Эконометрика теория игр в экономике. Учебное пособие

1.5. Равновесие в играх. Седловой элемент платёжной матрицы

Аналогично, второй игрок, выбирая ход j, в наихудшей для себя ситуации проигрывает maxaj. Стремясь гарантировать прои-

j

грыш «не более чем…», он должен осуществлять выбор хода, исходя из условия maxaij → min.

i

Значение элемента платёжной матрицы aij* = min  maxaij называ-

j i

ется верхней границей игры (ω), минимаксом игры.

Стратегия такого выбора (и первым и вторым игроками), основанная на максимизации худшего результата на основе выбора стратегии, гарантирующей получение некоторого приемлемого результата, называется стратегией осторожного игрока, игрока не склонного к риску.

i* является доминантной стратегией не склонного к риску Игрока 1, j* – доминантной стратегией не склонного к риску Игрока 2.

В теории игр выделяют также стратегию азартного игрока.

Она базируется на критерии выбора, имеющим вид:

Так в исследуемом примере стратегии азартного игрока соответствует ход Игрока 1 i = 4: игрок сильно рискует, желая получить максимально возможный в игре выигрыш a44 = maxi maxjaij = 25.

Величина максимина и минимакса (нижней и верхней границы игры) совпадают, уравновешиваются на одном и том же элементе платёжной матрицы достаточно редко. То есть при наличии максимина и минимакса значение чистой цены игры может быть не определено. Соотношение между максимином и минимаксом определяется Теоремой о минимаксе: Для любой функции F(x, y), определённой на произвольном декартовом произведении X × Y, имеет место неравенство:

является седловой точкой функции F.

31

Модуль I. Введение в методологию теории игр

Ситуация (пара стратегий) будет равновесной тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент аi*j* является одновременно наибольшем в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такой элемент, если он существует, называется седловым элемен-

том игры:

aij* ≤ ai*j* ≤ ai*j .

Значение седлового элемента и определяет цену игры, равную ν  = ω (рис. 4). Если игра имеет седловой элемент, то его определе-

ние уже есть решение игры в чистых стратегиях , так как, если Игрок 1 выберет эту стратегию, то неважно, знает ли это 2-й игрок. Всякое отклонение от ситуации (i*, j*) уменьшает выигрыш первого игрока и увеличивает проигрыш второго.

Свойства седлового элемента платёжной матрицы:

1.Равноценность. Если платёжная матрица содержит несколько седловых точек, то значения функции выигрыша в них одинаковы.

2.Взаимозаменяемость оптимальных (доминантных) стратегий. Игроки могут заменить свои оптимальные стратегии другими оптимальными стратегиями, при этом равновесие не нарушится,

авыигрыш (проигрыш) останется неизменным.

Седловой элемент

51

Рис. 4. Игра с седловым элементом

13 С учётом аналитической (функциональной) интерпретации антагонистической игры.

32

Задания для рубежного контроля знаний по модулю 1

К недостаткам ситуации равновесия с несколькими седловыми элементами можно отнести практическое отсутствие разумного (формального) основания­ выбора одной из них.

Задания для рубежного контроля знаний по модулю 1

Тест (5 баллов)

1.Методологический подход теории игр исходит из концеп-

ции:

а) крайнего пессимизма; б) крайнего оптимизма; в) среднего минимакса;

г) критерия ожидаемого значения.

2.Игры с нулевой суммой характеризуются тем, что:

а) ни один из субъектов не имеет выигрыша; б) сумма всех платежей равна нулю; в) в игре отсутствуют проигравшие;

г) каждый игрок пытается сохранить сумму, внесённую в игру, неизменной.

3.При отсутствии седлового элемента игра: а) становится неустойчивой; б) приобретает устойчивость;

в) теряет заменяемость равновесных состояний.

4.Игру двух лиц с нулевой суммой называют: а) волюнтаристской; б) императивной; в) безвыигрышной;

г) антагонистической; д) нет верного ответа.

5.Согласно Теореме о минимаксе:

а) максимин всегда равен минимаксу; б) максимин всегда превышает минимакс;

в) значение максимина всегда меньше минимакса; г) нет верного ответа.

33

Модуль I. Введение в методологию теории игр

Проектное задание

Задача 1.1 (4 балла). Фермер предполагает выращивать либо кукурузу, либо подсолнечник. Вероятность того, что цены на будущий урожай этих культур повысятся, останутся на том же уровне или понизятся, равна соответственно 0,25, 0,30 и 0,45. Если цены возрастут, урожай подсолнечника даст 40 тыс. ден. ед. чистого дохода, а урожай кукурузы – 20 тыс. ден. ед. Если цены останутся неизменными, фермер лишь покроет расходы. Но если закупочные цены снизятся, урожай подсолнечника и кукурузы приведет к потерям в 35 тыс. и 5 тыс. долл. соответственно.

a) Представить данную задачу в виде дерева решений (1 балл). б) Показать процесс принятия решения о выборе культуры

для производства (1 балл).

