Эконометрика теория игр в экономике. Учебное пособие

2.2. Вычисление оптимальных стратегий. Сведение матрицы игры к задаче…

Согласно максиминному критерию, гарантированный минимальный выигрыш в чистых стратегиях достигается в строке 1 (облигации ВМК-Финанс) и составляет превышение над среднерыночным уровнем дюрации на 17,15 % (табл. 5).

Попытаемся увеличить доходность вложений путем комбинации финансовых инструментов в портфеле. Поскольку полученная игра относится к классу игр n × 2 или 2 × m, решим её графическим способом19.

Построение графиков для нахождения вероятностной корреляционной связи между доходностью и дюрацией по оставшимся доминирующим облигациям представлено на рис. 8.

Верхнюю границу формирует пересечение отрезков, характеризующих стратегии 1 и 4 (покупку облигаций ВМК-Финанс и ИНКОМ-Финанс, соответственно)

Составим уравнения:

82,6p +  16,75(1 – p)  =  –90,93p +  67,32(1 – p); 82,6p – 16,75p  +  90,93p +  67,32p =  67,32 – 16,75; 224,1p =  50,57;

Отсюда p  =  0,226 = p1; а p2 = 1 – p  =  0,774;

На основе полученных значений вероятностей определим минимальный ожидаемый выигрыш:

19 Лабскер Л. Г. О некоторой общей схеме формирования критериев оптимальности в играх с природой // Вестник ФА. 2000. № 2. С. 15.

51

2.2. Вычисление оптимальных стратегий. Сведение матрицы игры к задаче…

Каждое из неравенств можно разделить на число v  > 0. Введём новые переменные:

a1nx1 + a2nx2 + … +amnxm ≥ 1.

Цель Игрока 1 – максимизировать свой гарантированный средний выигрыш, т. е. цену игры νср.

Разделив на ν ≠ 0 равенство p1 + p2 + … + pn = 1, получаем, что пере-

менныеxi(i = 1,2,…,n)удовлетворяютусловию:x1 + x2 + … + xm =1/ν.

Максимизация цены игры ν эквивалентна минимизации величины 1/ν, поэтому задача может быть сформулирована следующим образом: определить значения переменных xi ≥ 0, i  = 1, 2, …, n так, чтобы они удовлетворяли линейным ограничениям и при этом линейная функция

обращалась в минимум. Это задача линейного программирования. Решая задачу (3)–(4) и преобразуя переменные в обратном направлении, получаем оптимальное решение p  = (p1, p2, …, pn).

Для определения оптимальной стратегии Игрока 2 следует учесть, что он стремится минимизировать гарантированный вы-

игрыш 1 игрока (поскольку ν = ω), т. е. найти max ω1 . Переменные q1, q2, … qm удовлетворяют неравенствам:

a11q1 + a12q2 + … +a1nqn ≤ ω, a21q1 + a22q2 + … +a2nqn ≤ ω,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (19) am1q1 + am2q2 + … +amnqn ≤ ω,

которые следуют из того, что средний проигрыш Игрока 2 не должен превосходить верхней цены игры.

53

Модуль II. Применение теории игр для принятия стратегических…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1y1 + am2y2 + … +amnyn ≤ 1.

Переменные yj (j = 1, 2, …, n) удовлетворяют условию

y1 + y2 + … + yn= ω1 .

Игра свелась к следующей задаче.

Определить значения переменных yj ≥ 0, j = 1, 2, …, n, которые удовлетворяют системе неравенств и максимизируют линейную функцию

1/ω = y1 + y2 + … + yn. (22)

Решение задачи линейного программирования определяет оптимальную стратегию Игрока 2. При этом цена игры

ν = ω. (23)

Составив расширенные матрицы для задач (15), (17) и (19), (21), убеждаемся, что одна матрица получилась из другой транспорти-

рованием:

≥ ≤

Таким образом, задачи линейного программирования (4), (5) и (6), (9) являются взаимно-двойственными. Очевидно, что при

54

2.2. Вычисление оптимальных стратегий. Сведение матрицы игры к задаче…

определении оптимальных стратегий в конкретных задачах следует выбрать ту из взаимно-двойственных задач, решение которой менее трудоёмко, а решение второй задачи найти с помощью теорем двойственности.

Пример. Найти решение игры с платёжной матрицей:

Вторая стратегия Игрока 1 слабо доминируется первой, тогда:

p = (p1; p2; p3) и q = (q1, q2, q3, q4, q5).

Обозначив xi = pi/ν, i  = 1, 2, 3 и yi = qi/ν, j  = 1, 2, 3, 4, 5, составим две взаимно-двойственные задачи линейного программирования.

Решаем симплексным методом задачу 1.

Оптимальное базисное решение задачи 1: (0; 1; 0; 1; 0; 0; 1),

причём min 1/ν = max 1/ω = 1/2, а ν = ω = 2. 6 3 2

Оптимальная стратегия p = (p1; p2; p3; p4):

55

Модуль II. Применение теории игр для принятия стратегических…

Здесь учтено, что третий столбец исходной матрицы отброшен.

2.3. Парные игры с ненулевой суммой. Биматричные игры

Функция выигрыша биматричной игры представляет собой две платежные матрицы: |А| – определяет выигрыш первого игрока, а |В| – выигрыш второго игрока. Первый игрок имеет n чистых стратегий (n строк в матрицах |А| и |В|). Второй игрок имеет m чистых стратегий (m столбцов в матрицах |А| и |В|).

В результате выбора первым игроком i-ой стратегии, а вторым игроком j-ой стратегии, первый игрок получает выигрыш aij, а вто-

рой – bij.

