Численные методы. Ч.2. Учебное пособие

Лекция 16

нить этот метод посвящена большая литература. Кратко остановимся на тех модификациях Эйлера, которые часто применяются на практике.

а) Метод Эйлера с пересчетом. (Метод Хойна)

Рассмотрим уравнение (16.1) в окрестностях узлов

являющихся серединами отрезков [xi , xi +1 ] . В левой части (16.1)

производную заменим центральной разностью, а в правой части заменим значение

Полученная схема (16.10) является неявной, так как искомое значение yi +1 входит в обе части (16.10) и его вообще говоря нельзя выразить явно.

Поступим следующим образом: считая yi начальным приближением,вычисляемпервоеприближениепоформулеЭйлера

Алгоритм (16.11), (16.12) можно записать в виде одного соотношения:

- 71 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Формула(16.13)–методЭйлераспересчетом(МетодХойна). Можно показать, что глобальная погрешность метода Хойна имеет второй порядок точности относительно шага h .

б) Усовершенствованный метод Эйлера

Рассмотрим уравнение (16.1) в окрестностях узлов

ностью, а правую часть оставим без изменений

Схема(16.16)иестьусовершенствованныйметодЭйлера.Он также имеет второй порядок точности относительно шага h .

в) Усовершенствованный метод Эйлера-Коши с итерационной обработкой.

Вернемся к схеме (16.10):

- 72 -

Лекция 16

Исходя из начального приближения yi(+01) = yi + h f ( xi , yi ) , сделаем не одну, а несколько итераций:

Делать много итераций по формуле (16.17) не рекомендуется. (Обычно их выполняют не более 3-х, 4-х).

г) Уточненный метод Эйлера

В каждом узле xi (i = 1,2,...,n −1) производную y'( xi ) уравнения (16.1) заменим центральной разностью, а правую часть

f ( x, y) на f ( xi , yi ) .

Тогда получим следующую вычислительную схему для подсчета приближенного значения y( xi +1 ) :

которую будем называть уточненным методом Эйлера.

Этот метод является двухшаговым. Для вычисления yi +1 привлекаются два предыдущих значения: yi −1, yi .

Далее считают по формулам (16.18).

Выводы

В лекции поставлены и освещены следующие вопросы, касающиеся решения задачи Коши: сеточная функция, локальная и глобальная погрешность. Для нахождения решения задачи Коши разобраны метод Эйлера и его модификация, метод Хой-

- 73 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

на,методЭйлера-Коши,уточненныйметодЭйлера.Длякаждого метода приведены оценки погрешностей найденного решения. Все рассмотренные в лекции методы для решения однородных дифференциальных уравнений.

Вопросы для самопроверки

1.Является ли функция ex решением дифференциального уравнения y′(x) = y(x) ?

2.Является ли функция ex решением дифференциального уравнения y′(x) = 2y(x) ?

3.Сформулируйте задачу Коши для ОДУ. Приведите пример.

4.Укажите методы решения задачи Коши для ОДУ.

5.Изложите сущность численного решения задачи Коши для ОДУ.

6.Решите задачу Коши для ДУ

y′(x) = y(x) , y(0) =1

методом рядов.

7.Запишите решение задачи Коши для ДУ

y′(x) = f (x, y) , y(x0 ) = y0

в интегральной форме.

8.Приведите формулу метода Эйлера рения задачи Коши

y′(x) = f (x, y) , y(x0 ) = y0 .

9.Найдите решение задачи Коши для ДУ

y′(x) = y(x) , y(0) =1

методом Эйлера с шагом 0.1 на отрезке [0, 0.5] . Сравните полученное решение с аналитическим. Укажите погрешности в каждой точке сетки.

10. Приведите формулы метода Рунге-Кутты четвертого порядка для решения задачи Коши

y′(x) = f (x, y) , y(x0 ) = y0 .

Рекомендованная литература: 1–5, 8–11, 14–17.

- 74 -

Лекция 17

Лекция 17.

МЕТОДЫ РУНГЕ-КУТТЫ

План

17.1.Постановка задачи.

17.2.Построение методов Рунге-Кутты.

17.3.Оценка погрешности.

17.4.Методы Рунге-Кутты для решения систем дифференциальных уравнений 1-го порядка.

17.5.Решения дифференциальных уравнений высших порядков методом Рунге-Кутты.

17.6.Многошаговые методы.

17.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Запишем разложение решения по формуле Тейлора p -го порядка, принимая за базовую точку xi , т.е. по степеням x − xi , и положим в этом разложении x = xi +1 . Имеем:

y(xi +1 ) = y(xi ) + hy'(xi ) + h2 y''(xi ) + ... + 1 hp y( p) (xi ) + O(hp+1 ).(17.2)

2! p!