Задача 1.2 (3 балла). Фирма приобрела станок за 1000 ден. ед. Для его обслуживания можно купить специальное оборудование за 500 ден. ед. или обойтись старым оборудованием. Если станок выходит из строя, его ремонт с помощью спецоборудования обходится в 100 ден. ед., без спецоборудавания – в 400 ден. ед. Известно, что в течение срока эксплуатации станок выходит из строя не более трех раз: вероятность того, что станок выработает свой амортизационный срок без поломок – 0,3; выйдет из строя 1 раз –

0,4; 2 раза – 0,2; 3 раза – 0,1.

Определить целесообразность приобретения специализированного ремонтного оборудования.

Сравнить результаты реализации критерия ожидаемого зна-

чения лицом, склонным к риску, и максминного критерия

«осторожного» игрока.

Задача1.3(3балла).Даноописаниеигрывразвернутойформе. Игра описывает результаты возможного вхождения торговой фирмы-новичка «1» на региональный рынок. Торговая сеть «2», уже закрепившаяся на данном рынке, может не противостоять этому вхождению, посчитав, что её сегменту ничего не угрожает. Если же аналитики «2» оценят действия фирмы «1», как угрозу и предпосылку потери фирмой «2» доли рынка, со стороны «2» начинается кампания по локализации действий «1», по входу на ры-

нок.

34

Задания для рубежного контроля знаний по модулю 1

1

2 2

1

1,2 2,1 0,3

2,2 1,4

а) Декомпозируйте условие задачи на приведённое описание игры в развёрнутой форме. Каковы возможные последствия развития событий? (0,5 балла).

б) Проведите обратную индукцию и сформулируйте предположения о рациональности и информированности игроков, соответствующие каждому шагу этого процесса (0,5 балла).

в) Выпишите соответствующую игру в нормальной форме

(0,5 балла).

г) Проведите процесс последовательного исключения слабо доминированных стратегий (0,5 балл).

д) Проведите процесс последовательного исключения строго доминированных стратегий с учетом возможности применения смешанных стратегий (1 балл).

Задача 1.4 (3 балла). Проверить социально-политические конфликты, платежные матрицы которых представлены ниже, на разрешимость в чистых действиях игроков:

35

Модуль I. Введение в методологию теории игр

Задача 1. 5 (4 балла). Производственная фирма планирует открыть новое подразделение. В настоящее время­ имеется возможность построить либо крупное предприятие, либо небольшое­ , которое через два года можно будет расширить при условии высокого спроса на выпускаемую им продукцию. Рассматривается задача принятия решений на десятилетний период. Фирма оценивает, что на протяжении этих 10 лет вероятность высокого и низкого спроса на реализуемую продукцию будет равна 0,75 и 0,25 соответственно. Стоимость немедленного строитель­ ства крупного предприятия равна 50 млн. ден. ед., а небольшого – 10 млн. ден. ед. Расширение малого предприятия через два года обойдется фирме в 40,2 ден. ед. Прибыль, получаемая от функционирования производственных мощностей­ на протяжении 10 лет, приводится в следующей таблице:

во внимание, что через два года фирма может либо расширить небольшое предприятие, либо­ не расширять его.

36

Модуль II. Применение теории игр для принятия стратегических… управленческих решений

Комплексная цель модуля: Формирование практических навыков принципиального построения достоверной экономикоматематической модели конфликта, отражающей отраслевую, региональную, индивидуально-поведенческую, национальную специфику участников и соответствующей организационным, культурно-правовым, политическим, ситуационным условиям, а также овладение фундаментальной методикой решения игровых задач.

2.1. Рандомизация, смешанные стратегии и цена игры

Рассмотрим игру, платёжная матрица А которой не содержит седловой элемент:

ν = а12 = 2 ω =  a22 = 3 (рис. 5).

Рис. 5. Антагонистическая игра без седлового элемента

Согласно теореме о минимаксе ν < ω.

Если матричная игра не имеет седлового элемента (нет ситуации равновесия), то ее решение в чистых стратегиях становится

37

Модуль II. Применение теории игр для принятия стратегических…

непредсказуемым: каждому игроку можно только гарантировать, что его выигрыш при разумном поведении будет не менее нижней границы и не более верхней границы, цены игры. То есть, если в игре без седловой точки раскрыть противнику свою стратегию, то максимум, на что можно рассчитывать, это v – нижний выигрыш для первого игрока, или ω – верхний выигрыш для второго.

Данная игра не обладает обозначенной для игр с седловым элементом устойчивостью. Это означает, что при получении информации о возможном поведении противника у игрока возникает стимул отклониться от своей доминирующей стратегии. Причина этого – «разрыв» между нижней и верхней границами игры. В нашем случае это ω – ν = 3 – 2 = 1. Эту единицу Игрок 1 пытается присоединить к своему гарантированному выигрышу, который составляет 2 (всё равно Игрок 2 рассчитывает потерять как минимум 3). В то же время Игрок 2 будет предпринимать усилия по списанию этой разницы из суммы своего проигрыша (всё равно Игрок 1 планирует получить в игре с нулевой суммой не более 2).

