Эконометрика теория игр в экономике. Учебное пособие

4.1. Игры с природой в условиях относительной определённости. Элементы…

Возможна модификация критерия ожидаемого значения для редко повторяющихся ситуаций в критерий «ожидаемое значе-

ние – дисперсия».

Если х – случайная величина с дисперсией D(х), то среднее арифметическое х имеет дисперсию D(x)/n, где n – число слагаемых в х. Следовательно, если D(x) уменьшается, то вероятность того, что х близко к M(x), увеличивается. Следовательно, целесообразно ввести критерий, в котором максимизация ожидаемого значения прибыли сочетается с минимизацией её дисперсии.

Пример 4.2. Применим критерий «ожидаемое значение – дис-

персия» для примера об обслуживании сетевых электронных устройств при условии их редкого использования. Для этого необходимо найти дисперсию затрат за один интервал времени, т. е. дисперсию:

Так как nt, t  = 1,T −1 – случайная величина, то зТ также случайная величина. nt имеет биномиальное распределение с M(nt) = npt

и D(nt) = npt(1–pt). Следовательно,

где С2n = const.

Из (28) следует, что М(TCt = 1) = М(TCt(Т)).

Следовательно, искомым критерием будет минимум выраже-

ния:

М(TCt(Т)) + k D(TCt = 1).

Коэффициент k можно рассматривать как «уровень не склонности к риску», так как k определяет «степень возможности» дисперсииD(TCt = 1)поотношениюкматематическомуожиданию.Например, если предприниматель особенно остро реагирует на большие

отрицательные отклонения прибыли вниз от М(TCt = 1), то он может выбрать k много больше 1. Это придаёт больший вес дисперсии

91

Модуль IV. Принятие решений в условиях риска

и приводит к решению, уменьшающему вероятность больших потерь прибыли.

При k  = 1 получаем задачу:

По данным примера составим следующую таблицу решений:

Данные приведённой выше таблицы свидетельствуют о том, что профилактический ремонт необходимо делать в течение каждого интервала Т* = 1.

4.2.Игры с природой в условиях коммерческой неопределенности. Постановка задачи

Если распределение вероятностей будущих состояний природы не известно, вся информация о природе сводится к перечню ее возможных состояний. То есть, как отмечалось выше, предполагает-

ся, что ЛПР не противостоит разумный противник.

У активного игрока (человека) возможные действия попрежнему называются стратегиями, а возможные действия пассивного игрока (природы) – состояниями или условиями природы. Данные, необходимые для принятия решения в условии неопределенности, обычно задаются в форме матрицы решений |А|, строки которой соответствуют возможным действиям активного игрока Ei, а столбцы – возможным состояниям среды Fj. На пересечении строк и столбцов записывается платёж aij, получаемый ЛПР в случае реализации своей стратегии Ei и возникновения ситуации природы Fj (рис. 8). Матрица может содержать также сведения о вероятности попадания «природы» в то или иное состояние qj.

92

4.2.Игрысприродойвусловияхкоммерческойнеопределенности.Постановказадачи

«Смесь» состояний природы

Рис. 8. Матрица решений |А|

В игре достаточно определить максиминную стратегию первого игрока и нижнюю границу игры. Определение верхней цены (границы) игры имеет смысл, если данная игра повторяется многократно и оптимальная стратегия может быть смешанной.

Чтобыприйтикоднозначномурешению,т.е.адекватновыбрать

Ei,вводят оценочную функцию ei = f(Fi1, Fi2, Fi3, …,Fim). Каждому ва-

рианту Ei приписывается некоторое значение оценочной функции ei, характеризующее в целом последствия реализации этой стратегии: прибыль, полезность или надёжность. Значение оценочной функции ei называют полезностью решения i. В результате матрица решений |А| сводится к одному вектор-столбцу | ei |, на основе значений элементов которого и принимается решение (рис. 9).

Рис. 9. Построение оценочной функции и определение полезности решения

93

Модуль IV. Принятие решений в условиях риска

Ситуации относительной определённости, рассмотренные в предыдущем разделе, предполагают определение параметров принятия решения (по срокам, объектам, этапам, затратам и т. д.). Задачи принятия решений в условиях неопределённости природы сводятся к эффективному выбору из некоторого числа возможных вариантов действий.

