Эконометрика теория игр в экономике. Учебное пособие

1.2.Моделирование игрового процесса. Принципы и базовые понятия

всторону t > 0. Она может быть непрерывной (футбол) или дискретной (шахматы), – в зависимости от конкретной игры. Завершению игры соответствует такое значение te, при котором

выполнено одно из двух условий: либо G(te) = 1 (достижение цели, выигрыш), либо R(te) = 0 (исчерпание ресурсов, проигрыш). Что касается так называемого «ничейного исхода», то мы не уделяем особого внимания данному случаю, поскольку еще до начала игры в большинстве случаев определено, устраивает игрока ничья или нет. Значит, они вправе считать ничью равносильной выигрышу или проигрышу соответственно.

Таким образом, в интервале 0 ≤ t ≤ te мы можем описывать игровой процесс с позиций конкретного игрока двумя функциями: R(t) и G(t). На графиках, представленных на рис. 2а и 2б приведены примеры игровых процессов, которые закончились выигрышем и проигрышем (рис. 2).

1

G(t)

R(t)

Рис. 2. Графическая интерпретация игрового процесса

Итак, имея возможность количественной оценки ресурсов и прогресса в достижении игровой цели конкретным игроком, мы можем проанализировать ход его борьбы, наличие игровой инициативы и динамику ее изменения.

21

Модуль I. Введение в методологию теории игр

В силу гипотезы рационального поведения каждый агент будет стремиться осуществить наилучшие для него (с точки зрения значения его целевой функции) действия при заданной обстановке.

Обстановкой для него будет совокупность состояния природы и игровой ситуации.

Возможно несколько интерпретаций равновесия в играх.

Равновесие в доминантных стратегиях. Если для некоторого агента при любом состоянии природы множество его наилучших ответов не зависит от обстановки, то оно составляет множество его доминантных (строго доминирующих) стратегий. Если у каждого из агентов существует строго доминирующая стратегия, то они могут принимать решения независимо, т. е. выбирать действия, не имея никакой информации и не делая никаких предположений об обстановке.

Гарантирующее равновесие (максиминное). Частным случаем равновесия, когда в игре отсутствует равновесие в чистых стратегиях, является равновесие Нэша, т. е. равновесие в смешанных стратегиях. В этом случае игроки осуществляют свой выбор вероятностно: случайно, но разумно.

Равновесие Парето. Ситуации, при отклонении от которых один или несколько игроков могут получить строго больший выигрыш только за счет своих партнеров, называются ситуациями, оптимальными по Парето. Выбор оптимальной по Парето точки относится к коллективным принципам принятия рациональных решений.

Равновесие Штакельберга-Курно. Значения выигрышей не из-

вестны до начала игры, т. е. значение выигрыша формируется в процессе игры. Игроки последовательно максимизируют значения своих функций реагирования Ri(xj) = fi(xj(xi)) и Rj(xi). Такие игры называются иерархическими.

1.3. Виды моделей конфликта и классификация игр

Как отмечалось выше, от адекватной оценки конфликта, определения перечня его сторон, важнейших интересов зависит верификация полученного решения. Существует ряд типовых формулировок игр, получивших отражение и достаточно глубокое теоретическое осмысление. На первом этапе моделирования игры важно определить вид и содержательные характеристики кон-

22

1.3. Виды моделей конфликта и классификация игр

фликта: число игроков, количество стратегий у каждого, характер взаимодействия игроков, количество партий, объём доступной информации и т. д.

I. По выигрышу:

1.Игры с нулевой суммой – общий капитал игры не меняется,

аперераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков рана нулю. То есть

p1  +  p2 +  p3 + … + pn = 0 при фиксированном совокупном капитале игры, где pi –платёж игрока i.

2.Игры с ненулевой суммой – игра, в которой сумма выигрышей игроков после каждой партии не равна нулю.

II. По характеру получения информации:

1.Игры в нормальной форме (игроки получают всю информацию до начала игры).

2.Динамические игры (информация поступает в процессе игры).

III. По полноте информации:

1.Игры с полной информацией – игроки знают характер игры и матрицу выигрышей.

– с совершенной информацией – игроки знают предыдущие ходы;

– с несовершенной информацией – не знают предыдущие ходы.

