Численные методы. Ч.2. Учебное пособие

Лекция 12

Если совершено n итераций, т. е. получен отрезок [an,bn ] , содержащий корень, тогда за приближенное значение этого корня можно взять точку

an +2 bn –

середину отрезка [an,bn ] .

Поскольку длина отрезка [an,bn ] равна bn −an , то число an +bn

2

отличается от точного значения корня не более чем на

bn −2 an .

Если требуется найти корень с точностью ε , то деление отрезка пополам продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2ε . Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью.

В этом методе можно не вычислять значения функции f ( x ) , достаточно лишь определить знак значения функции. Обозна-

ны неравенством

εn+1 ≤ 12 εn (n = 1,2,...) ,

что позволяет метод половинного деления отнести к методам, имеющим линейную скорость сходимости.

Так как метод половинного деления приводит к многократному повторению однотипных вычислительных операций, то он особенно удобен для проведения вычислений на компьютерах.

Пример 12.2. Определить корни уравнения x2 log0,5 (x +1) =1 графически и уточнить один из них методом половинного деле-

- 11 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Изграфикавидно,чтоуравнениеимеетодинкорень ξ [−1; 0]

. Для уточнения этого корня методом половинного деления выберем промежуток, на концах которого функция

f (x) = x2 log0,5 (x +1) −1

имеет разные знаки. Составим таблицу:

Длядальнейшихрасчетовперейдемкдесятичнымлогарифмам:

f (x) = x2 lg(x +1) / lg0.5 −1 = x2 lg(x +1) −1 . −0.301

Вычисления расположим в следующей таблице:

Ответ: ξ ≈ −0.72 .

- 12 -

Лекция 12

Пример 12.3. Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0.01.

Из таблицы видно, что уравнение имеет два действительных корня:

Уточним один из корней, например x1 [−2;−1], методом половинного деления с точностью до 0.01. Все вычисления удобно произвести, используя следующую таблицу:

- 13 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Ответ: x1 ≈ −1.74 .

12.3.2. Метод простых итераций (метод последовательных приближений)

Есликакимлибоспособомполученоприближенноезначение х0 корня произвольногоуравнения f ( x ) = 0 ,тоуточнениекорня можно получить по так называемому методу простых итераций или приближений. Для этого уравнение (12.1) представим в равносильной форме

(n =1,2,3, ...) по формуле (12.3) называется методом последовательных приближений или методом простых итераций.

Числовая последовательность

x0 , x1, x2 ,...,xn,... (12.3’)

полученная методом (12.3), может быть как сходящейся, так и расходящейся.

- 14 -

Лекция 12

Покажем, что если последовательность (12.3’) сходится, то ее пределом будет именно корень ξ уравнения (12.1) или (12.2). Действительно имеем:

xn = ϕ (xn−1 ) , (n =1,2,3, ...) ;

так как функция ϕ (x ) непрерывна;

ξ = ϕ (ξ ) ,

то есть число ξ является корнем уравнения (12.2), а следовательно, и уравнения (12.1).

Оказывается, что при выполнении некоторых условий описанный процесс сходится, то есть, увеличивая n , можно получить приближение, сколь угодно мало отличающееся от истинного значения ξ .

Теорема 12.3. Если в интервале (a,b) , содержащем корень ξ уравнения (12.1), а также его последовательные приближения

то lim хn =ξ , то есть процесс итераций сходится независимо от

n→∞

выбора начального приближения x0 [a,b] .

Доказательство.

Так как ξ – корень уравнения (12.1), а следовательно и уравнения (12.2) , то

ξ = ϕ (ξ )

Согласно определению имеем также:

x1 = ϕ (x0 ) .

Вычтем второе равенство из первого и применим теорему Лагранжа. Получим:

ξ − x1 = ϕ (ξ ) −ϕ (x0 ) = (ξ − x0 )ϕ '(c0 ) ,

где c0 (ξ, x0 ) .

- 15 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Аналогичные равенства можно получить для следующих приближений:

ξ− x2 = (ξ − x1 )ϕ '(c1 ) ,

ξ− x3 = (ξ − x2 )ϕ '(c2 ),

…………………..

