллельной плоскости, проходящей через три точки Р(3, -2, 2), Q(-3, 1, 2), R(-1, 2, 1).

Задача 23. Доказать, что параллелепипед, три непараллельные грани которого лежат в плоскостях 95х +29y -43z-37=0,

х+16y+13z-11=0, 5х -6y +7z-3=0, является прямоугольным.

Задача 24. Даны вершина параллелепипеда М(2, 1, 3) и уравнения плоскостей, в которых лежат три его непараллельные грани: х + у + z - 1 = 0, 2х - 2у + 3z - 7 = 0,

3х +4y -5z+6=0.

Записать уравнения плоскостей, в которых лежат три другие грани; найти длину диагонали MN этого параллелепипеда.

Задача 25. Вычислить расстояния от данных точек М1, M2 до указанных плоскостей:

1)х -2y +2z-3=0, М1 (4, 2, -1), М2(-3, 5,- 7);

2)2х +3y -6z-7=0, М1 (-2, 5, 1), М2(9, 1,2);

Задача 26. Дана треугольная пирамида с вершинами A(1,1, 1),

В(-11, 3, -3), С (5, 2, 4), D(2, 2,-5). Вычислить длину высоты,

проведенной из вершины D к грани ABC.

60