Численные методы. Ч.2. Учебное пособие

МИНИCTEPCTBO НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Часть II

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Направление подготовки

02.03.01 – Математика и компьютерные науки

Профиль подготовки «Вычислительные, программные, информационные системы

и компьютерные технологии»

Бакалавриат

Ставрополь

2018

- 4 -

Предисловие

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие (курс лекций) по дисциплине «Численные методы» подготовлено в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования.

Дисциплина «Численные методы» имеет целью формирование профессиональныхкомпетенций(ОПК-1,ОПК-4)будущего бакалавра по направлению подготовки 02.03.01 – Математика и компьютерные науки.

При изучении дисциплины рассматриваются наиболее часто используемые в практике прикладных и научно-технических расчётов методы: численное решение уравнений и систем; численное дифференцирование.

Изучение дисциплины способствует пониманию студентами основ численного решения уравнений различной природы и оценки точности данных решений.

Курс относится к вариативной части обязательных дисциплин Б1.В.06 и логически связан с профилем «Вычислительные, программные, информационные системы и компьютерные технологии» учебного плана направления 02.03.01 – Математика и компьютерные науки.

В ходе изучения дисциплины формируются навыки использования ЭВМ, работы со многими программными продуктами, создания программ для численного решения различных прикладных задач. Важную роль при этом играют смежные дисциплины предметной подготовки, в первую очередь «Алгебра» «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Вычислительный практикум» и др.

Знания и практические навыки, полученные в ходе изучения курса, используются далее при освоении таких дисциплин, как «Дифференциальная геометрия и топология», «Использование алгебраических методов в области защиты информации», «Функциональный анализ», «Комплексный анализ», а также при прохождении производственной практики, выполнения курсовых и выпускных квалификационных работ.

- 5 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Освоение дисциплины позволит будущему бакалавру полноценно осуществлять свою профессиональную деятельность, в частности, обладать общепрофессианальными компетенциями.

Общепрофессиональные компетенции (ОПК):

–готовность использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности (ОПК-1).

–способность находить, анализировать, реализовывать программно и использовать на практике математические алгоритмы, в том числе с применением современных вычислительных систем (ОПК-4).

- 6 -

Лекция 12

Лекция 12.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ

План лекции

12.1.Постановка задачи.

12.2.Отделение корней.

12.3.Уточнение корней.

12.3.1.Метод деления отрезка пополам.

12.3.2.Метод простых итераций (метод последовательных приближений).

12.3.3.Метод Ньютона.

12.3.4Метод парабол.

12.1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Многие прикладные задачи приводят к необходимости решения уравнений вида

где f ( x ) – алгебраическая или трансцендентная функция, определенная и непрерывная на конечном или бесконечном интерва-

ле a < x <b .

Найти корни уравнения (12.1) точно удается лишь в некоторых частных случаях. Поэтому разработаны методы численного решения уравнений вида (12.1), которые позволяют отыскать приближенные значения корней этого уравнения.

Приближенное нахождение действительных корней уравнения (12.1) складывается, как правило, из двух этапов:

1)отделение корней, т.е. установление таких промежутков, в каждом из которых содержится только один корень данного уравнения;

2)уточнение приближенных значений корней, т. е. вычисление каждого корня тем или иным численным методом с заданной точностью.

Как же следует понимать утверждение «Корень вычислен с заданной степенью точности»? Пусть ξ – корень уравнения, x – его приближенное значение с точностью до ε ; это означает, что

- 7 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

ξ − x ≤ ε .

Если установлено, что искомый корень ξ заключен между числами a и b , т.е. a < ξ < b , причем b − a ≤ ε , то числа a и b – это приближенные значения корня ξ соответственно с недостатком, избытком с точностью до ε , т. к.

ξ − a < b − a ≤ ε и ξ − b < b − a ≤ ε .

За приближенное значение корня ξ с точностью до ε можно принятьлюбоечисло,содержащеесямежду a и b .Например,если корень ξ заключен между 3.228 и 3.229, т. е. 3.228<ξ < 3.229, то за приближенное значение корня с точностью до 0.001 можно принять числа 3.228, 3.229 и любое число, заключенное между ними.