ξ − xn = (ξ − xn−1 )ϕ '(cn−1 ) ,

где ci (ξ, xi ) .

Перемножив последовательно полученные равенства и произведя сокращения, получим

ξ − xn = (ξ − x0 )ϕ '(c0 ) ϕ '(c1 ) ... ϕ '(cn−1 ) .

Учитывая условие (12.4), приходим к следующей оценке:

ξ − xn = ξ − x0 qn .

Этим теорема доказана, так как q <1 .

При практическом нахождении корней по способу итераций нужно стремиться представить уравнение (12.1) в форме (12.2) так, чтобы производная ϕ'(x) вблизи искомого корня по абсолютной величине была возможно меньше. Это обеспечит максимальную скорость сходимости.

Пример 12.4. Найдем вещественный корень уравнения x5 − x −1 = 0 .

Решение.

Нетрудно убедиться, что корень ξ [1;2].

Для уточнения корня методом итераций не имеет смысла данное уравнение представлять в виде

- 16 -

Лекция 12

то

Пусть x0 =1 , тогда

x1 =1.1654 x2 =1.1670 x3 =1.1673 x4 =1.1673

Все цифры полученного результата ξ ≈ x4 =1.1673 верны, в чем можно убедиться, вычислив еще одно приближение.

Оценка погрешности метода итераций

Пусть ξ – корень уравнения

f( x ) = 0 ,

аxn – n -ое приближение к корню ξ , то есть

ξ ≈ xn .

Тогда разность

ξ − xn

называется погрешностью n -го приближения.

Так как xn получено методом итераций, то и речь идет о погрешности метода итераций.

Оценка погрешности метода итераций, это то же самое, что оценка отклонения n -го приближения xn от точного значения корня ξ .

Из равенств

ξ = ϕ (ξ )

и

xk = ϕ (xk −1 )

вытекает равенство

или

ξ − xk −1 = xk − xk −1 + (ξ − xk −1 ) ϕ '(c) .

- 17 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Отсюда

ξ − xk −1 ≤ xk − xk −1 + ξ − xk −1 q ,

где

q = max ϕ '( x ) .

[a,b]

Из последнего неравенства следует

ξ − xk −1 (1 − q) ≤ xk − xk −1 ,

и так как q (0,1) , то

Перемножив (12.6) и (12.7) и произведя необходимые сокращения, получим окончательно требуемую оценку погрешности

Неравенство (12.8) позволяет оценить погрешность n-го приближения через разность двух последовательных приближений

xn и xn−1 .

Эта оценка широко используется на практике.

12.3.3. Метод Ньютона

Пусть уравнение

f ( x ) = 0

имеет единственный корень ξ [a,b] .

Сущность метода Ньютона состоит в следующем. Пусть ка-

- 18 -

Лекция 12

От уравнения (12.1) переходим к приближенному уравнению

Полученное решение примем за следующее приближение хn+1 :

f '( xn ) ≠ 0 .

Полученный процесс и есть метод Ньютона или метод касательных. Обоснуем сходимость метода Ньютона. Уравнение (12.1) преобразуем к уравнению

Видим, что метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода итераций.

Здесь

Последнее означает, что существует такая окрестность точки x = ξ , что

ϕ '(x ) < 1 ,

следовательно, если начальное приближение x0 взято на этой окрестности, то последовательность

- 19 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

f ( x0 ) f ''( x0 ) > 0 .

Оценка погрешности приближения xn

Разложим f ( xn ) по формуле Тейлора в окрестности точки xn−1

f(xn ) = f (xn−1 )(xn − xn−1 ) =

=f (xn−1 ) + f '(xn−1 )(xn − xn−1 ) + 12 f ''(c1 )(xn − xn−1 )2 ,

c1 [xn−1, xn ] .

Так как согласно (12.10)

f (xn−1 ) + f '(xn−1 )(xn − xn−1 ) = 0

следовательно,

Если

M2 = max[ ] f ''( x ) ,

a,b

m1 = min[ ] f '( x ) ,

a,b

то окончательно получим следующую оценку погрешности метода Ньютона:

- 20 -