Численные методы. Ч.2. Учебное пособие

Лекция 18

i =1, 2, , n −1 , y0 = y(a) = A , i =0 ,

yn = y(b) = B , i = n ,

которую можно представить в виде следующей СЛАУ с трехдиагональной матрицей:

При i =1 первое слагаемое в левой части (18.10) известно и равно:

первое уравнение системы (18.10) примет вид

b1 y1 + c1 y2 = d1* , где d1* = d1 − a1 y(a) ;

при i = n −1 последнее слагаемое в левой части (18.10) также известно и равно:

последнее уравнение системы (18.10) примет вид

a − y − + b − y − = d*− , где d*− = d − − c − y(b) .

n 1 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1

Таким образом система примет окончательный вид:

где

i = 2, 3, , n − 2 , d* = d − a y(a) , d*− = d − − c − y(b) .

1 1 1 n 1 n 1 n 1

- 91 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Последнюю систему запишем в матрично-векторном виде:

где D =d* , D − = d*− , D =d (i = 2, 3, , n − 2 ).

1 1 n 1 n 1 i i

СЛАУ (18.11) пригодна для использования метода прогонки (она имеет трехдиагональную матрицу).

Прогоночные коэффициенты в прямом ходе определяются с

Теперь рассмотрим вторую краевую задачу (18.1), (18.4), (18.5) и будем ее решать конечно-разностным методом, заменяя дифференциальные операторы с использованием формул численного дифференцирования. Решение будем искать на той же

сетке ωh .

В точке x0 =a производную y′(a) = y′(x0 ) аппроксимируем следующим разностным отношением:

y′(x0 ) = −3y0 + 4 y1 − y2 + O(h2 ) .

2h

В точке xn =b производную y′(b) = y′(xn ) аппроксимируем разностным отношением:

- 92 -

Лекция 18

y′(xn ) = yn−2 − 4 yn−1 + 3yn + O(h2 ) .

2h

В каждой внутренней точке xi (i =1, 2, ,n −1) сетки ωh первую и вторую производные аппроксимируем разностными отношениями соответственно:

Подставив все приведенные разностные отношения в (18.1), (18.4), (18.5), получим систему n +1 линейных уравнений относительно n +1 неизвестных y0 , y1, , yn−1, yn :

Упростив уравнения последней системы и исключив в первом уравнении y2 , а в последнем уравнении yn−2 , получим систему линейных уравнений с трехдиагональной матрицей относительно неизвестных y0 , y1, , yn . Решив ее методом прогонки, найдем сеточную функцию {yi } .

Третья краевая задача (18.1), (18.6) так же сводится к системе линейных уравнений с трехдиагональной матрицей при помощи аппроксимаций, используемых в первой и второй краевых задачах.

Для оценки погрешности метода конечных разностей используется следующее неравенство:

- 93 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

В практических задачах часто встречаются уравнения, в которых функции p(x) , q(x) , f (x) заданы таблично с некоторым шагом h . Совершенно естественно такие уравнения решать ко- нечно-разностным методом с данным шагом h .

Так как краевая задача решается численно то применение неравенства (18.14) затруднительно. Поэтому для оценки погрешности найденного решения можно использовать другое неравенство:

где 4y – конечные разности четвертого порядка.

18.3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Пример 18.3. Найти решение краевой задачи:

Решение. Используя формулы

заменим уравнение (18.15) системой конечно-разностных уравнений

В результате приведения подобных членов получаем:

Выберем шаг h =0.1 , тогда получим три внутренних узла xi =1 + 0.1i, i =1,2,3 . Написав уравнение (18.16) для каждого из этих узлов, получим систему:

- 94 -

Решить систему (18.16) можно любым известным методом (например, методом Гаусса).

Так как в граничных узлах имеем: y0 =0, y4 =0.0566 то система (18.16) преобразуется к системе с трехдиагональной матрицей:

2.76y1 − 5.76y2 + 3.00 y3 = 0.02, 3.25y2 − 6.76y3 = −0.17867.

Решив эту систему методом прогонки, получим: y1 =0.0046 , y2 =0.0167 , y3 =0.0345 . Для сравнения приведем значения точного решения уравнения (18.15)

y(x) = 12 ln2 x : y(x1 ) =0.0047 , y(x2 ) =0.0166 , y(x3 ) =0.0344 .

Пример18.4. Найти решение краевой задачи: y′′ + xy′ − 0.5 xy =1,

y(2) + 2y′(2) =1,y(2.3) = 2.15.

Решение. Разобьем отрезок [2; 2.3] на части с шагом h =0.1 , получим следующие четыре узловые точки: x0 =2 , x1 =2.1 ,

x2 =2.2 , x3 =2.3 .

