Эконометрика теория игр в экономике. Учебное пособие

3.3. Примеры динамических игр. Рекуррентность в управлении

Зная, что затраты, связанные с приобретением и установкой нового оборудования, идентичного с установленным, составляют 40 тыс. ден. ед., а заменяемое оборудование списывается, составить такой план замены оборудования в течение пяти лет, при котором общая прибыль за данный временной период максимальна.

Решение.

Эту задачу можно рассматривать как задачу динамического программирования, в которой в качестве системы S выступает оборудование. Состояние этой системы к началу k-го года определяется фактическим временем использования оборудования (его возрастом) τ(k). В качестве управленческих решений uk выступают решения о замене или сохранности оборудования, осуществляемые в начале каждого периода. Естественно, что функция прибыли является убывающей по t из-за возрастания эксплуатационных расходов, и к какому-то моменту времени оказывается более выгодным произвести модернизацию (замену) оборудования, чем продолжать эксплуатировать старое.

Обозначим через С – решение о сохранении оборудования,

ачерез З – решение о замене оборудования. Тогда задача состоит в нахождении такой стратегии управления, определяемой решениями, применяемыми к началу каждого года, при которой общая прибыль предприятия за пять лет является максимальной.

Следует отметить, что задача обладает свойствами аддитивности и отсутствия последействий. Решая задачу методом динамического программирования, на первом этапе при движении от начала пятого года к началу первого года для каждого допустимого состояния оборудования найдём условное оптимальное управление,

ана втором этапе при движении от начала первого года к началу пятого года из условных оптимальных решений для каждого года составим оптимальный план замены оборудования на пять лет.

Пусть u1, u2, …, u5 – решения, применяемые в начале каждого года, Wk(τ(k) ; uk) – прибыль предприятия за k-й год. Очевидно, что

R (τ(k)) – Z (τ(k)) при uk = C, Wk(τ(k) ; uk) = R (0) – Z (0) – 40 при uk = З.

В этом случае основное рекуррентное уравнение Беллмана будет иметь вид:

71

Модуль III. Определение оптимальной последовательности стратегических

Fk (τ(k)) = maxuk  [Wk(τ(k) ; uk) + Fk+1 (τ(k+))] =

= max  R (τ(k)) – Z (τ(k)) + Fk+1 (τ(k+)) при uk = C, R (0) – Z (0) – 40 +Fk+1 (1) при uk = З.

Этап 1. Используя уравнение Беллмана, найдём условно оптимальные решения для последнего (пятого) года, для чего определяем множество допустимых состояний оборудования к началу этого года. Поскольку в начале пятилетнего периода имеется новое оборудование τ(1) =  0, возраст оборудования к началу пятого года может составлять 1, 2, 3 и 4 года. Поэтому допустимые состояния системы на данный период времени таковы: τ1(5) =  1, τ2(5) =  2, τ3(5)  =  3,

τ4(5) =  4.

Для каждого из этих состояний найдём условно оптимальное решение и соответствующее значение функции F5(τ(5)).

Подставляя в полученную формулу вместо τ(5) его значения и учитывая данные табл. 7, находим:

Полученные результаты вычислений сведём в табл. 9.

72

3.3. Примеры динамических игр. Рекуррентность в управлении

Таблица 9

Условно-оптимальные решения задачи о замене оборудования для 5-го года

Рассмотрим теперь возможные состояния оборудования к началу четвертого года. Очевидно, что допустимыми состояниями яв-

ляются τ1(4) =  1, τ2(4) =  2, τ3(4)  =  3.

Для каждого из них определяем условно оптимальное решение и соответствующее значение функции F4(τ(4)). С этой целью воспользуемся данными табл. 8 и 9, а также уравнением Беллмана:

при U = З.

Результаты вычислений сведём в табл. 10.

Таблица 10

Условно-оптимальные решения задачи о замене оборудования для 4-го года

73

Модуль III. Определение оптимальной последовательности стратегических

Определим теперь условно оптимальное решение для каждого из допустимых состояний оборудования к началу третьего года. Такими состояниями являются τ1(3) =  1 и τ2(3) =  2.Получим:

К началу второго года возраст оборудования может быть равен только одному году, поэтому:

Так как к началу пятилетнего периода установлено новое оборудование (τ1(1) =  0), то

F1(0) = R(0) – Z(0) + F2(1) =  80 – 20  +  155  =  215.

Этап 2. Рассмотрим полученные результаты в обратном порядке (алгоритм обратной прогонки).

1.Для первого года решение единственно – необходимо сохранить оборудование, следовательно, возраст оборудования к началу второго года равен одному году.

2.В этом случае оптимальным решением для второго года является решение о сохранении оборудования. Реализация такого

74

3.3. Примеры динамических игр. Рекуррентность в управлении

решения приводит к тому, что возраст оборудования к началу третьего года становится равным двум годам (см. табл. 12).

3.При возрасте оборудования 3 года его следует заменить. После замены оборудования его возраст к началу четвёртого года составит один год. Как видно из табл. 10 при таком возрасте оборудования его менять не следует.