Идея построения явных методов Рунге-Кутты p-го порядка

где φ ( x, y,h) – некоторая функция, приближающая отрезок ряда Тейлора (17.2) до p-го порядка, и не содержащая частных производных функции f ( x, y) .

При φ (x, y,h) ≡ f (x, y) получим yi +1 = yi + hf (xi , yi ) , т. е. метод Эйлера можно считать примером метода Рунге-Кутты при p = 1.

- 75 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

17.2. ПОСТРОЕНИЕ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ

Для построения методов Рунге-Кутты порядка выше 1-го функцию φ ( x, y,h) берут многопараметрической и подбирают ее параметры сравнением выражения (17.3) с многочленом Тейлора для y( x ) , соответствующей нужному порядку p.

Поясним это подробнее. Вводятся три набора параметров

α2 ,α3,...,αr ; (α )

β21,

ρ2 ,ρ3,...,ρr ; (ρ )

выбором которых распорядимся следующим образом: с помощью параметров α и β составим величины

Параметры (α ),(β ),(ρ ) подбирают так, чтобы разложение (17.2),(17.4)постепеням h совпадалидляпроизвольнойфункции f ( x, y) до членов с возможно более высокими степенями h .

На этом пути можно получить одношаговые явные методы Рунге-Кутты различных порядков точности.

1) Метод 1-го порядка точности при p =1 :

y( x0 ) = y0 , i =0,1,2,...

Точно также можно получить:

- 76 -

Лекция 17

2) Метод 2-го порядка точности при p =2 :

k1 = hf (xi , yi ),

yi = h2 ( f (xi , yi ) + f (xi + h, yi + hf (xi , yi )));

б) yi = k2 ,

k1 = hf ( xi , yi ),

или

(очень употребительный метод). 3) Метод 3-го порядка точности при p =3 :

4) Метод 4-го порядка точности при p =4 :

- 77 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

k4 = hf ( xi + h, yi + k3 ).

Этот метод является наиболее употребительным в практике вычислений.

Метод 4-го порядка имеет на одном шаге локальную погрешность 5-го порядка

yi +1 − y(xi +1 ) ≤ Ch5 = O(h5 ) .

Глобальная погрешность:

yn − y(xn ) ≤ Ch4 = O(h4 ) .

17.3. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ

Известна теоретическая оценка погрешности метода Рун- ге-Кутты. Пользоваться ею практически невозможно, поэтому для оценки погрешности пользуются правилом Рунге. Сущность его в следующем:

1)Вычисляется приближенное значение искомой функции

вточке xi с шагом h , т. е. находится yi(h) ;

2)Вычисляется приближенное значение искомой функции

вточке xi с шагом h / 2 , т. е. находится yi(h/2) , тогда погрешность метода вычисляется по формуле:

где p – порядок метода.

- 78 -

Лекция 17

17.4.МЕТОДЫ РУНГЕ-КУТТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА

Рассмотренные методы Рунге-Кутты могут быть использованы так же для решения систем дифференциальных уравнений. Покажем это для случая системы двух уравнений относительно искомых функций y = y(x) и z = z(x) вида

y′ = φ(x, y, z),z′ =ψ (x, y, z).

Начальные условия зададим в виде

y(x0 ) = y0 , z(x0 ) = z0 .

Теперь запишем формулы Рунге-Кутты четвертого порядка для системы двух уравнений:

k4 = h φ ( xi + h, yi + k3, zi + l3 ) , l1 = h ψ (xi , yi , zi ) ;

l4 = h ψ (xi + h, yi + k3, zi + l3 ) .

- 79 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

17.5.РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ МЕТОДОМ РУНГЕ-КУТТЫ

К решению систем уравнений сводятся также задачи Коши для уравнений высших порядков. Например, рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядка:

y′′ = f (x, y, y′) ,

y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y0′ .

Введем вторую неизвестную функцию

z(x) = y′(x) . (z(x0 ) = y0′ )

Тогда сформулированная задача заменяется следующей:

17.6. МНОГОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ

Другой путь построения разностных схем основан на том, что длявычислениязначения yi +1 используютсярезультатынеодного предыдущего шага, а k предыдущих шагов, т. е. значения yi −k +1 , yi −k +2 ,…, yi . В этом случае получается k -шаговый метод.

Многошаговые методы могут быть построены следующим образом. Запишем исходное уравнение

Интеграл от левой части легко вычисляется.

Для вычисления интеграла от правой части уравнения (17.6)

- 80 -