Численные методы. Ч.2. Учебное пособие

Лекция 19

Но в нашем распоряжении имеется только конечное число параметров, и выполнить бесконечное число условий (19.6) практически невозможно. Можно ожидать, что если n-достаточ-

которое мало отличается от заданного уравнения (19.1). Можно ожидать, что для широкого класса функций F из усло-

вия (19.7) будет следовать достаточная малость на [a,b] разности

y(x) − yn (x) , где y(x) – решение граничной задачи (19.1)–(19.3). В методе Галеркина выбор базисных функций ϕk (x) можно

осуществлять следующим образом.

Так как функция ϕ0 (x) должна удовлетворять условиям

La (ϕ0 )= A ,

Lb (ϕ0 )= B ,

то ϕ0 (x) можно определить как многочлен первой степени:

ϕ0 (x) = α + β x

икоэффициенты α и β выбратькакрешениесистемыуравнений

Пример. Методом Галеркина найти приближенное аналити-

- 101 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Решение.

В качестве базисных функций ϕk (x) выберем следующие функции:

ϕ0 (x) = 0 , ϕ1 (x) = x(1 − x) ,

ϕ2 (x) = x2 (1 − x) .

Они линейно независимы и удовлетворяют краевым условиям. Приближенное решение задачи ищем в виде

y2 (x) = a1 x (1 − x ) + a2 x2 (1 − x) ;

y2 (x) = a1 x + (a2 − a1 )x2 − a2 x3

или

y2 (x) = a1 x − (a1 − a2 )x2 − a2 x3 ;

невязку:

2(a2 − a1 ) − 6a2 x + a1 x + (a2 − a1 )x2 − a2 x3 + x =

= 2(a2 − a1 ) + (a1 − 6a2 +1)x + (a2 − a1 )x2 − a2 x3 = F2 (x,a1,a2 )

Учитывая ортогональность функции F2 (x,a1,a2 ) к функциям ϕ1 (x) , ϕ2 (x) получим систему:

1

∫F2 (x,a1,a2 )(x − x2 )dx = 0,

01

∫F2 (x,a1,a2 )(x2 − x3 )dx = 0.

0

Подставляя в этусистемузначение F2 и вычисляяинтегралы, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения a1 и a2 :

- 102 -

Лекция 19

Решив эту систему, получим

Известно точное решение данного дифференциального уравнения:

y(x) = sin(sin(1)x) − x .

Для сравнения значений, полученного приближенного и точного решения, приведем таблицу:

Выводы

В лекции освещен вопрос, касающиеся приближенного аналитического решения краевой задачи для дифференциального уравнения 2-го порядка. Детально разобран метод Галеркина, для решения краевой задачи. На примере продемонстрировано применение метода Галеркина для решения краевой задачи для дифференциального уравнения 2-го порядка.

Вопросы для самопроверки

1.Приведите формулу невязки для дифференциального уравнения 2-го порядка.

2.Приведите условия, при которых функции образуют полную замкнутую систему.

3.Приведите пример дифференциального уравнения второго порядка с граничными условиями второго рода.

Рекомендованная литература: 1–10.

- 103 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Заключение

В курсе лекций рассмотрены наиболее часто используемые на практике методы, прикладные и научно-технические расчёты: теории приближения функций (интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона, интерполирование сплайнами, наилучшие равномерные приближения, метод наименьших квадратов); численное дифференцирование и интегрирование; решение уравнений и систем; решение задачи Коши; решение краевых задач для ОДУ.

Информация из данного курса лекций способствует пониманию студентами сущности численного решения задач алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений и оценки точности полученных результатов.

Для лучшего освоения материалов приведенных в данном курсе лекций, важную роль играют знания из смежных дисциплин предметной подготовки, в первую очередь «Алгебра» «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Вычислительный практикум» и др.

Знания и практические навыки, полученные в ходе применения курса, используются далее при освоении таких дисциплин, как «Дифференциальная геометрия и топология», «Использование алгебраических методов в области защиты информации», «Функциональный анализ», «Комплексный анализ», а также при прохождении производственной практики, выполнения курсовых и выпускных квалификационных работ.

- 104 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Дополнительная

18.Азаров А. И. и др. Сборник задач по методам вычислений. – М.: Hаyка, 1994.

19.Дробышевич В. И., Дымников В. П., Ривин Г. С. Задачи по вычислительной математике. – М.: Hаyка, 1980.

20.Дьяченко В. Ф. Основные понятия вычислительной математи-

ки. – М.: Наука, 1977.

21.Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. – М.: Наука, 1980.

- 106 -