Эконометрика теория игр в экономике. Учебное пособие

4.4. Производные критерии в играх с природой

В случае же, когда среди величин eij встречаются положительные значения, можно перейти к строго отрицательным значениям с помощью преобразования (aij – ε) при ε = max aij + 1.

1

В случае равномерного распределения qj  =  m критерий Гер-

мейера становится идентичным максиминному критерию Вальда

(но для случая множественного принятия решения, см. табл. 14). Условия его применимости:

1.Вероятности появления состояния Fj известны.

2.Допускается некоторый риск.

3.Решение реализуется один или несколько раз.

Если функция распределения известна не очень надёжно, а числа реализации малы, то, следуя критерию Гермейера, получают, вообще говоря, неоправданно большое отклонение.

Критерий Гермейера, по сути, является «более тонкой настройкой» критерия Байеса–Лапласа для малого числа реализаций.

Критерий Гермейера рекомендует отказаться от проверки. Возможно в силу того, что вероятность отсутствия заражения

сети самая высокая (q1 = 0,6). В случае равновероятной «смеси» событий Fj, в соответствии с данным критерием необходимо провести полную проверку.

Критерий пессимизма–оптимизма Гурвица. Представляется логичным, что при выборе решения вместо двух крайностей – абсолютного оптимизма и абсолютного пессимизма – в оценке ситуации придерживаться некоторой субъективной промежуточной уравновешенной позиции. Согласно этому подходу, для каждого решения ЛПР необходимо субъективно определить линейную комбинацию этих полюсов. Оценочная функция выдаёт значения,

101

Модуль IV. Принятие решений в условиях риска

находящиеся между точкой зрения крайнего оптимизма и абсолютного пессимизма:

Выбор параметра χ субъективен (0 ≤ χ ≤ 1):

χ = 1 – характеризует ЛПР как абсолютно не склонного к риску («осторожного») игрока, крайнего пессимиста;

χ = 0 – ЛПР – абсолютный оптимист, «азартный» игрок.

В технических приложениях достаточно сложно обосновать весовой множитель χ, так как трудно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Поэтому чаще всего χ = 1/2.

Критерий Гурвица применяется в случае, когда:

1. Отсутствует информация о вероятностях появления состояния Fj .

2.С появлением состояния Fj необходимо считаться.

3.Реализуется малое количество решений.

4.Допускается некоторый риск.

При χ = ½ получаем:

Критерий произведений. Применение этого критерия считается адекватным в ситуации, характеризуемой следующими обстоятельствами :

1.Вероятности появления состояния Fj неизвестны.

2.Критерий применим и при малом числе реализаций реше-

ния.

3.Риск допускается.

Критерий произведений «заточен», в первую очередь, для слу-

чаев, когда все элементы aij в матрице решений положительны. Если это условие нарушается, то следует выполнить «сдвиг» aij + ε

при ε  > min aij.

102

Задание для рубежного контроля знаний по модулю 4

Данный критерий предполагает использование известных вероятностей возникновения Fj:

Задание для рубежного контроля знаний по модулю 4

Тест (5 баллов)

1.Для обоснования однократно принимаемого решения в большей степени подходит:

а) критерий Вальда; б) критерий Байеса–Лапласа; в) критерий Лапласа;

г) критерий Ходжа–Лемана.

2.Значение параметра χ  = 0,8 в критерии Гурвица свидетельствует:

а) о склонности ЛПР к риску; б) о несклонности ЛПР к риску;

в) о нейтральном отношении к риску; г) о смене хода.

3.«Игровая» интерпретация риска дана:

а) Лапласом; б) Моргинштейном; в) Нэшем; г) Сэвиджем.

4. Активная стратегия игрока: а) все альтернативы принимаются с вероятностью равной 1;

103

Модуль IV. Принятие решений в условиях риска

б) реализация всех альтернатив равноверояна; в) та, которая реализуется постоянно во всех партиях независи-

мо от выбора противника; г) нет верного ответа.

5. Основные критерии принятия решения в условиях неопределённости, в отличие от производных, предназначены только для:

а) абсолютного пессимиста, принимающего решение однократно;

б) абсолютного оптимиста, принимающего решение многократно;

в) ЛПР, склонного к риску и принимающего решение однократно;

г) нет верного ответа.

Проектное задание

Задача 4.1 (8 баллов). Электроэнергетическая компания использует парк из 20 грузовых автомобилей­ для обслуживания электрической сети. Компания планирует периодиче­ский профилактический ремонт автомобилей. Вероятность поломки автомобиля­ в первый месяц равна нулю, во второй месяц – 0,03 и увеличивается на 0,01 для каждого последующего месяца, по десятый включительно. Начиная с одиннадцатого месяца и далее, вероятность поломки сохраняется постоянной на уровне 0,13. Случайная поломка одного грузового автомобиля обходится компании в 200 ден. ед., а планируемый профилактический ремонт в 75 ден. ед.

Определите оптимальную длину цикла (в месяцах) для профилактического ремонта.

Задача 4.2 (8 баллов). Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине задается следующим­ распределением вероятностей.

по 1,2 ден. ед. Если булочка­ не продана в тот же день, то к концу дня она может быть реализована за 0,30 ден. ед. Величина запаса

104

Задание для рубежного контроля знаний по модулю 4

булочек может принимать одно из возможных значений­ спроса, которые перечислены выше.

а) Постройте соответствующее дерево решений (4 балла). б) Сколько булочек необходимо заказывать ежедневно (9бал-

лов)?

Задача 4.3 (9 баллов). Фермер имеет четыре альтернативы использования посевных площадей:

а1 – выращивать кукурузу; а2 – выращивать пшеницу;

а3 – выращивать подсолнечник; а4 – использовать землю под пастбища.