4.В соответствии с этим возраст оборудования к началу пятого года составит два года, а значит, согласно данным табл. 9, оборудование менять нецелесообразно.

Использование оборудования принесёт фирме 215 тыс. ден. ед.

Пример 3.3. Выбор состава оборудования технологической линии.

Имеется технологическая линия, т. е. цепочка, последовательность операций. На каждую операцию можно назначить оборудование только какого-то одного вида, а оборудования, способного работать на данной операции, – несколько видов. Стоимость сырья C0  =  100. Расходы, связанные с использованием единицы оборудования j-го типа на i-ой операции составляют Rij. Производительности, соответственно, по выходу и входу xij и yij для j-го типа оборудования, претендующего на i-ую операцию. Исходные данные представлены в виде таблицы:

75

Модуль III. Определение оптимальной последовательности стратегических

Решение. Для того чтобы решить данную задачу методом динамического программирования, введем следующие обозначения:

N =  3 – число шагов; xi – технологическая линия;

x0  = (0, 0, 0); xn = (u1, u2, u3)

ui – выбор оборудования для i-ой операции.

шагеUi.– область допустимых управляющих воздействий (УВ) на i-м

u1 ={1, 2} ui U , т. е. u2 ={1, 2} u3 ={1, 2}.

Wi – оценка минимальной себестоимости, полученная в результате реализации i-го шага.

S – функция общего выигрыша, т. е. минимальная себестоимость:

xi  = xi–1 + ui – вектор-функция, описывающая переход системы из состояния xi–1 в состояние xi под действием управляющего воздействия (УВ).

u* =  (u*, u*, …, u*n ) – вектор УВ на i-ом шаге, обеспечивающий

1 2

переход системы из состояния xi–1 в состояние xi , т. е. оптимальный выбор оборудования за n шагов.

Si + 1(xi) – максимальный выигрыш (в нашем случае минимальная себестоимость), получаемый при переходе из любого состояния xi в конечное состояние x0 при оптимальной стратегии управления начиная с (k + 1)-го шага.

S1(x0) – максимальный выигрыш, получаемый за N шагов при переходе системы из начального состояния x0 в конечное xN при реализации оптимальной стратегии управления u*. Очевидно, что

S  =  S1(x0), если x0 =  0.

Запишем вектора допустимых значений: x1  = (u1, 0, 0),

x2  = (u1, u2, 0), x3  = (u1, u2, u3).

76

3.3. Примеры динамических игр. Рекуррентность в управлении

Запишем вектора допустимых управляющих воздействий: u1  = (u1, 0, 0),

u2  = (0, u2, 0), u3  = (0, 0, u3).

Запишем вектор-функцию, описывающую переход системы из состояния в состояние xi под действием УВ.

x1  =  x0  +  u1  = (u1, 0, 0),

x2  =  x1  +  u2 = (u1, u2, 0), x3  =  x2  +  u3 = (u1, u2, u3).

Сформируем основное функциональное уравнение Беллмана:

Учитывая то, что этот шаг у нас последний и следующей операции уже не будет, а также то, что мы на обратном проходе, вместо функции S4 возьмем стоимость сырья C0  =  100.

77

Модуль III. Определение оптимальной последовательности стратегических

т.е.u2 = (0,1,2)обеспечиваетнаименьшуюсебестоимостьS3 = 102,8 (ден. ед.)

78

3.3. Примеры динамических игр. Рекуррентность в управлении

Таким образом, оптимальный выбор состава оборудования технологической линии предполагает следующее:

79

Модуль III. Определение оптимальной последовательности стратегических

На 1-ю операцию назначим оборудование 2-го вида. На 2-ю операцию назначим оборудование 1-го вида. На 3-ю операцию назначим оборудование 2-го вида. Оценка минимальной себестоимости составит 105,5.

Пример 3.4. Задача о загрузке самолета. Самолет загружается предметами, товарами n различных типов. Каждый предмет типа iимеетвесpi истоимостьci (i = 1,...,n).Максимальнаягрузоподъемность самолета равна W. Требуется сформировать груз максимальной стоимости, вес которого не должен превышать максимальной грузоподъемности самолета. Допустим W = 83 тонны. Информация о стоимости товаров и их весе представлена в табл. 13.

Необходимо найти количества товаров x1, x2, x3, x4, максимизирующие общую стоимость перевозимого груза.

Решение. Обозначим количество предметов типа i через xi.

Этап 1. Оценим ситуацию, когда самолет загружают только предметами 1-го типа. Их можно загрузить в количестве, не превышающем вес W/p1 поэтому x1 может принимать значения 0, 1, 2, 3.

Так как вес груза p1 = 24 т, то при 0 ≤ W ≤ 23 в самолет нельзя погрузить ни одного предмета 1-го типа. При 24 ≤ W ≤ 47 можно загрузить один предмет. 48 ≤ W ≤ 71 можно загрузить два предмета. 72 ≤ W ≤ 83 можно загрузить три предмета. Нижние границы ин-

80