Пример 4.3. При работе сетевого компьютерного оборудования необходимо периодически приостанавливать обработку информации и проверять сеть на наличие в ней вирусов. Приостановка в обработке информации приводит к определённым экономическим издержкам. В случае же, если вирус вовремя обнаружен не будет, возможна потеря некоторой части информации, это чревато прерыванием обслуживания клиентов и т. п., что приведёт и ещё к большим убыткам.

Варианты решения таковы: Е1– полная проверка; Е2– минимальная проверка; Е3– отказ от проверки.

Система может находиться в следующих состояниях:

F1– вирус отсутствует;

F2– вирус есть, но он не успел повредить информацию; F3– есть файлы, нуждающиеся в восстановлении.

Результаты, включающие затраты на поиск вируса и его ликвидацию, а также затраты, связанные с восстановлением информации имеют вид:

Рассмотрим критерии принятия решений в условиях неопределённости на указанном примере.

Выбор критерия базируется на следующих принципах.

1.Число реализаций стратегии, множественность ситуаций вы-

бора.

2.Склонность ЛПР к риску.

На основе этих требований ЛПР и характеристик самого процесса принятия решения, а также с учётом имеющейся информа-

94

4.2.Игрысприродойвусловияхкоммерческойнеопределенности.Постановказадачи

ции о вероятностном распределении ситуаций Fj, осуществляется выбор критерия.

Классификация критериев по указанным признакам приведена в табл. 14. В таблице выделены так называемые классические

(основные) критерии. Остальные относят к производным.

Таблица 14

Области применения основных и производных критериев принятия решений в условиях неопределённости

95

Модуль IV. Принятие решений в условиях риска

4.3.Классические критерии принятия решений

виграх с природой…в условиях неопределённости

Максиминный критерий Вальда. Правило крайне пессими-

стичного подхода в процессе принятия решения в соответствии с минимаксным критерием можно интерпретировать следующим образом:

Выбранные таким образом варианты решения полностью исключают риск. Это означает, что ЛПР практически не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Применение данного критерия оправдано в случае если:

1.Решение реализуется только один раз;

2.Необходимо полностью исключить риск.

3.О вероятности появления внешних состояний Fj информации

нет.

Согласно данному критерию, применительно к условиям задачи, следует проводить полную проверку.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа. Условия применения данного критерия полностью совпадают с требованиями критерия Вальда, однако, как мы увидим, он выдаёт более «мягкие» решения.

На практике, выбирая одно из возможных решений, часто останавливаются на том, осуществление которого приведет к наименее тяжелым последствиям, если выбор окажется ошибочным. Этот подход к выбору решения математически был сформулирован американским статистиком Сэвиджем в 1954 г. и является, по сути,

принципом сравнительных преимуществ в выборе. Он особенно удобен для экономических задач и часто применяется для выбора решений в играх человека с природой.

По принципу Сэвиджа каждое решение характеризуется величиной дополнительных потерь, которые возникают при реализа-

96

4.3. Классические критерии принятия решений в играх с природой…

цииэтогорешения,посравнениюсреализациейрешения,правильного при данном состоянии природы. Естественно, «правильное» решение не влечет за собой никаких дополнительных потерь и их величина равна нулю. При выборе решения, наилучшим образом соответствующего различным состояниям природы, следует принимать во внимание только эти дополнительные потери, которые по существу, будут являться следствием ошибок выбора:

Для решения задачи строится так называемая матрица рисков (остатков, сожалений), элементы которой показывают, какой убыток понесет игрок (ЛПР) в результате выбора неоптимального варианта решения:

Риском rij игрока при выборе стратегии i в условиях (состояниях) природы j называется разность между максимальным выигрышем, который можно получить в этих условиях, и выигрышем, который получит игрок в тех же условиях, применяя стратегию i.

Величину rij можно интерпретировать как потери (штрафы), возникающие в состоянии Fj при замене оптимального для него варианта на вариант Ei.