2.Игры с неполной информацией – игроки не обладают информацией о стратегических возможностях, функциях выигрыша других игроков.

IV. По количеству стратегий:

1.Конечные игры – в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий.

2.Бесконечные игры – хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество стратегий.

V. По количеству игроков:

1.Тривиальная игра – один игрок.

2.Парные игры – игры 2-х игроков.

3.Множественные игры – игры n игроков.

VI. По составу игроков:

1.Бескоалиционные игры – игроки не имеют права вступать

всоглашения, образовывать коалиции.

2.Среди этого класса выделяют антагонистические игры – игры двух игроков с нулевой суммой (p1 = – p2).

23

Модуль I. Введение в методологию теории игр

3. Коалиционные игры (кооперативные) – игроки могут заключать договоры и вступать в коалиции.

VII. По форме представления выделяют игры в развёрнутой (позиционной), матричной (в том числе биматричной) и нормальной (стратегической) формах.

1.Развёрнутая (позиционная) форма представления – протокол возможных последовательностей ходов и действий игроков.

2.Матричная игра – это модель конечной игры двух игроков

снулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы. Строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 1, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш (платёж) игрока 1, соответствующий совместно применяемым стратегиям. Игра представляется в виде платёжной матрицы. Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение

ионо может быть найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования.

Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2). Для биматричных игр также разработана теория оптимального поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные.

Более сложные варианты игр могут предполагать бесконечное количество стратегий, множество ходов, возможность временного объединения (кооперации) или даже объединения на всю игру (коалиции) игроков для решения совместных задач.

3.Нормальная (стратегическая) – задана в виде дерева. Си-

туация выражается через овальное пространство (информационное поле). При этом решение должен принимать один игрок, а другой – вслед за ним. В данном представлении игры локализируются недостатки матричной формы. Представление игры в матричной форме в обычном случае отражает «синхронность». Иными словами, каждый игрок делает в этой игре только один ход и партия заканчивается: считается, что каждый игрок делает всего лишь

24

1.4. Игровые подходы к решению экономических задач

один ход, причем все ходы делаются одновременно. После этого каждому игроку выплачивается выигрыш (изымается проигрыш) в зависимости от того, какие ходы были сделаны им и другими игроками. Однако в некоторых случаях, при анализе игры, важным представляется именно последовательность, порядок ходов игроков, что позволяет провести более детальный анализ смены игровых ситуаций.

Такие задачи на практике встречаются довольно часто. Равновесные конфигурации могут быть выявлены с помощью следующего алгоритма: делается выбор «лучшего» хода на последнем этапе игры, затем выбирается «лучший» ход на предшествующем этапе с учётом выбора на последнем этапе и т. д., до тех пор пока не будет достигнут начальный узел дерева игры. Совокупность указанной последовательности действий в анализе развёрнутой формы игры называется алгоритмом­ Цермело–Куна12.

1.4. Игровые подходы к решению экономических задач

Предположим, необходимо разместить на фондовой бирже 10 000 ден. ед. в ценные бумаги одной­ из двух компаний: «А» или «В». Активы компании «А» являются рискованными, но могут принести 50 % прибыли от суммы инвестиций на протяжении следующего года. Если конъюнктура будет неблагоприятной, курс бумаг может упасть на 20 %. Компания «В» менее рентабельна: предполагает 15 % доходности в условиях повышения котировок на бирже и только 5 % – в условиях­ понижения котировок. Все аналитические публикации, с которыми можно познакомиться (а они всегда есть в изобилии в конце года), с вероятностью 60 % прогнозируют повышение котировок и с вероятностью 40 % – понижение котировок­ . В бумаги какой компании следует вложить деньги?

Информация, связанная с принятием решения по осуществлению портфельных инвестиций в размере 10 000 ден. ед., суммирована в табл. 2.

12 Данилов В. И. Лекции по теории игр. М.: Российская экономическая шко-

ла, 2002. С. 45.

25

Модуль I. Введение в методологию теории игр

Таблица 2

Исходные данные по альтернативным инвестиционным проектам

Согласно критерию ожидаемого значения, на котором бази-

руется большинство решений в экономической сфере, сводится либо к максимизации ожидаемой (средней) прибыли, либо

кминимизации ожидаемых затрат. В данном случае предполагается, что прибыль (затраты), связанная с каждым альтернативным решением­ , является случайной величиной.

