Эконометрика теория игр в экономике. Учебное пособие

1.1. Генезис, предмет и задачи теории игр в экономике

всякое явление, в котором участвуют различные стороны, называемые множествами игроков и наделенные несовпадающими интересами... »5. А игра – как «…идеализированная математическая модель коллективного поведения: несколько субъектов-игроков влияют на исход игры, причем их интересы различны»6.

Реализация игрового подхода к анализу конкурентных рынков актуализируется лишь в 60–80-е годы XX в. Это не случайно: именно в это время отмечается движение социальной эволюции от индустриального к постиндустриальному этапу развития. Данный переход характеризуется насыщением потребительского спроса, усложнением природы и структуры экономических отношений на базе активных институциональных изменений, ужесточением конкуренции и смещением характера производства от массового к серийному. Всё это обусловило необходимость нового качества менеджмента и, как следствие, – дефицит эмпирических методов принятия управленческих решений во всех сферах функционирования организаций в условиях как недостатка, так и избытка информации. Таким образом, стали активно адаптироваться к социально-экономическимситуациям,дляиспользованиявуправ- лении математическое моделирование, линейное и динамическое программирование, теория игр.

Сегодня теория игр стала доминирующим инструментом для анализа экономических проблем. В частности несовместная (некооперативная) теория игры (т. е. отрасль теории игры, которая исключает обязательные соглашения) имела большое воздействие на экономическое исследование. Основной аспект этой теории – концепция равновесия, которая используется для предсказания относительного результата стратегического взаимодействия.

Джон Ф. Нэш, Ричард Селтен (R. Selten), и Джон К. Харсаньи

(D. K. Harsanyi) – исследователи, которые осуществили выдающийся вклад в этот тип анализа равновесия.

Джон Ф. Нэш в своей докторской диссертации представил раз-

личие между совместными (кооперативными) играми, в которых игроки могут вступать в реализацию различного рода соглашений,

и несовместными (некооперативными), где обязательства сторон

5 Энциклопедия математика / под ред. С. М. Никольского, М.: 1996.

С. 380.

6 Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М., 1985. С. 10

11

Модуль I. Введение в методологию теории игр

друг перед другом и соглашения между ними не допустимы (не возможны). Дж. Нэш разработал концепцию равновесия для несовместных (некооперативных) игр, которое позже стали назвать Нэш-равновесием. Оно выступает аналогом ситуации Парето-

эффективности в экономике.

Нэш предложил две интерпретации концепции равновесия:

1)основанную на рациональности;

2)основанную на статистических выборках.

Согласно рационалистической интерпретации, игроки пред-

ставляют собой рационально действующих агентов. Причём игроки имеют полную информацию относительно структуры игры, включая предпочтения всех игроков относительно возможных результатов. Так как все игроки имеют полную информацию относительно стратегических альтернатив и предпочтений друг друга, они могут определять выбор оптимальной стратегии каждым из игроков для каждого набора ожиданий. В состоянии Нэшравновесия не имеется никаких стимулов для любого игрока для изменения своей стратегии.

Вторая интерпретация равновесия – в терминах статистиче-

ских выборок – полезна в так называемых эволюционных играх. Этот тип игр был развит в биологии для моделирования естественного отбора и сводится к описанию стратегического взаимодействия в пределах биологической разновидности.

Кроме того, Дж. Нэш показал, что не все игры характеризуются наличием равновесной ситуации, т. е. обладают устойчивостью

ввыборе доминирующих стратегий игроками (существует постоянное стремление сменить свою доминирующую стратегию), но показал, что для каждой игры с конечным числом игроков равновесие существует в смешанных стратегиях (т. е. с заданной вероятностью поочерёдного выбора той или иной стратегии).

Обоснование возможности исследования «равновесие по Нэшу»

вэкономических исследованиях предложено Мартином Шуби-

ком7.