Матрица остатков (матрица сожалений) для приведённого выше примера и их оценка, согласно критерию Сэвиджа, имеет вид:

То есть при допуске некоторого уровня риска необходимо осуществлять минимальную проверку.

Максимаксный критерий. Критерий абсолютного оптимизма

в любых условиях ориентирован на самый благоприятный случай:

97

Модуль IV. Принятие решений в условиях риска

Как и ожидалось, согласно данному критерию, необходимо отказаться от проверки, надеясь на отсутствие вируса.

Критерий Байеса-Лапласа применяется в случае достаточно большого числа реализаций стратегии. Если известны вероятности qi появления внешнего состояния Fj , то вектор полезности решений ei формируется как математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются варианты с наибольшим значением

При этом предполагается, что ситуация, в которой принимается решение, имеет следующие характеристики:

1.Стратегическое решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз. Это требование является принципиальным, поскольку при достаточно большом числе реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск практически исключён. Для малого же числа реализаций решения допускается некоторый риск.

2.Вероятности появления состояния Fj известны и не зависят от времени. Возможно, для этого потребуется провести дополнительное эмпирическое исследование.

Так, распределение вероятностей возникновения состояний природы F1, F2, F3, описывается «смесью» q =  (0,6; 0,3; 0,1):

98

4.4.Производные критерии в играх с природой

Вслучае, если ЛПР не имеет информации о вероятностях воз-

никновения событий среды Fj, может быть использован критерий недостаточногооснованияЛапласа, являющийся частным случа-

ем критерия Байеса–Лапласа. Отсутствие информации о вероятностях распределения может быть связано либо с невозможностью проведения исследования, либо абсолютным недоверием к предложенной оценке вероятностей возникновения событий. В связи

сэтим критерий недостаточного основания Лапласа можно разместить в первой строке третьего столбца табл. 6 (решение принимается многократно, риск минимизируется).

Вданном критерии заложен следующий подход к решению игровых задач с неопределённостью среды и отсутствием данных о частоте смены её состояний: поскольку неизвестны будущие состояния природы, постольку можно считать их равновероятными,

1

т. е. qj = m. Вектор оценочной функции  ei формируется как сред-

нее арифметическое значений каждой из строк:

Применительно к условию задачи о профилактической проверке на вирус сетевого оборудования в предположении множественного возникновения ситуации выбора и того, что все состояния равновероятны qj  =  0,33, рекомендуется отказаться от проверки:

4.4. Производные критерии в играх с природой

Критерий Ходжа–Лемана является корректирующим в сторону локализации недостатков по отношению к критерию Байеса– Лапласа. Очевидно, что характеристики ситуации, адекватной

99

Модуль IV. Принятие решений в условиях риска

для применения критерия Ходжа–Лемана будут совпадать с рекомендациями по использованию критерия Байеса–Лапласа.

Критерий Ходжа–Лемана синтезирует критерии Байеса-Лап- ласа и Вальда путём введения в анализ параметра γ (0 ≤ γ ≤ 1), отра-

жающего степень доверия ЛПР к предлагаемому ему распределению вероятностей состояний природы. Выбор γ субъективен:

γ = 0 – ЛПР считает, что распределение вероятностей qj абсолютно не достоверно;

γ = 1 – ЛПР полностью доверяет и разделяет мнение о возникновении состояний среды, заданных вектором (q1, q2, …, qm).

В зависимости от субъективного доверия к «смеси» состояний природы, при γ  =  1 критерий Ходжа–Лемана превращается в кри-

терий Байеса–Лапласа, а при γ  =  0 становится максиминным,

но адаптированным для случая неоднократного принятия решения (см. условия применимости критериев в табл. 5):

Применение критерия Ходжа–Лемана (q  = (0,6; 0,3; 0,1), γ  = = 0,5) свидетельствует о необходимости полной проверки.

Существуют также производные критерии выбора, адаптированные к процессу принятия решений с небольшим числом реализаций стратегии.

Критерий Гермейера ориентирован на анализ величины потерь, т. е. на отрицательные значения всех аij в матрице решений. Это актуально для принятия экономических решений, так как значительное число хозяйственных задач связано с оценкой затрат и условие аij < 0 выполняется. При этом:

100