Таким образом, выход из создавшейся конфликтной ситуации видится в распределении остатка ω – ν = 1 между игроками, он позволит тем самым первому игроку увеличить свой гарантированный ожидаемый выигрыш, а второму – уменьшить величину ожидаемого гарантированного проигрыша. Это становится возможным в случае предписания игрокам действий, базирующихся на случайности в выборе своих ходов. Однако сама схема рандомизации (ввода случайности, случайного выбора плана действий) должна выбираться разумно. В этом и состоит идея использования смешанных стратегий.

Согласно ключевой теореме теории игр – теореме Неймана – каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий. Указанная теорема стоит у основания моделей нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седлового элемента.

Смешанной стратегией игрока в матричной игре называется полный набор вероятностей р  =  (р1, р2, ..., рn) применения его чистых стратегий. Таким образом смешанная стратегия игрока есть вероятностное распределение на множестве его чистых стратегий, смесь чистых стратегий, n-мерный вектор, где n – конечное число

чистых стратегий игрока. Причём Σn  pi = 1.

i = 1

38

2.1. Рандомизация, смешанные стратегии и цена игры

Вероятности в смешанных стратегиях могут интерпретироваться как14:

•использование игроками случайного устройства-алгоритма принятия разумного решения в неповторяющейся игре (искусственная рандомизация выбора);

•частота использования стратегии («смесь стратегий») в повторяющейся игре;

•различные типы стратегий игроков в играх с неполной информацией (введено Дж. Харшаньи);

•субъективно-вероятностные убеждения игроков относительно поведения оппонентов;

•чистые стратегии игроков в их оптимальных смешанных стратегиях, т. е. вероятность выбора которых не равна 0, называют-

ся активными.

Обозначим множество всех смешанных стратегий Игрока 1 че-

рез P, а множество всех смешанных стратегий Игрока 2 через Q. Предполагаем, что игроки участвуют в игре с платёжной ма-

трицей А . Если игрок 1 выбирает смешанную стратегию p, а 2-й – q, то средний ожидаемый выигрыш Игрока 1 будет равен:

Игрок 1 должен опасаться, что Игрок 2 раскроет его выбор стратегий. Если бы это случилось, то Игрок 2 выбрал бы q так, чтобы минимизировать νср (ωср = νср, так как игра антагонистическая).

Нижняя граница игры, максимин, при условии, что Игрок 1 вы-

Минимакс, верхняя граница игры, при условии, что Игрок

2 применит стратегию q:

14 Протасов И. Д. Теория игр и исследование операций. М.: Гелиос АРВ, 2006, С. 69

39

Модуль II. Применение теории игр для принятия стратегических…

Использование смешанных стратегий p и q позволяет ликвидировать «разрыв», возникающий в случае реализации игроками своих максиминной и минимаксной стратегий в чистом виде. Пару смешанных стратегий (p, q) будем называть решением игры в смешанных стратегиях, если:

Общая величина ωср (q) = νср (p) называется ценой игры в сме-

шанных стратегиях.

Если в игре возникает несколько равновесных ситуаций, позиции теоретика становятся шаткими. Однако любое из равновесий, ожидаемое игроками, обладает самооправдывающим свой­ством. Томас Шеллинг в книге «Стратегия конфликта» (1960) назвал данный феномен эффектом фокальной точки15. Это любое свой­ство, выделяющее конкретное равновесие среди всех остальных. Им могут быть традиции, статус кво, авторитет и т. п., т. е., как правило, внемодельный критерий.

2.2. Вычисление оптимальных стратегий. Сведение матрицы игры к задаче…линейного программирования

Теорема о минимаксе гарантирует то, что каждая антагонистическая игра имеет оптимальные стратегии. Она даёт существование, но не определяет, как искать эти оптимальные стратегии. Выделим этапы решения антагонистических игр.

1.Существование седлового элемента, т. е. когда существует

элемент aij, являющийся максимальным в своём столбце и минимальным в своей строке. Тогда чистые стратегии i и j (или, что равносильно, смешанные стратегии p и q, для которых определенные

pi = 1, qj = 1, а все остальные компоненты равны нулю) будут оптимальными стратегиями для игроков.

2.Доминирование. Пусть дана платёжная матрица игры А . Будем говорить, что i-ая строка слабо доминирует k-ю строку,

если aij ≥ akj , j и aij ≥ akj по крайней мере для одного j. Аналогично, будем говорить, что j-ый столбец доминирует

l-й столбец, если aij ≤ ail , i и aij ≥ ail по крайней мере для одного i.

15 Schelling T. The Strategy of Conflict. Harvard University Press, 1960.

40