Так, исходя из реализации данного критерия применительно

кданным табл. 2, получаем среднюю ожидаемую доходность за год

для каждой из двух альтернатив.

Для акций компании «А»: 5000 × 0,6  + (–2000) × 0,4 – 2 200

(ден. ед.)

Для акций компании «B»: 1500 × 0,6  +  500 × 0,4  =  1 100 (ден. ед.)

Средняя доходность по проекту «А» выше, поэтому решением, основанным на этих вычислениях, будет выступать покупка ценных бумаг соответствующей компании.

Однако, безусловная оптимизация, как отмечалось ранее, не всегда способна обеспечить эффективное решение. Теория игр направлена не на максимизацию самого значения результата, а на получение его гарантированной величины, на минимизацию риска его получения (стратегия осторожного игрока). Это становится актуальным, если решение принимается не моногократно, а один раз. В этом случае лицо, принимающее решение (ЛПР), получает либо конкретное значение выигрыша, либо конкретную величину проигрыша. Применение средневзвешенной оценки в данном случае не целесообразно.

Эта задача может быть представлена в виде дерева решений, показанного на рис. 3. На этом рисунке используется два типа вершин: квадрат представляет «решающую» вершину, а круг – «слу-

26

1.4. Игровые подходы к решению экономических задач

чайную». Таким образом, из вершины 1 («решающая») выходят двеветви,представляющиеальтернативы,связанныеспокупкой­ акций компании А или В. Далее две ветви, выходящие из «случайных» вершин 2 и 3, соответствуют случаям повышения и понижения котировок на бирже с вероятностями их появления.

Повышение котировок (0,6) 5000

2

«А»

Понижение котировок (0,4) -2000

Рис. 3. Дерево решений для задачи инвестирования

Данное представление ситуации демонстрирует гарантирующее преимущество альтернативы «В», поскольку (с безусловно меньшим средним выигрышем) не возникает ситуации потерь. Вероятностинаступлениясобытийпрактическиодинаковы(60%и40%). Игрок в наихудшей для себя ситуации получает платёж 500 ден. е., если обстоятельства сложатся лучшим образом – 1500.

В случае же склонности игрока к риску, осознания своего вероятностного выбора и готовности к возможным потерям, «лучший» результат даёт стратегия «А», выбранная согласно критерию ожидаемого значения.

Следует отметить, что игровые подходы не являются безапелляционно альтернативными к традиционной методологии статистических выборок: задача исследователя – определить методические основы принятия решения. Игровые и статистические методики дополняют друг друга.

Так, при большем разбросе вероятностей или же при достаточно большом числе повторений указанной в примере ситуации принятия решения, предпочтение должно быть отдано выбору на основе

критерия ожидаемого значения.

27

Модуль I. Введение в методологию теории игр

1.5. Равновесие в играх. Седловой элемент платёжной матрицы

Как указывалось выше, если удается формализовать (смоделировать) конфликт и определить принцип оптимальности, т. е. правило выбора эффективного решения в игре, то получается математическая задача, которую можно решать математическими­ методами, без учета ее содержательной постановки.

Классическим примером построения игровых правил служит ситуация так называемой парной антагонистической игры. Игра двух лиц с нулевой суммой в матричной форме занимает центральное место в современной теории игр.

Антагонистические игры – игры, в которых интересы игроков строго противоположны, т. е. выигрыш одного игрока, по сути – проигрыш другого.

Итак, пусть имеется два игрока. В распоряжении первого имеется всего n возможных ходов i = 1, 2, 3, ..., n; в распоряжении второго игрока имеется m возможных ходов j = 1, 2, 3, …, m. Эти возмож-

ные ходы называются чистыми стратегиями игроков.

Оба игрока делают одновременно по одному ходу, после чего партия считается законченной. Если первый игрок делает ход i, а второй – ход j, то первый игрок получает выигрыш, равный aij. Очевидно, что выигрыш второго игрока равен –aij. Эти данные можно представить в виде матрицы А =  aij , в которой строки соответствуют ходу первого игрока (Игрок 1), а столбцы − ходу второго игрока (Игрок 2). Эта матрица А носит название платёжной матрицы игры:

.