Ричард Селтен одним из первых адаптировал Нэш-концепцию равновесия к анализу динамического стратегического взаимодействия, т. е. конфликта в условиях изменяющихся правил приня-

7 Shubik M. The General Equilibrium Model Is Incomplete and Not Adequate For the Reconciliation of Micro and Macroeconomic Theory. Kyklos 28 (1975).

12

1.1. Генезис, предмет и задачи теории игр в экономике

тия решений. Он применил свою динамическую концепцию к исследованию конкуренции нескольких продавцов.

Джон К. Харсаньи разработал методы анализа для игр с неполной информацией, таким образом обеспечивая теоретическую основу для реальной области исследования, которая сосредоточивается на стратегических ситуациях, где различные агенты (игроки) в моделировании собственного поведения не обладают знанием целей и интересов друг друга.

Применительно к экономической науке элементарные игровые подходы к анализу проблем экономического выбора и конкуренции можно встретить уже с 1930-х гг. в рамках неоклассической методологии экономического анализа8.

Впоследнее время теория игр и её методы проникли и в управленческую практику9. Теория игр наряду с теориями трансакционных издержек и «принципала-агента» воспринимается как полноценный элемент теории организации.

В80-х годах М. Портер ввел в категориальный перечень прикладной экономической науки такие понятия теории, как «стратегический ход» и «игрок».

Теория игр – теория моделирования принятия экономических решений в условиях неопределённости, в условиях столкновения, конфликтных ситуациях, когда принимающий решение субъект (конкурент, игрок) располагает информацией лишь о множестве возможных ситуаций, в одной из которых он в действительности находится, о множестве решений, которые он может принять,

ио количественной мере того выигрыша, который он мог бы получить, выбрав в данной ситуации конкретную стратегию. Теория игр является элементом теории принятия решений (табл. 1). Она пытается формально, математически объяснить явления возникающие в конфликтных ситуациях, в условиях столкновения сто-

рон. Такие ситуации изучаются также психологией, политологией, социологией, экономикой.

8 См.: Robbins L. An Eussay on the Nature and Significance of Economic Science. London Macmillan & Co., 1932; Основы теории выбора представлены в: Wаlsh V. С. Introduction to Contemporary Microeconomics. N. Y.: McGraw-Hill, 1970.

9 Вайнтрауб Э. Р. Оптимизация и теория игр // http://gallery. economicus. ru/cgi-ise/gallery/frame_rightn.pl?type=school&links=./school/games/ lectures/games_l1.txt&img=lectures_small.jpg&name=games.

13

Модуль I. Введение в методологию теории игр

От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что ведется по вполне определенным правилам. Реальные конфликты обычно трудно поддаются формальному описанию, поэтому любая игра является упрощением исходной задачи, в ней находят место лишь основные, первостепенные факторы, отражающие суть процесса или явления.

В зависимости от того, какими данными располагает исследователь и какую задачу перед собой ставит, могут быть сформулированы различные теоретико-игровые модели. В реализации принципа оптимальности в конфликте могут проявляться полярные тенденции изоляционизма и коллективизма. Изоляционизм за-

ключается в стремлении каждого игрока к тому, чтобы выбор его оптимального решения в минимальной степени зависел от других игроков. Решение подобных задач сводится к поиску такого решения, которое, с одной стороны, учитывало бы интересы других игроков, а с другой – гарантировало бы получение определённого результата с достаточно высокой долей вероятности и с малым воздействием на этот результат со стороны других игроков.

Коллективизмоснован на координации усилий с целью получения большего выигрыша каждым игроком. Координация усилий может заключаться, например, в выборе общей цели – общего критерия эффективности для группы (коалиции) игроков.

10 Бодров В. И., Лазарева Т. Я., Мартемьянов Ю. Ф. Математические методы принятия решений: учеб. пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. тех. ун-та, 2004.