Из краевых условий составим конечно-разностные уравнения в граничных точках:

- 95 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Во внутренних узлах заменяя конечно-разностными уравнениями, получим:

Выполнив преобразования в (18.17) и (18.18), получим систему:

Последнюю систему преобразуем к равносильной системе с трехдиагональной матрицей:

Решив эту систему методом прогонки получим следующий результат: y0 =2.235 , y1 =2.185 , y2 =2.158 , y3 =2.150 .

Выводы

В лекции поставлены и освещены вопросы, касающиеся численного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: граничные условия первого, второго, третьегородаисмешанныекраевыеусловиями.Приведенметод конечных разностей для решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка. На примерах рассмотрено решение задачи с граничными условиями первого рода и смешанными краевыми условиями.

Вопросы для самопроверки

1.Приведите теорему о существовании и единственности решения краевой задачи.

2.Приведите краевую задачу для ОДУ с граничными условиями первого рода.

-96 -

Лекция 18

3.Приведите краевую задачу для ОДУ с граничными условиями второго рода.

4.Приведите краевую задачу для ОДУ с граничными условиями третьего рода.

Рекомендованная литература: 1–5, 10–15.

- 97 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Лекция 19.

ПРИБЛИЖЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА

Рассмотрим метод Галеркина (Б. Г. Галеркин (1871–1945) – русский инженер, ученый, специалист в области строительной механики и теории упругости). Келдыш в 1942 г. этот метод окончательно обосновал.

Пусть дано дифференциальное уравнение 2-го порядка:

Будем считать, что краевая задача (19.1)-(19.3) имеет единственное решение на отрезке [a,b] и оно непрерывно дифференцируемо до 2-го порядка включительно. Зададим систему функций {φk (x)}, которая удовлетворяет следующим условиям:

1)φk (x) C2[a,b], k =0,1,2, ;

2)При любом конечном n функции ϕ1(x) , ϕ2 (x) , …, ϕn (x) линейно независимы на отрезке [a,b] ;

3)Функция ϕ0 (x) удовлетворяет граничным условиям (19.2),(19.3), а функции ϕk (x) удовлетворяют однородным условиям, т.е. La (ϕk ) = 0 , Lb (ϕk ) = 0 , k =1,2, ;

4)Функции ϕk (x) образуютвклассефункций C2[a,b] ,удовлетворяющих условиям (19.2), (19.3) полную замкнутую систему.

Систему функций {ϕk (x)} будем называть замкнутой на множестве интегрируемых на отрезке [a,b] функций, если не существует такой непрерывной функции кроме тождественного нуля, которая была бы ортогональной на отрезке [a,b] ко всем функциям ϕk (x) . Таким образом, если система функций {ϕk (x)} замкнута, то из условия

- 98 -

Лекция 19

где f (x) непрерывная на [a,b] функция следует, что f (x) ≡0 . Свойство полноты понимается следующим образом: обозна-

сколь угодно точно приближать функцию y(x) вместе с ее производными y′(x), y′′(x) .

Теперь перейдем к построению приближенного решения граничной задачи (19.1)-(19.3) методом Галеркина. Составим линейную комбинацию из n +1 первых функций φk (x) :

k =1

где ak –некоторыечисленныепараметры,выбором(нахождени- ем) которых мы и займемся.

Отметим, что функция yn (x) удовлетворяет граничным условиям (19.2), (19.3) при любых значениях ak , т. к. в силу условия (19.3) и линейности граничных условий

n

La (yn ) = Laφ0 + ∑ak La (φk ) = A ,

k =1

n

Lb (yn ) = Lbφ0 + ∑ak Lb (φk ) = B .

k =1

- 99 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

b

∫ϕn (x) Fn (x,a1,a2 ,...,an )dx = 0.

a

Решив систему (19.5), мы и найдем приближенные значения параметров а1 ,а2 ,...,аn . В методе Галеркина в качестве n-го приближения к решению (19.1)-(19.3) принимают функцию

n

yn (x) = φ0 (x) + ∑аkϕk (x) .

k =1

Почему функцию yn (x) можно рассматривать как приближенное решение задачи (19.1)-(19.3)? Это можно пояснить следующими соображениями.

Если бы оказалось, что равенство

a

выполняется при всех k =0,1,2,... , то в виду замкнутости системы функций множества {ϕk (x)}, отсюда следовало бы, что

Fn (x) = Fn (x, yn , y'n, y''n ) = 0 ,

и функция yn (x) была бы точным решением граничной задачи

(19.1)–(19.3).

- 100 -