Численные методы. Ч.2. Учебное пособие

Лекция 17

После этого можно написать

Приравнивая выражения (17.7) и (17.8), можно получить формулу для определения неизвестного значения сеточной функции yi +1 в узле xi +1 :

xi+1

yi +1 = yi + ∫ Pk −1 (x )dx .

xi

На основе этой формулы можно строить различные многошаговые методы любого порядка точности. Порядок точности зависит от степени интерполяционного многочлена Pk −1 ( x ) , для построения которого используются значения сеточной функции yi , yi −1 , yi −2 ,…, yi −k +1 , вычисленных на k предыдущих шагах.

Широкораспространеннымсемействоммногошаговыхметодов являются методы Адамса. Простейший из них, получающийся при k =1 совпадает с методом Эйлера. В практических расчетах чаще всего используется вариант метода Адамса, имеющий 4-й порядок точности и использующий на каждом шаге результаты предыдущих четырех:

Выводы

В лекции поставлены и освещены вопросы, касающиеся методов Рунге-Кутты. Приведены способы построения методов Рунге-Кутты. Для нахождения решения задачи Коши приведены методы Рунге-Кутты различных порядков и многошаговые методы. Для этих методов приведены оценки погрешностей най-

- 81 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

денного решения. Разобраны методы Рунге-Кутты для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений высших порядков.

Вопросы для самопроверки

1.Приведите приближенную формулу погрешности в каждой точке сетки для методов Рунге-Кутты.

2.Найдите решение задачи Коши для ДУ

y′(x) = y(x) , y(0) =1 .

3. Решите методом Рунге-Кутты второго порядка задачу Коши для ДУ

y′(x) = y(x) , y(0) =1

с шагом 0.1 на отрезке [0, 0.5] . Сравните полученное решение с аналитическим. Укажите погрешности в каждой точке сетки.

4.Сформулируйте идею построения методов Адамса.

5.Опишите преимущества и недостатки методов Адамса в сравнении с методами Рунге – Кутты.

Рекомендованная литература: 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13.

- 82 -

Лекция 18

Лекция 18.

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДУ

План

18.1.Постановка задачи.

18.2.Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка.

18.3.Метод прогонки.

18.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим постановку краевых задач для ОДУ второго порядка с граничными условиями различных родов.

Пусть на отрезке x [a; b] определена дважды непрерывно дифференцируемая функция y(x) , поведение которой описывается линейным неоднородным ОДУ второго порядка.

Принципиальным отличием краевой задачи от задачи Коши для ОДУ является задание дополнительных (краевых или граничных) условий более чем в одной точке независимой переменной (в задаче Коши дополнительные условия задаются, в одной точке называемой начальной).

Если на границах x =a и x =b заданы значения искомой функции y(a) и y(b) , то такие условия называются граничными условиями первого рода, а задача

называется первой краевой задачей для ОДУ (18.1). Условия

(18.2) и (18.3) геометрически означают, что при решении первой краевой задачи требуется найти интегральную кривую уравнения (18.1), проходящую через данные точки (a, A) , (b, B ) (рису-

нок 18.1)

- 83 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Рис. 18.1. Геометрический смысл первой краевой задачи

Если на границах заданы значения производных искомой функции, то такие условия называются граничными условиями

второго рода:

а задача (18.1), (18.4), (18.5) называется второй краевой зада-

чей для ОДУ (18.1). Условия (18.4) и (18.5) геометрически означают, что при решении второй краевой задачи требуется найти интегральную кривую уравнения (18.1), пересекающую прямые x =a , x =b под заданными углами α и β , где tgα = A , tgβ = B

(рисунок 18.2).

Рис. 18.2. Геометрический смысл второй краевой задачи

- 84 -

Лекция 18

Если на границах заданы линейные комбинации искомой функции и ее первой производной:

α02 +α12 ≠ 0 ,β02 + β12 ≠ 0 ;

то такие условия называются граничными условиями третьего рода, а задача (18.1) (18.6) называется третьей краевой задачей для ОДУ (18.1).

Условия

y′(a) = A , y(b) = B

являютсячастнымслучаемусловийтретьегорода,таккак α0 = 0 , α1 =1 , β0 =1 , β1 = 0 . Геометрически данная краевая задача сводится к поиску интегральной кривой уравнения, проходящей через точку (b, B ) и пересекающей прямую x = A под данным углом α где tgα = A (рисунок 18.3).

Рис. 18.3. Геометрический смысл частной третьей краевой задачи

Чаще всего на разных границах задаются граничные условия различных родов. Такие задачи называются краевыми задачами со смешанными краевыми условиями.

В общем случае краевая задача может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений;

в) иметь несколько или бесконечно много решений.

- 85 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Теорема 18.1 (о существовании и единственности решения краевой задачи)

Для того чтобы существовало единственное решение краевой задачи (18.1) (18.6), необходимо и достаточно, чтобы однородная краевая задача

y′′ + p(x) y′ + q(x) y = 0 , a ″ x″ b

имела только тривиальное решение y(x) ≡0 . Пример 18.1. Решить задачу Штурма-Лиувилля

Решение

С целью сведения промежутка интегрирования к стандартному виду [0, l] в уравнении сделаем замену переменной. Обозначим

Рассмотрим последовательно три случая: λ < 0 , λ = 0 , λ > 0 .

Случай 1. λ < 0 .

В этом случае общее решение уравнения имеет вид

y = C1e− −λξ + C2e −λξ .

Используем граничные условия. Имеем

- 86 -

Лекция 18

Таким образом, в случае λ < 0 данная задача имеет лишь тривиальные решения.

Случай 2. λ = 0 .

В этом случае уравнение имеет вид

y′′(ξ ) = 0

И его общее решение,

y = С1ξ + С2 .

Используем граничные условия. Имеем

Таким образом, в случае λ = 0 данной задаче удовлетворяет множество функций вида

y = C·1.

Случай 3. λ > 0 .

Общее решение уравнения имеет вид

у = С1 cos λξ + С2 sin λξ .

Используя граничные условия, имеем

λ = π n , n N ,

или

- 87 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

λn = (π n)2 .

Такимобразом,при λ > 0 решениямизадачиявляютсяфункции

yn (ξ) = C cosπ nξ ,

где C ≠ 0.

Пример 18.2. Решить смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке

- 88 -

Лекция 18

или

- 89 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

−32 , n = 2m +1

An = (π n)3

0, n = 2m

Таким образом, окончательно решение задачи имеет вид

Далее разберем решение краевых задач численными методами.

18.2.МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА

Рассмотрим первую краевую задачу (18.1), (18.2), (18.3) и будем ее решать конечно-разностным методом, заменяя дифференциальные операторы с использованием формул численного дифференцирования.

Для этого введем конечно-разностную сетку с шагом h :

ωh = {xi = x0 + i h, i = 0,1, 2, , n} , n = b −h a

Поскольку ОДУ (18.1) описывает поведение функции y(x) внутри расчетной области x (a, b) , то производные первого и второго порядков можно аппроксимировать с помощью отношений центральных разностей со вторым порядком аппроксимации:

ξ1i , ξ 2i (xi −1; xi +1 ) ,

i =1, 2, 3, , n −1

Подставляя (18.7) – (18.9) в ОДУ (18.1), получим следующую конечно-разностную схему:

- 90 -