С. 9

14

1.1. Генезис, предмет и задачи теории игр в экономике

Основными свойствами рациональности коллективных прин-

ципов оптимальности являются:

•Индивидуальная выгодность. По крайней мере, необходимо,

чтобы каждому игроку в коалиции был дан выигрыш не мень­

ший, чем πi, который он может обеспечить (гарантировать) себе сам.

•Устойчивость. Под устойчивостью понимается то, что никому из игроков не выгодно уклоняться от принятых на себя обязательств.

•Справедливость. Справедливость, как правило, понимается как некоторая симметричность в положении игроков, т. е. в некотором смысле их равноправие.

•Введение в теорию игр категории «коалиция» указывает на тот факт, что участниками конфликта могут быть не только отдельные лица, но и большие, сложно организованные группы лиц.

Вописании игры можно выделить следующие элементы совместного поведения сторон:

– коалиции действий – совокупность действующих совместно в данной конфликтной ситуации субъектов;

– коалиции интересов – множество одинаково заинтересованных в исходе­ конфликта сторон.

Так, с учётом сказанного, различают три основных типа состязательных задач:

1. Нахождение оптимального исхода. В качестве исхода в об-

щем случае может рассматриваться социально-экономическая ситуация, соответствующая принципу изоляционизма. То есть решение таких задач предполагает нахождение оптимальных стратегий игроков, таких, что совокупный выигрыш учитывает интересы каждого из них, а отклонение любого из игроков от этой стратегии может только ухудшить его положение.

Коллективные принципы оптимальности реализуются в за-

дачах нахождения оптимальной коалиционной структуры или задачах нахождения устойчивой коалиционной структуры. Пер-

вые обеспечивают свойство выгодности коалиционного объединения сторон конфликта, вторые – направлены на поиск устойчиво-

го и справедливого объединения.

2. Нахождение оптимальной коалиционной структуры. Реше-

ние подобных задач предполагает поиск такой коалиции сторон,

15

Модуль I. Введение в методологию теории игр

которая позволила бы максимизироватьихсуммарныйвыигрыш, чтобы впоследствии разделить его между членами коалиции по соглашению.

3. Нахождение устойчивой коалиционной структуры при заданных правилах принятия решений. Такие задачи предполагают поиск достаточно стабильной во времени коалиции интересов.

1.2.Моделирование игрового процесса. Принципы и базовые понятия

Многообразие игр создает определенные сложности в определении самого понятия игры. Чтобы избежать двусмысленности, попробуем вначале определить наиболее очевидные характеристики игры, подлежащие формализации.

Теория игр – моделирование конфликта, в котором отражены следующие его компоненты:

1.Заинтересованные стороны – игроки.

2.Возможные действия каждой из сторон – стратегии.

3.Интересы сторон – цели.

Схема ситуаций, рассматриваемых в теории игр, обманчиво проста. Представим себе, что на каждом поле шахматной доски написано число. Один игрок может выбрать строку, другой – столбец. Результат этих двух выборов определяется числом, находящимся в месте пересечения выбранных строки и столбца. Предполагается, что каждый игрок производит свой выбор, не зная решения противника. Задачей первого игрока является получение максимального числа, а задачей его противника – получение минимального числа. Можно ли указать для каждого из игроков те руководящие принципы, которые должны управлять решениями?

Исходя из приведённой выше постановки задачи теории игр, получаем так называемую игровую неопределённость, отражающую совместное принятие решений несколькими агентами, в которой существенными являются предположения агента о множестве возможных значений игровой ситуации, т. е. о действиях других агентов в рамках неточно известных принципов их поведения.

Чтобы описать игру, необходимо сначала выявить её участников. Что касается так называемых «рыночных игр», это непросто, в отличие от обычных игр: здесь не всегда просто распознать всех игроков, т. е. действующих или потенциальных конкурентов.

16

1.2. Моделирование игрового процесса. Принципы и базовые понятия

Практика показывает, что не обязательно идентифицировать всех игроков, важно обнаружить наиболее важных.