Решение биматричных игр сводится к отысканию ситуаций равновесия и равновесных (оптимальных) стратегий игроков.

Ситуация (i*, j*) в биматричной игре называется равновесной, если она приемлема для обоих игроков, т. е. если любое отклонение от нее как для первого игрока, так и для второго только лишь уменьшает их выигрыш:

аi*j* ≥ аij* bi*j* ≥ bi*j .

Множество ситуаций равновесия G образуется как пересечение множеств приемлемых ситуаций первого и второго игроков.

Пример.

56

2.3. Парные игры с ненулевой суммой. Биматричные игры

G1 = {(1,1), (1,3), (3,2), (3,3)}

G2 = {(1,1), (2,1), (2,3), (3,2)} G  =  {(1,1), (3,2)} I v (1,1) =  3 II w (1,1) =  3

v(3,2) =  3 w(3,2) =  2.

Таким образом, если в биматричной игре имеет место несколько равновесных ситуаций, то по выгодности они не равнозначны, в отличие от матричных игр.

Из примера хорошо видно, что хотя (1,1) и (3,2) – ситуации равновесия, ситуации (1,2) и (3,1) таковыми не являются, в отличие от матричных игр.

Принципиальным отличием биматричных игр от матричных является отсутствие в них антагонизма. В матричных играх переговоры между игроками были бессмысленны, так как их интересы были прямо противоположны, в биматричных играх договоры между участниками имеют реальное основание.

Так, в рассматриваемом примере второй игрок заинтересован в том, чтобы первый выбрал i = 1, так как при этом w  =  3. Первому же игроку с точки зрения выгоды безразлично, какую стратегию выбрать – первую или третью, в любом случае его выигрыш составляет 3. Если первый игрок доброжелательно настроен по отношению к противнику, то он выберет первую стратегию, чтобы и второй игрок получил максимальный выигрыш. В противном случае первый потребует за выбор более выгодной для второго стратегии дополнительную плату, и если эта плата будет меньше единицы, то очевидно, что второй игрок согласится на эту сделку. Такая игра называется игрой с побочными платежами.

Если в биматричной игре ситуаций равновесия нет, но игроки имеют возможность договориться между собой, то обычно применяют такой искусственный прием: находится решение биматричной игры в чистых стратегиях i*j* такое, что:

и делится между игроками по заранее оговоренному правилу.

Пример.

57

Модуль II. Применение теории игр для принятия стратегических…

Ситуаций равновесия нет. Находим максимальный элемент в матрице А + В

4 3 2 А + В: 3 3 3 2 5 3

max =  5, ( i, j)  =  (3, 2). Эта сумма должна быть разделена между первым и вторым игроками.

Вслучае если договор между игроками невозможен, игра станет неустойчивой и игрокам будет выгодно скрывать свои стратегии. Решение такой игры будет в смешанных, вероятностных стратегиях.

Понятие смешанных стратегий в биматричных играх такое же, как и в матричных играх, то есть это полный набор вероятностей применения их чистых стратегий. Выигрыш игроков находится как математическое ожидание.

Вобщем же случае, цель игроков – получение гарантированного выигрыша (минимизация проигрыша). Игроки могут реализовывать 2 типа стратегий:

1. Стратегия осторожного игрока – стратегия ЛПР (лица, при-

нимающего решение) базируется на улучшении собственного исхода игры.

2. Стратегия угрозы – стратегия ЛПР базируется на противодействии выигрышу противника без учёта собственных платежей.

Впервом случае решаем игру, представленную собственной платежной матрицей, методами, описанными в п. 2.2. Реализуя стратегию угрозы, необходимо анализировать и совершать методическую последовательность действий по решению игры, представленной платёжной матрицей противника.

Задание для рубежного контроля знаний по модулю 2

Тест (5 баллов)

1.Операция доминирования: а) влияет на исход игры; б) не изменяет исход игры;

в) позволяет найти дополнительные ситуации равновесия; г) позволяет игроку определить «фокальную точку».

58

Задание для рубежного контроля знаний по модулю 2

2.Больший выигрыш игрок намерен получить, реализуя: а) стратегию осторожного игрока; б) стратегию угрозы; в) стратегию уравновешивания интересов.

3.Согласно теореме Неймана:

а) любая игра имеет решение в чистых стратегиях; б) линейное преобразование платёжной матрицы приводит

к возникновению седлового элемента; в) любая игра имеет решение в смешанных стратегиях;

г) для любой платёжной матрицы существует афинно-экви- валентная;

д) нет верного ответа.

4.Решение игры путём сведения к задаче линейного программирования предполагает:

а) составление двойственных задач и решение их симплексметодом;

б) решение транспортной задачи для каждого из игроков;

в) преобразование антагонистической игры в биматричную и решение её графическим методом;

г) нет верного ответа.

5.Если решение игры предполагает наличие нескольких равновесных ситуаций, то:

а) игроками определяется «фокальная точка»; б) принимаются все варианты и последовательно реализуются; в) игроками реализуется «смесь» своих равновесных страте-

гий; г) игра решается повторно, но уже только на базе найденных со-

стояний равновесия.

Проектное задание

Задача 2.1 (4 балла). Найти решение в смешанных стратегиях антагонистических игр с платежными матрицами:

59

Модуль II. Применение теории игр для принятия стратегических…

Задача 2.2 (4 балла). Дана платёжная матрица игры. Выполните доминирование по чистым и смешанным стратегиям и решите ее:

Задача 2.3 (5 баллов). Следующие игры решите симплексметодом:

Задача 2.4. (7 баллов) Дана следующая парная игра с ненулевой суммой:

60