Эконометрика теория игр в экономике. Учебное пособие

2.2. Вычисление оптимальных стратегий. Сведение матрицы игры к задаче…

Иными словами, одна чистая стратегия (представленная своей строкой или столбцом) слабо доминирует другую чистую стратегию, если выбор первой – доминирующей стратегии – по крайней мере не хуже выбора второй – доминированной стратегии, а в некоторых случаях и лучше. Отсюда следует, что игрок всегда может обойтись без слабо доминированных стратегий и использовать только строго доминирующие стратегии.

Любая оптимальная стратегия для игры, получающейся в результатеудалениядоминируемыхстрок,будеттакжеоптимальной стратегией для первоначальной игры. Аналогичное справедливо

идля доминирования столбцов. Общий результат этих положений состоит в том, что все доминированные строки (с дублируемыми элементами, или меньше) и столбцы (с дублируемыми элементами, или больше) могут быть отброшены, а это позволяет иметь дело

сплатёжной матрицей меньшей размерности. Очевидно, что поиск решения в игре в этом случае сводится к анализу только актив-

ных стратегий.

Таким образом, если строка матрицы |А| слабо доминируется какой-либо другой (т. е. она меньше), то ее можно вычеркнуть

ирешать задачу с меньшей матрицей, а решение исходной задачи получить, добавив нули вместо недостающих координат в векторе первого игрока. Если столбец матрицы |А| доминирует какой-либо другой столбец (т. е. он меньше), то ее можно вычеркнуть, решить игру с меньшим количеством столбцов и получить оптимальные смешанные стратегии добавлением нулей вместо недостающих координат в векторе Игрока 2.

Пример.

доминирует4-й(всеэлементыменьше).Следовательно,Игрок2ни- когда не будет использовать свою 4-ю стратегию, поскольку в этом случае его проигрыш для любого выбора Игрока 1 больше. Поэтому на неё можно не обращать внимания и рассматривать меньшую

41

Модуль II. Применение теории игр для принятия стратегических…

Следовательно, исходная игра сводится к платёжной матрице |А٤|

и строк исходной матрицы q4 = 0, p1 = 0, q5 = 0, поэтому они не вой-

дут в активные стратегии.

3. Проверка платёжной матрицы на симметричность.

Квадратичная матрица А называется кососимметричной, если aij = –aji,  i, j. Матричная игра называется симметричной, если её матрица кососимметрическая. То есть матрица платежей Игрока 1 есть транспонированная матрица платежей Игрока 2.

Значение симметричной игры равно нулю. Кроме того, если p = (p1, p2, …, pn) есть оптимальная стратегия для Игрока 1, то p = q, т. е. также оптимальная стратегия и для Игрока 2.

4. Решение игр с платёжной матрицей размерностью 22. Пусть

Вероятности смешанной стратегии Игрока 1 p = (p1, p2) связаны

сформулирован следующим образом: взять разность столбцов матрицы, забыть про знаки и подсчитать обратное отношение этих разностей. Либо:

42

2.2. Вычисление оптимальных стратегий. Сведение матрицы игры к задаче…

Оптимальная стратегия (q1, q2) Игрока 2 определяется формулами:

5. Решение игр с платёжной матрицей размерностью

2 × m и n × 2.

Пример. Дать геометрическую интерпретацию игры:

Перейдём к новой матрице, осуществив линейное преобразование и добавив + 2:

Нижняя цена игры а11 = 3, верхняя цена игры а21 = 5. Построим график распределения выигрышей при условии, что

p1 = p, p2 = 1 – p (см. рис. 6):

43

Модуль II. Применение теории игр для принятия стратегических…

Рис. 6. Графическое решение антагонистической игры. Нахождение смешанной стратегии Игрока 1

Точка N – точка пересечения прямых B1B1 и B2B2 . Составим уравнение прямой B1B2, проходящей через точки (0; 3) и (1;5):

Составим уравнение прямой B2B2, проходящей через точки

(0; 4) и (1; 1)

Решаем систему уравнений:

y = 2x +3y = 4 −3x .

Откуда получаем, что x = 0,2; y = 3,4; т. е. координаты точки

N (0,2; 3,4)

Таким образом, оптимальная стратегия Игрока 1 равна: p1* = 0,2 p2* = 1 – 0,2 = 0,8 ν = 3,4 – 2 = 1,4

p =  (0,2; 0,8).

Найдём оптимальную стратегию Игрока 2.