1.Игроком (лицом, стороной, или коалицией) называется отдельная совокупность интересов, отстаиваемая в игре. Если данную совокупность интересов отстаивает несколько участников игры, то они рассматриваются как один игрок. Игроки, имеющие противоположные по отношению друг к другу интересы, называются противниками. В игре могут сталкиваться интересы двух или более противников.

2.Любая игра имеет цель. Если играет один субъект, то и цель игры одна. В этом случае конфликтная ситуация моделируется как «игра против природы». Игра против природы – игра, где одним из игроков интерпретируется внешняя среда или природа, которая может находиться в одном из состояний, которые известны, частично известны или неизвестны лицу, принимающему решение.

Если же участников больше, чем один, то у каждого из них есть собственная цель.

Цели некоторых участников игры (игроков) могут совпадать и они могут (если это не запрещено) объединяться в коалиции. Оче-

видно, что игроки будут вступать в коалиции только тогда, ко­гда

им может быть предложен выигрыш не меньше πi, т. е. того, который они могут получить индивидуально, независимо от взаимодействия с другими партнерами (индивидуальная выгодность).

3.В игре обязательно присутствуют ресурсы. Они каким-то образом распределены между участниками. Каждый участник имеет возможность распоряжаться своими ресурсами по своему усмотрению. Ресурсы всегда ограничены, но возможно, возобновляемы по ходу игры.

4.Играограниченавовремениипространстве.Вовремени–за-

ранее установленными критериями. Это либо продолжительность

вчасах или минутах, либо результат, выраженный, например, в очках или денежных единицах.

Игра ограничена в пространстве еще до того, как она началась. Пространственная ограниченность игры характеризуется понятием «игровое пространство». «Игровые пространства – обособленные, выгороженные территории, на которых имеют силу особенные, собственные правила. Это как бы временные миры внутри обычного, созданные для выполнения замкнутого в себе действия»

(Хейзинг, 1992).

17

Модуль I. Введение в методологию теории игр

5.Игры охватывают, как правило, несколько периодов – партий, в течение которых игроки предпринимают последовательные или одновременные действия – ходы.

Действия могут быть связаны с ценами, объёмами продаж, затратами на научные исследования и разработки и т. д.

Ходы могут быть личными и случайными11. Личным ходом называют сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действий и его осуществление. Случайным ходом называют выбор, осуществляемый не волевым решением игрока, а какимлибо механизмом, алгоритмом случайного выбора.

6.В ходе игры, на каждом этапе происходит смена игровых си-

туаций.

Для одного игрока каждая ситуация характеризуется определенным количеством принадлежащих ему ресурсов, имеющейся информации и определенным прогрессом в достижении своей цели.

7.Игровую ситуацию, в которой цель достигнута, а ресурсы еще не кончились, назовем выигрышем. Ситуация, в которой, наоборот, истекли ресурсы, а цель еще не достигнута, назовем проигрышем. Они имеют количественную оценку.

8.Различают также промежуточные выигрыш и проигрыш на каждом этапе игры– платежи πi, которые могут выражаться

вматериальных ценностях или деньгах (дисконтированная прибыль).

9.Под стратегией игрока понимаются возможные действия, позволяющие игроку на каждом этапе игры выбирать из определённого количества альтернативных вариантов такой ход, который представляется ему «лучшим ответом» на действия других игроков.

Исходя из принципа оптимальности, у каждого игрока на каждом определённом этапе игры есть, по крайней мере, два способа поведения: либо снова индивидуально попытаться добыть необходимую информацию­ , чтобы расширить свои возможности, либо вступить в коллективные действия.

Каждая игровая ситуация – результат выбора каждым игроком своей стратегии. Игрок определяет свои действия не только для

11 Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: учебник. 2-е изд., перераб. и доп. М: «Финансы и статистика», 2005.

С. 194.

18

1.2. Моделирование игрового процесса. Принципы и базовые понятия

этапов, которых достигла конкретная игра, но и для всех ситуаций, включая те, которые могут и не возникнуть в ходе игры.