Платежи, связанные с указанными возможностями, зависят от количества осадков, которые условно можно разделить на четыре категории:

s1 – высокий уровень осадков (с вероятностью 0,1); s2 – умеренные осадки (с вероятностью 0,2);

s3 – незначительные осадки (с вероятностью 0,4); s4 – засушливый сезон (с вероятностью 0,3).

Матрица доходов (в тыс. ден. ед.) представлена следующим образом:

Обосновать выбор посевной культуры с помощью известных критериев принятия решений в условиях неопределённости, учитывая, что:

а) решение принимается в расчёте на 1 посевной сезон; б) выбирается долгосрочная стратегия засева площади.

105

КЛЮЧИ К ТЕСТОВЫМ ЗАДАНИЯМ

106

ЛИТЕРАТУРА

1.  Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных // пер с англ. С. П. Чеботарёва. – М.: Мир, 1974. 2.  Бодров В. И., Лазарева Т. Я., Мартемьянов Ю. Ф. Математические методы принятия решений: учеб. пособие. – Тамбов: Изд-во Тамб. гос. тех. ун-та, 2004.

3.  Биета Ф., Смилянец П. Теория игр и финансовые рынки // Вопросы экономики. – 2007. – № 10.

4.  Вайнтрауб Э. Р. Оптимизация и теория игр. – http://gallery. economicus.ru/cgi-ise/gallery/frame_rightn.pl?type = school&links = . /school/games/lectures/games_l1.txt&img = lectures_small. jpg&name = games.

5.  Вентцель В. С. Исследование операций – М.: «Знание», 1976. 6.  Волошин Г. Я. Методы оптимизации в экономике. – М., 2004.

7.  Губко М. В., Новиков Д. А. Теория игр в управлении организационными системами: учеб. пособие. – М.: Синтег, 2002.

8.  Данилов В. И. Лекции по теории игр. – М.: Российская экономическая школа, 2002.

9.  Лабскер Л. Г. О некоторой общей схеме формирования критериев оптимальности в играх с природой // Вестник ФА. – 2000. – № 2.

10.  Лежнев А. В. Динамическое программирование в экономических задачах – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010.

11.  Льюс Р. Д., Райфа Х. Игры и решения. – М., 1961.

12.  Мулен Э, Теория игр с примерами из математической экономики, М.: Мир, 1985.

13.  Оуэн Г. Теория игр – М.: Вузовская книга, 2004.

14.  Печерский С. Л., Беляева А. А. Теория игр для экономистов. Вводный курс. – СПб: Изд-во ЕУСПб, 2001.

15.  Протасов И. Д. Теория игр и исследование операций – М.: Гелиос АРВ, 2006.

16.  Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: учебник. 2-е изд., перераб. и доп. – М: «Финансы и статистика», 2005.

17.  Франк Р. Х. Микроэкономика и поведение. – М.: ИНФРА-М, 2000. 18.  Gray J. Meta Risk-Beyond the Scope of Explicit Financial Risks // Jour-

107

nal of Portfolio Management. – 2000. – Vol. 3.

19.  Neumann J. von and Morgenstern O. Theory of Games and Economic Behaviour, 2nd ed. Princeton, Princeton University Press, 1944.

20.  Schelling T. The Strategy of Conflict. Harvard University Press, 1960. 21.  Shubik M. The General Equilibrium Model Is Incomplete and Not Adequate For the Reconciliation of Micro and Macroeconomic Theory. – Kyklos 28 (1975).

22.  Robbins L. An Eussay on the Nature and Significance of Economic Science. – London Macmillan & Co., 1932.

23.  Wаlsh V. С. Introduction to Contemporary Microeconomics. – N. Y.: McGraw-Hill, 1970.

108

Содержание

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Модуль I. Введение в методологию теории игр. . . . . . . . . . . 8

1.1.Генезис, предмет и задачи теории игр в экономике. . . . . . . 8

1.2.Моделирование игрового процесса. Принципы и базовые понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.Виды моделей конфликта и классификация игр. . . . . . . 22

1.4.Игровые подходы к решению экономических задач. . . . . . 25

1.5.Равновесие в играх. Седловой элемент платёжной матрицы . . 28 Задания для рубежного контроля знаний по модулю 1. . . . . . . . 33

Модуль II. Применение теории игр для принятия стратегических… управленческих решений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.Рандомизация, смешанные стратегии и цена игры. . . . . . 37

2.2.Вычисление оптимальных стратегий. Сведение матрицы игры

кзадаче линейного программирования . . . . . . . . . . . 40

2.3.Парные игры с ненулевой суммой. Биматричные игры . . . . 56 Задание для рубежного контроля знаний по модулю 2. . . . . . . . 58

Модуль III. Определение оптимальной последовательности стратегических ходов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1.Сведение одношаговых управленческих задач к играм

споледовательностью ходов. Концетуальные положения динамического программирования. . . . . . . . . . . . . 62

3.2.Пошаговый процесс принятия решений. Основное функциональное уравнение Беллмана. . . . . . . . . . . 65

3.3.Примеры динамических игр. Рекуррентность в управлении. . 67 Задание для рубежного контроля знаний по модулю 3. . . . . . . . 85

Модуль IV. Принятие решений в условиях риска. . . . . . . . . . 87

4.1.Игры с природой в условиях относительной определённости. Элементы теории статистических решений. . . . . . . . . 87

4.2.Игры с природой в условиях коммерческой неопределенности.

Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3.Классические критерии принятия решений в играх

сприродой в условиях неопределённости. . . . . . . . . . 96

4.4.Производные критерии в играх с природой. . . . . . . . . 99 Задание для рубежного контроля знаний по модулю 4. . . . . . . 103

Ключи к тестовым заданиям. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

109