44

2.2. Вычисление оптимальных стратегий. Сведение матрицы игры к задаче…

р

Рис. 7. Графическое решение антагонистической игры. Нахождение смешанной стратегии Игрока 2

Аналогично найдём координаты точки M, в которой пересека-

ются прямые A1A1 и A2A2

Составим уравнение прямой A1A1, проходящей через точки

(0; 3) и (1; 4)

Составим уравнение прямой A2A2, проходящей через точки

(0; 5) и (1; 1)

Решаем систему уравнений:

y = x +3y = 5 − 4x .

Откуда получаем, что x = 0,4; y = 3,4; т. е. координаты точки

M(0,4; 3,4)

Мы получили, что оптимальная стратегия игрока B равна: q1 = 0,4 q2 = 1 – 0,4 = 0,6 ω = ν = 3,4 – 2 = 1,4.

Тогда q = (0,4; 0,6).

45

Модуль II. Применение теории игр для принятия стратегических…

Пример. При оценке инвестиционного потенциала финансовых инструментов используется множество различных объективных

ипроизводных показателей. Каждая инвестиционная компания, претендующая на эффективное вложение средств, разрабатывает уникальную систему оценки рисков и перспектив эмитентов, базирующуюся на анализе бухгалтерских балансов за несколько периодов, отслеживании новостей и т. п.

Вкачестве дополнения к классическому анализу эффективности финансовых инструментов (облигаций) используем два альтер-

нативных показателя – эффективную доходность и дюрацию.

Так как первый показатель представляет собой процентное значение за год, а второй – рыночную стоимость с учётом срока погашения, для сравнения будем использовать производные коэффициенты – процентное значение отклонения параметра от средней величины.

Эффективная годовая доходность к погашению на аукционе

ина вторичных торгах по облигации определяется по формуле16:

(13)

где:

– цена облигации;

– накопленный купонный доход;

– эффективная доходность к погашению;

– число дней до выплаты i-го купона;

– величина i-го купона;

– количество купонов;

– срок до j-й выплаты номинальной стоимости;

– размер j-й выплаты номинальной стоимости облигации;

– количество платежей по основной сумме долга.

где:

– величина ближайшего купона;

– длительность текущего купонного периода в днях;

– число дней до выплаты ближайшего купона.

16 Официальный сайт ММВБ // http://www.micex.ru.

46

2.2. Вычисление оптимальных стратегий. Сведение матрицы игры к задаче…

где:

– номинальная стоимость облигации/непогашенная часть номинальной стоимости облигации;

– размер купонной ставки;

– длительность купонного периода в днях.

Для расчета доходности по облигациям с переменным купонным доходом купонные ставки по неизвестным купонам принимаются равными последней известной ставке по данному выпуску.

Показатель дюрации, представляющий собой средневзвешенный срок выплат в днях, необходим для отбора сходных бумаг:

(14)

где:

– эффективная доходность к погашению;

– число дней до выплаты i-го купона;

– величина i-го купона;

– количество купонов;

– срок до j-й выплаты номинальной стоимости;

– размер j-й выплаты номинальной стоимости облигации;

– количество платежей по основной сумме долга.

Для анализа было отобрано 14 перспективных ценных бумаг, рассматривающихся в инвестиционной политике ФДУ «ЦентрИнвест первый»17 (см. табл. 3).

По результатам расчётов по формулам (13) и (14) получаем производные коэффициенты среднепроцентного отклонения дюрации и эффективной доходности. Результаты расчётов представлены в табл. 4.

17 Данные по эмитентам взяты из базы данных сайта http://cbonds. ru на

01.01.2010 г.

47

Модуль II. Применение теории игр для принятия стратегических…

В результате получаем игру размерностью 14 × 2 (табл. 5).

Решим двукритериальную (доходность–дюрация) игру в условиях реализации максиминной (гарантирующей) стратегии осторожного игрока.

Нормируя выборку и используя операцию доминирования стратегий, удалим неудовлетворительные стратегии (в таблице 5 отмечены оранжевым цветом).

Согласно классической теоремы теории игр, любая оптимальная стратегия для игры, получающейся в результате удаления доминированных строк, будет также оптимальной стратегией для первоначальной игры18. Также мы удаляем из выборки финансовый инструмент «ГМК Норильский никель, 2009», из-за несоответствия его параметра дюрации заданной нами априори среднесрочной стратегии, так как срок погашения данной бумаги составляет 3 года. Наша стратегия предполагает краткосрочный (до 1 года) период.

18 Волошин Г. Я. Методы оптимизации в экономике. М., 2004.

50