Эконометрика теория игр в экономике. Учебное пособие

3.3. Примеры динамических игр. Рекуррентность в управлении

тервалов определяются целочисленным значением веса предметов 1-го типа.

Данные оформим в виде таблицы:

Этап 2. Оценим возможность загрузки самолёта предметами

1-го и 2-го типов. Так как p2 = 22 т, то W/p2 = 83/22 = 3,772. Следо-

вательно, x2 может принимать значения 0,1,2,3. Величину грузоподъемности разбиваем на интервалы, учитывая «нижние» значе-

ния веса p1 и p2.

При 0 ≤ W ≤ 23 – в самолет нельзя загрузить предметы ни 1-го ни2-готипов.Наоставшихсяинтервалахколичествопредметовна- ходят с помощью таблицы и функционального уравнения f2(W) =  =  max{c2x2 – f1(W–p2x2)}.

46 ≤ W ≤ 47, x2  =  2:

85•0 + f1(44)

f2(44)= max   {85x2 + f2(44–22x2)} = max 85•1 + f (44 – 22) =

0 ≤ x2 ≤46/22 1

85•2 + f1(0)

81

Модуль III. Определение оптимальной последовательности стратегических

Этап 3. Повторяем алгоритм Беллмана для трёх товаров:

82

3.3. Примеры динамических игр. Рекуррентность в управлении

83

Модуль III. Определение оптимальной последовательности стратегических

Таким образом, максимальная стоимость груза достигается при x1  =  3, x4 =  1 и составляет 308 тыс. ден. ед.

84

Задание для рубежного контроля знаний по модулю 3

Задание для рубежного контроля знаний по модулю 3

Тест (5 баллов)

1.Пошаговый процесс принятия решений Беллмана: а) всегда имеет только одно решение; б) может не иметь решения; в) может иметь несколько решений.

2.Рекуррентность означает в процессе Беллмана:

а) оптимальное решение одной подзадачи используется в качестве исходных данных для следующей;

б) решение каждой последующей подзадачи не связано с результатами предыдущей;

в) решение всех подзадач ищется одновременно, праллельно

инезависимо.

3.Динамическое програмирование реализуется для решения экономических задач в случае:

а) недостаточности первичной информации; б) необходимости выделения последовательности ходов в игре;

в) возможности перехода от решения задачи с несколькими переменными к решению ряда задач с одной переменной;

г) обязательной необходимости оценки вероятности осуществления стратегии.

4.Условно оптимальное управленческое решение:

а) может быть изменено в условиях реальной реализации; б) решение этапной подзадачи процесса Беллмана;

в) одно из нескольких равноценных решений, полученных в ходе решения многокритериальной задачи;

г) решение, требующее проверки.

5. Аддитивность функции выгрыша означает:

а) выигрыш на каждом шаге не зависит от начального состояния управляемой системы;

б) её монотонное возрастание; в) оптимальные решения отдельных шагов создают общее опти-

мальное решение задачи; г) будущие результаты не предполагают использование преды-

стории того положения системы, при котором принимается решение.

85

Модуль III. Определение оптимальной последовательности стратегических

Проектное задание

Задача 3.1 (10 баллов) Оптимально распределить инвестиции, располагая следующей информацией о доходах подразделений организации:

Задача 3.2 (10 баллов). Требуется сформировать груз максимальной стоимости, вес которого не должен превышать 3 тонны:

86

Модуль IV. Принятие решений в условиях риска

Комплексная цель модуля: формирование научно-теоретичес- ких и методико-прикладных знаний в области принятия управленческих решений в условиях предпринимательского риска и неопределенности различного уровня, нечётко определённых требований внешней среды.

4.1. Игры с природой в условиях относительной определённости. Элементы…теории статистических решений

Предметом рассмотрения данного модуля служат статистические модели принятия решений, трактуемые как статистические игры или игры с природой при использовании дополнительной статистической информации о её стратегиях. Характерная черта статистической игры – возможность получения информации

врезультате некоторого статистического эксперимента для оценки распределения вероятностей стратегий природы. Исследование механизма случайного выбора стратегии природой позволяет принять оптимальное решение, которое будет наилучшей стратегией

вигре с неантагонистическим противником человека – природой. Однако распределение вероятностей событий может быть и неизвестно.

Врассмотренных разделах теории игр предполагалось, что оба противника (или больше двух) активно противодействуют друг другу, что оба они достаточно рациональны – чтобы искать и найти свою оптимальную стратегию, и осторожны – чтобы не отступать от нее. Такое положение дает возможность предсказывать поведение игроков. Неопределенность имела место лишь в выборе противником конкретной чистой стратегии в каждой отдельной партии.

Однако возможен случай, когда неопределённость в игре вызвана не сознательным противодействием противника, а незнанием условий, в которых будет приниматься решение, случайных обстоятельств. Такие игры и называются «играми с природой».