12.2. ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ

Графический метод

Для отделения корней можно использовать график функции y = f ( x ) . Абсциссы точек пересечения этого графика с осью Ox являются корнями уравнения f ( x ) = 0 .

Построение графика даже с малой точностью дает представление о расположении интересующих нас корней и тем самым позволяет отделить их.

Если построение указанного графика вызывает затруднения, тоследуетпреобразоватьисходноеуравнениеквиду f1 ( x ) = f2 ( x ) так, чтобы графики функций y = f1 ( x ) и y = f2 ( x ) было легче построить. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями уравнения (12.1).

Аналитический метод

Аналитически корни уравнения f ( x ) = 0 можно отделить, используя некоторые свойства функций, изучаемые в курсе математического анализа.

Теорема 12.1. Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах этого отрезка значения разных зна-

ков ( f (a) f (b) < 0) то внутри отрезка [a,b] существует по крайней мере один корень уравнения f ( x ) = 0 .

- 8 -

Лекция 12

Теорема 12.2. Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, а производная f '( x ) сохраняет постоянный знак внутри интервала (a,b) , то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f ( x ) = 0 .

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f ( x ) в граничных точках x =a и x =b области ее существования.

Затем определяются знаки функции f ( x ) в ряде промежуточных точек x = α1,α2 ,..., выбор которых учитывает особенно-

сти функции f ( x ) . Если окажется, что f (αk ) f (αk +1 ) < 0 , то в силу теоремы 12.1 в интервале (αk ,αk +1 ) имеется корень уравне-

ния f ( x ) = 0 . Нужно еще убедиться, является ли этот корень единственным.

Пример 12.1. Отделить корни уравнения x3 − 6x + 2 = 0.

Следовательно, данное уравнение имеет три действительных корня, лежащих в интервалах (−3;−1), (0;1),(1;3) .

12.3. УТОЧНЕНИЕ КОРНЕЙ

Для вычисления корня с требуемой точностью обычно применяется какая-либо итерационная процедура, состоящая в построении числовой последовательности xn , (n = 0,1,2,...) , сходящейся к искомому корню уравнения (12.1). Выбор алгоритма построения последовательности xn – важный момент при практическом решении задачи. Здесь важную роль играют такие свойства алгоритмов, как простота, надежность, экономичность и т. д. Одной из характеристик вычислительного алгоритма является его скорость сходимости.

- 9 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

xn+1 −ξ ≤ c xn −ξ α .

Сходимость при α =1 называется линейной или первого порядка, при 1 < α < 2 – сверхлинейной, при α = 2 – квадратичной и т. д.

Если для нахождения значения xn+1 используется одно предыдущее значение xn , то такой метод называется одношаговым, если используются значения xn, xn−1,..., xn−k +1 , то такой метод на-

зывается k -шаговым.

12.3.1. Метод деления отрезка пополам

Пусть уравнение f ( x ) = 0 имеет на отрезке [a,b] единственный корень, причем функция f ( x ) непрерывна на этом отрезке.

Итерационный метод половинного деления состоит в по-

строении последовательности стягивающихся отрезков [a1,b1 ] [a2 ,b2 ] ... [an,bn ] , причем для любого номера n

f (an ) f (bn ) < 0 .

Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Процесс построения последовательности отрезков позволяет найти корень уравнения f ( x ) = 0 с любой заданной точностью ε .

Опишем один шаг итераций. Разделим отрезок [a,b] пополам точкой

c = a +2 b .

Если f (c) = 0 , то c – корень уравнения и процесс заканчивается. Если f (c) ≠ 0 , то либо f (a) f (c) < 0 , либо f (c) f (b) < 0 .

Выбирая тот из отрезков, на концах которого f ( x ) меняет знак, и продолжая процесс половинного деления, можно полу-

чить сколь угодно малый отрезок [an,bn ] , содержащий корень уравнения.

- 10 -