Доминантная (строго доминирующая, оптимальная) страте-

гия – стратегия, которая даёт наибольший выигрыш для любого заданного поведения (случайных и личных ходов) других игроков.

10.Любая игра имеет правила – жесткий, формализованный перечень возможных действий игроков. Их нарушение наказывается вплоть до исключения участника из игры, так как нарушение правил ведет к разрушению самой игры, она становится невозможной.

11.Игроки ведут себя оптимально. Основными содержатель-

ными чертами оптимальности в применении к множеству исходов конфликта можно считать:

– выгодность – получение максимального платежа (максимизация значения функции выигрыша по всему множеству стратегий).

– устойчивость – отклонение игрока от своей наиболее выгодной, максимизирующей стратегии может разве что уменьшить его выигрыш.

Иными словами, ситуация равновесна, если не один игрок не имеет никаких разумных оснований для изменения своей стратегии при условии, что все остальные игроки собираются придерживаться своих стратегий. В этом случае, каждый игрок, предполагая как будут играть остальные, имеет основания придерживаться той стратегии, которая соответствует этой ситуации равновесия; тем самым игра становится устойчивой.

Таким образом, принцип оптимальности (правило оптимального выбора) играет ключевую роль при принятии решений. Выбор того или иного принципа оптимальности неоднозначен. Причины этой неоднозначности заключаются в природе конфликтной ситуации. В связи с этим принцип оптимальности должен отвечать следующим условиям:

1)должен быть таким, чтобы существовал оптимальный выбор, т. е. не приводил к пустому множеству рациональных выборов;

2)должен максимально сужать степень неопределенности как во множестве выборов, так и в оценке ожидаемого результата;

3)должен быть прост и понятен, чтобы можно было практически вычислить множество рациональных решений и оценить

19

Модуль I. Введение в методологию теории игр

с большой степенью точности ожидаемый результат (платёж, выигрыш); более того, полученные результаты должны хорошо интерпретироваться на содержательном уровне;

4) должен обладать устойчивостью, т. е. решение игры должно мало меняться при небольшом изменении параметров модели конфликтной ситуации.

12. Любой игрок всегда имеет возможность выйти из игры. Он также имеет право сыграть повторно. Реальные последствия этих действий не имеют отношения к игре как таковой.

В этом случае модель игрового процесса может быть представлена следующим образом.

•Игрок может обладать набором ресурсов, каждый из которых

втой или иной степени необходим для достижения цели и каждый из которых может быть измерен количественно. Каково бы

ни было количество N ресурсов ri (i = 1, ..., N) в распоряжении игрока, мы всегда можем вести речь о некоторой обобщенной

скалярной величине – ресурсе R (r1, ..., rN), который и будет отражать общее состояние игрока на данный момент игры относительно имеющихся в его распоряжении ресурсов. В частности,

вначале игры мы можем положить для определенности R = 1,

вто время как R = 0 будет означать отсутствие ресурсов, необходимых для продолжения игры.

•Кроме того, требуется также и другая скалярная величина, по которой можно было бы судить о прогрессе на пути к игровой цели. Назовем ее целевой функцией и обозначим G. В начале игры мы положим G = 0, что означает, что для достижения цели еще ничего не сделано. Достижению цели будет соответствовать выбранное нами для определенности значение G = 1. Величина G, скорее всего, соответствует так называемому позиционному преимуществу, которое в конце концов приводит к победе. Измерить его непросто, но, в принципе, возможно.

•Развитие игры характеризуется переменной t. Она не обязательно выступает переменной времени, ведь во многих играх время строго не учитывается. Каждому значению t соответствует некоторая игровая ситуация, которая определяется запасом ресурсов у каждого из игроков и вполне определенным прогрессом в достижении своей цели каждым из них. Величина t в игровом процессе изменяется монотонно от 0 (начало игры)

20