87

Модуль IV. Принятие решений в условиях риска

Очевидно, что в условиях неполноты информации о функциях выигрышей, стремлениях и возможных действиях противников, игра может быть сведена к игре с природой. В этом случае множество противодействий со стороны конкурентов может быть интерпретировано как «внешняя среда», природа.

Игра человека с природой тоже отражает конфликтную ситуацию, возникающую при столкновении интересов в выборе решения. Но «стихийным силам природы» нельзя приписать разумные действия, направленные против человека и тем более какой-либо «злой умысел». Таким образом, корректнее говорить о конфликтной ситуации, вызванной столкновением интересов человека и неопределённостью действий природы.

Действия природы могут как наносить ущерб, так и приносить дополнительную выгоду, выраженную в различных единицах (прибыль, прирост показателей, полезность). Поведение природы можно оценить статистическими методами, определить присущие ей закономерности. В зависимости от степени знания этих закономерностей, определяющих поведение природы, различаются:

1)игры с природой в условиях достаточной определенности –

поведение природы известно полностью (заданы вероятностями);

2)игры с природой в условиях неопределенности – действия природы не известны, или изучены частично.

Кявлениям природы, влияющим на результат решения, относят не только погодные и сезонные явления, но и проявление любых, не зависящих от нас обстоятельств, например задержки на транспорте.

Поиском решений в таких ситуациях и занимается теория статистических решений.

Человек, играя с природой, стремится максимизировать свой выигрыш, поэтому, если он осторожный игрок (а теория игр рассматривает именно таких игроков), он должен при выборе своей стратегии руководствоваться тем, что неизвестные или известные ему закономерные действия природы приведут к наименее благоприятным последствиям. Именно поэтому такие игры можно рассматривать как игры двух лиц с нулевой суммой, которые были уже представлены выше.

Использование критерия ожидаемого значения обусловлено стремлением максимизировать ожидаемый положительный результат (или минимизировать ожидаемые потери). Речь об этом

88

4.1. Игры с природой в условиях относительной определённости. Элементы…

уже шла выше, в п. 1.4. Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока не будут получены достаточно точные расчётные значения вероятностей распределения событий. Данный подход, таким образом, реализуется в условиях достаточной определённости.

Иными словами, при достаточно большом объёме выборки разница между средним арифметическим и математическим ожиданиями стремится к нулю (так называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно, использование критерия ожидаемого значения справедливо и обоснованно только в случае, когда одно и то же решение приходится применять достаточно большое число раз. Верно и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам для решений, которые приходится принимать небольшое число раз.

Пример 4.1. Требуется принять решение о том, когда необходимо проводить профилактический ремонт электронных устройств, обслуживающих компьютерную сеть компании, чтобы минимизировать потери из-за неисправности. В случае если обслуживание будет осуществляться часто, затраты компании, связанные с неисправностью электронных устройств, будут нулевыми. И наоборот, экономия на периодическом обслуживании может привести к достаточно большим финансовым потерям из-за случайных поломок.

Так как невозможно предсказать заранее, когда возникнет неисправность, необходимо найти вероятность того, что сетевое устройство выйдет из строя в период времени t. В этом и состоит элемент «риска».

Математически это выглядит так: электронное устройство ремонтируется индивидуально, если оно выведено из эксплуатации поломкой. Через T интервалов времени выполняется профилактический ремонт всех n сетевых устройств. Необходимо определить оптимальное значение Т, при котором минимизируются общие затраты на ремонт неисправных устройств и проведение профилактического ремонта в расчёте на один интервал времени.

Пусть рt – вероятность выхода из строя одного сетевого устройства в момент t, а nt – случайная величина, равная числу всех вышедших из строя устройств в тот же момент. Пусть далее С1 – затраты на ремонт неисправной единицы оборудования и С2 – затраты на профилактический ремонт одного устройства.

89

Модуль IV. Принятие решений в условиях риска

Применение критерия ожидаемого значения в данном случае оправдано, поскольку компания использует сетевые ресурсы в течение большого периода времени, а решение о профилактике должно приниматься многократно. При этом ожидаемые затраты TCt на один интервал составят:

гдеM(nt)–математическоеожиданиечиславышедшихизстроя устройств в момент времени t. Так как nt имеет биномиальное распределение с параметрами (n, pt), то M(nt) =  npt. Таким образом,

Необходимые условия оптимальности T* имеют вид:

TCt (T*–1) ≥ TCt (T*), TCt (T* + 1) ≥ TCt (T*).

Следовательно, начиная с малого значения T вычисляют TCt(T), пока не будут удовлетворены необходимые условия оптимальности.

Пусть С1  =  100; С2  =  10; n  =  50. Значения pt имеют вид:

Следовательно профилактический ремонт необходимо делать через T* = 3 интервала времени.

90