Вкачестве цели при поиске решения антагонистической игры будем рассматривать ситуацию равновесия, т. е. устойчивое и взаимовыгодное решение.

Ваналитической форме антагонистическая игра интерпретируется следующим образом. На произведении пространств стратегий

28

1.5. Равновесие в играх. Седловой элемент платёжной матрицы

I × J задана функция игры f (i, j) так, что при выборе первым игроком стратегии i, а вторым – j выигрыш первого равен f(i, j) =  aij, а выигрыш второго прямо противоположен и равен [–f (i, j) =  –aij]. Таким образом, первый игрок стремится максимизировать функцию f, а второй – минимизировать её.

Рассмотри игру со следующей платёжной матрицей А :

Проведём ряд рассуждений с точки зрения первого игрока. Элементы платёжной матрицы свидетельствуют о том, что максимальные выигрыши, которые может получить Игрок 1 в случае реализации одной из своих 5-ти стратегий: 17, 21, 5, 25, 23. Однако эти выигрыши будут получены в случае, если Игрок 2:

–одновременно с Игроком 1, реализующим свою первую стратегию, выберет стратегию 1;

–или Игрок 2 одновременно с i  =  2 осуществит ход j = 4;

–или Игрок 2 для i = 3 выберет j = 4. И так далее.

Однако Игрок 2 минимизирует свой проигрыш (величина его равна сумме выигрыша Игрока 1) и, учитывая то, что платёжная матрица известна и ему, не позволит своими действиями Игроку 1 получить максимальные результаты. Поэтому проведём анализ игры с гарантированных позиций, т. е. в наихудшем для каждого из игроков случае, платежей.

В случае хода i = 1 наихудшей для первого игрока будет ситуация, когда второй игрок осуществит ход j = 3, так как в этом случае он получит 0. Если первый игрок реализует стратегию i = 2, то в наихудшем случае (при ходе второго игрока j = 1) он также получит 0. Аналогично, при i = 3 он в наихудшем случае получит 4 (при j = 2), при i = 4 − 2 (при j = 3) и, наконец, при i = 5 он в наихудшем случае получит 0 (при j = 3).

Стремясь максимизировать величину своего гарантированного выигрыша, Игрок 1 должен придерживаться стратегии i = 3,

29

Модуль I. Введение в методологию теории игр

так как в этом случае он гарантирует себе выигрыш не менее чем в 4 единицы. Правда, и его максимальный выигрыш невелик − все-

го 7 при j = 3.

Проведём анализ ситуации с точки зрения второго игрока. Для него представленная матрица характеризует ожидаемый проигрыш.

Если он выберет ход j = 1, то его максимально возможный проигрыш составит 17 (если первый игрок сделает ход i = 1). Аналогично, при j = 2 его максимальный проигрыш будет равен 4, при j = 3 в наихудшем случае можно ожидать 8, и, наконец, при j = 4 его максимальный проигрыш будет равен 25. Стремясь сделать свой максимальный проигрыш как можно меньше, второй игрок должен выбрать ход j = 2, так как в случае реализации этой стратегии худшее, на что он может рассчитывать – проигрыш, равный 4. Если обстоятельства сложатся удачным для него образом, проигрыш составит только 3 (при i = 1, i = 5), 2 (при i = 2) или даже 1 (при i = 4). Но, как мы видим, не более 4.

Итак, для достижения приемлемых результатов на всём множестве стратегий для первого игрока доминирующей стратегией будет i = 3, для второго – j = 2.

Отметим, что указанный совместный выбор обладает устойчивостью: если Игрок 2 «открывает карты» и объявляет о своём выборе j = 2, первому игроку нет необходимости менять свой ход, его доминирующей стратегией по-прежнему остаётся i = 3. Аналогично, если первый игрок информирует второго о том, что он будет ходить i = 3, то второму игроку также нет смысла менять свой ход, так как наиболее адекватной реакцией на полученную информацию будет j = 2.

Уравновешенная пара i = 3, j = 2 есть решение игры.

Значение элемента платёжной матрицы a32 = 4 (величина выигрыша первого игрока и одновременно проигрыша второго при совместной реализации i = 3, j = 2) называют чистой ценой игры.

Осуществим формализацию проведённых рассуждений. Пусть первый игрок осуществляет ход i. В наихудшей для него ситуации

30