Численные методы. Ч.2. Учебное пособие

Лекция 12

ξ − xn ≤ M2 (xn − xn−1 )2 .

2m1

Скорость сходимости метода Ньютона можно оценить следующим образом.

то есть имеем квадратичную скорость сходимости. Это указывает на быструю сходимость метода Ньютона.

Неравенство, описывающее связь погрешностей на двух последовательных шагах метода, называется оценкой скорости сходимости метода.

12.3.4. Метод парабол

Пусть xn−2 , xn−1, xn – три последовательных приближения к корню уравнения f ( x ) = 0 . Заменим кривую y = f ( x ) параболой (интерполяционным многочленом второй степени) проходящей

через три точки (xn−2 , f ( xn−2 )) , (xn−1, f ( xn−1 )) , ( xn, f ( xn )) .

- 21 -

Лекция 12

7. Уравнение x3 + x − 3 = 0 содержит единственный корень на отрезке [1; 2] . Сколько итераций надо совершить, чтобы методом половинного деления получить приближенное значение корня с точностью до ε = 0.001?

8.Для решения уравнения x3 + x − 3 = 0 , содержащего единственный корень на отрезке [1; 2] , построен итерационный процесс:

x + = 3 − x3 , x =1.5 .

n 1 n 0

Обоснуйте сходимость (расходимость) этого процесса.

9.Уравнение 5x − ex = 0 имеет один корень на отрезке [0;1] . Вычислите методом итераций первое и второе прибли-

жения корня, положив x0 =0.5 . Оцените величину ξ − x2 , где ξ – точное значение корня.

10.Уравнение 5x − ex = 0 имеет один корень на отрезке [0;1] . Вычислите методом Ньютона первое и второе приближе-

ния корня. Оцените величину ξ − x2 , где ξ – точное значение корня.

Рекомендованная литература: 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16.

- 23 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Лекция 13.

РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ)

План

13.1.Введение

13.2.Метод Гаусса.

13.3.Схема Халецкого.

13.4.Метод квадратных корней.

13.5.Метод прогонки.

13.6.Методы вычисления определителей.

13.7.Методы вычисления обратной матрицы.

13.1. ВВЕДЕНИЕ

К задачам линейной алгебры относятся:

•решение систем линейных алгебраических уравнений

Ax =b , где A – квадратная матрица порядка n , x – век- тор-столбец неизвестных, b – правая часть;

•обращение матриц;

•вычисление определителей;

•нахождение собственных значений и собственных векторов матриц;

•линейная задача метода наименьших квадратов;

•вычисление сингулярных чисел и сингулярных векторов. Методы решения систем линейных уравнений делятся на три

группы: прямые или точные, итерационные и вероятностные. Метод решения задачи относят к классу прямых (точных),

если в предположении отсутствия округлений он даёт точное решение задачи после конечного числа арифметических и логических операций. К прямым методам относятся метод Крамера, метод Гаусса, метод Халецкого, метод квадратных корней, метод прогонки и др.

Итерационные методы (методы последовательных приближений) состоят в том, что решение системы Ax =b находится как предел при n →∞ последовательности приближений x(n) ,

- 24 -

Лекция 13

где n – номер итерации. Обычно задаётся некоторое число ε > 0 (точность) и вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнена оценка

x(n) − x < ε

К итерационным методам относится метод простой итерации, метод Зейделя, метод релаксации и др.

Прямые методы используются в ЭВМ для решения систем порядка104 , а итерационные методы до порядка 107 .

13.2. МЕТОД ГАУССА

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений A x = b , или в матричной форме

где матрица A неособенная, т. е. det A ≠ 0.

Наиболее известным из прямых методов решения систем вида (13.1) является метод Гаусса, в основе которого лежит идея последовательного исключения неизвестных. Суть его состоит в преобразовании системы (13.1) с квадратной матрицей к равносильной системе с треугольной матрицей

Из системы (13.2) последовательно находим xn, xn−1,..., x1 . Решение системы (13.1) распадается на два этапа: прямой ход – приведение системы (13.1) к системе с треугольной матрицей (13.2); обратный ход – определение неизвестных из си-

стемы (13.2).

- 25 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Существуют различные вычислительные схемы, реализующие этот метод; например, схема единственного деления, когда все ведущие элементы aii ≠ 0, i =1,...,n .

Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Она состоит в том, что требование aii ≠ 0 (диагонального элемента) заменяется более жёстким: из всех оставшихся в i -ом столбце элементов нужно выбрать наибольший и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента aii .

В методе Гаусса с выбором главного элемента погрешность округлений обычно не велика.

Пример.Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

2x1 + 3x2 − x3 + x4 = 5,

в) x1 − 2x2 + 3x3 + 2x4 = 2,

4x1 − x2 + 5x3 + 5x4 = 9.

Решение.

а) Составим расширенную матрицу системы и преобразуем её к ступенчатому виду:

rang Α = rang Α = r = 3 система совместна.

Так как r = n =3 (n – число неизвестных в системе), то система имеет единственное решение.

Полученная в результате преобразований матрица равносильна системе

Осуществляя обратный ход, найдём решение данной системы:

- 26 -

Лекция 13

х3 =7 −х2 − 2х3 = −19; х2 =19 − 2х3 х2 = 19 − 2 7

х2 =5 х1 + х2 + х3 = 22. х1 = 22 − х2 − х3

х1 = 22 − 5 − 7

х1 =10

Таким образом, решение системы найдено:

x1 =10, x2 =5, x3 =7.

Ответ: (10, 5, 7).

б) Составим расширенную матрицу системы и преобразуем её к ступенчатому виду:

в) Составим расширенную матрицу системы и преобразуем её к ступенчатому виду:

rang Α = rang Α = r = 2 система совместна.

Так как r < n (n = 4) , то система имеет множество решений. Полученная в результате преобразований матрица равно-

сильна системе

- 27 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Пусть x1, x2 – главные неизвестные (их число равно r =2 ), а x3, x4 –свободныенеизвестные(ихчислоравно n − r = 2 ).Осуществляя обратный ход, выразим главные неизвестные через свободные:

13.3. СХЕМА ХАЛЕЦКОГО

Пусть дана система линейных уравнений, записанная в матричном виде Ax =b , или

- 28 -

Лекция 13

Сущность метода Халецкого заключается в следующем. Матрица A представляется в виде произведения нижней тре-

угольной матрицы B и верхней треугольной матрицы C c единичной диагональю, т. е.

A = B C ,

где

Это разложение основывается на следующей теореме: всякую квадратную матрицу A , имеющую отличные от нуля главные диагональные миноры

можно представить в виде произведения двух треугольных матриц различных структур (нижней и верхней), причём это разложение будет единственным, если заранее зафиксировать диагональные элементы одной из треугольных матриц (например, положить их равными 1).

Теперь система (13.1) представляется в виде

B C x = b ,

или

и искомый вектор x может быть найден из цепочки уравнений:

Т. к. матрицы B и C треугольные, то системы (13.5) легко решаются.

Пример 13.1: Решить систему

x1 − x2 + 2x3 = 2;−x1 + 5x2 + 4x3 = 8;

x1 + 2x2 + 7x3 =10.

- 29 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Решение.

Данную систему представим в матричном виде:

Представим матрицу A в виде произведения двух треугольных матриц B и C :

откуда получаем систему уравнений:

- 30 -