Численные методы. Ч.2. Учебное пособие

Лекция 13

Уравнения (13.5) примут вид:

Из первой системы находим вектор

из второй системы находим искомый вектор

13.4. МЕТОД КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ

Система линейных уравнений дана в матричном виде (13.1) Здесь матрица A – симметрическая, т. е.

aij =aji , (i, j = 1,2,...,n) .

Сущность метода квадратных корней в следующем. Матрица A представляется в виде произведения двух взаим-

но транспонированных треугольных матриц:

Перемножая матрицы ST и S , и приравнивая к матрице A , получим формулы для определения элементов матрицы Sij .

- 31 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

После того, как матрица S найдена систему (13.1) представляем в виде

Т. к. матрицы ST и S треугольные, то системы (13.8) легко решаются.

Заметим, что при действительных aij могут получится комплексные Sij . Метод применим и в этом случае.

13.5. МЕТОД ПРОГОНКИ

Пусть дана система уравнений с трёхдиагональной матрицей

Ax =b ,

т. е.

Решение ищется в виде:

Теперь исключим неизвестное xi −1 из уравнения (13.11) си-

стемы, подставив (13.12) в (13.11):

ci (vi −1 xi + ui −1 ) + ai xi + bi xi +1 = di ;

- 32 -

Лекция 13

Сравнивая соотношение (13.13) с соотношением (13.12), выводим рекуррентные формулы для прогоночных коэффициентов vi , ui (прямая прогонка):

формулам (13.10) (обратная прогонка).

Для успешного применения метода прогонки нужно, чтобы в процессе вычислений не возникало ситуаций с делением на нуль, а при больших размерностях систем не было быстрого роста погрешностей округлений.

Будем называть прогонку корректной, если знаменатели прогоночныхкоэффициентов(13.14)необращаютсявнуль,иустой-

устойчивости прогонки, которые во многих приложениях метода автоматически выполняются.

Тогда прогонка (13.14), (13.10) корректна и устойчива, т. е.

ai + ci vi −1 ≠ 0 , vi <1 .

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции для установления обоих нужных неравенств одновременно.

При i =1 , на основе (13.15) имеем: ai > bi ≥ 0 ,

- 33 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

т. е. неравенство нулю знаменателя первой пары прогоночных коэффициентов, а также

13.6. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

►► Метод Гаусса

По схеме Гаусса матрица

при помощи следующих элементарных преобразований:

- 34 -

Лекция 13

а) деления на «ведущие» элементы a11,a22(1),...,ann(n−1) , которые предполагаются ≠ 0;

б)вычитанияизстрокматрицы A иматриц Ai (i = 1,2,...,n −1) чисел, пропорциональных элементам соответствующих ведущих строк. При первой операции определитель матрицы также делится на соответствующий «ведущий» элемент, при второй – определитель матрицы остаётся неизменным.

Поэтому

det A = a11a22(1) ... ann(n−1) .

►► Метод Халецкого

Т. к. матрица A представляется в виде произведения матриц

то det A = det(B C ) = det B det C = b11 b22 ... bnn .

►► Метод квадратных корней

Т. к. симметрическая матрица A представляется в виде произведения двух взаимно транспонированных треугольных матриц

то

det A = det(ST S) = det ST det S = (s11 s22 ... snn )2 .

- 35 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

13.7. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

►► Метод Гаусса

Пусть дана неособенная матрица

Для нахождения её обратной матрицы

A−1 = xij

используется основное соотношение

A × A−1 = E ,

где E – единичная матрица.

Перемножая матрицы A и A−1 , будем иметь n систем уравнений относительно n2 неизвестных xij

n

∑aik xkj = δij , (i, j = 1,2,...,n) .

i =1

1, если i = j, δij = 0,если i ≠ j.

Полученные n систем линейных уравнений для j =1,2,...,n можно решить методом Гаусса.

►► Метод Гаусса – Жордана

Рассмотрим блочную матрицу ( A E ) , где A – невырожденная матрица. Умножая исходную матрицу слева на A−1 , получим

A−1 ( A E ) = ( A−1 A A−1 E ) = (E A−1 ) .

Таким образом, путём последовательных преобразований строк матрица A приводится к виду E , тогда как E становится матрицей A−1 .

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы

двумя способами – с помощью присоединённой матрицы и с помощью элементарных преобразований.

- 36 -

Лекция 13

Решение Способ 1. Найдём обратную матрицу с помощью присоеди-

нённой матрицы.

1.Вычислим определитель матрицы Α:

Так как Α ≠ 0 , то матрица Α – невырожденная и обратная матрица Α−1 существует и единственна.

2.Запишем формулу для нахождения обратной матрицы

Α−1 = Α1 Α ,

где

присоединённая матрица.

3.Найдём присоединённую матрицу Α . Для этого вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Таким образом, присоединённая матрица имеет вид

- 37 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

4.Найдём обратную матрицу Α−1 :

5.Используя определение обратной матрицы, проверим правильность её вычисления:

Α× Α−1 = Α−1 × Α = Ε ,

где

единичная матрица. Действительно,

Способ 2. Найдём обратную матрицу с помощью элементарных преобразований.

Так как матрица Α - невырожденная ( Α = 5 ≠ 0) , то припишем кматрице Α справаединичнуюматрицу Ε ибудемвыполнятьэлементарные преобразования над строками объединённой матрицы (Α Ε) до тех пор, пока матрица Α не превратится в единичную:

- 38 -

Лекция 13

Выводы

В лекции поставлены и решены следующие задачи линейной алгебры: решение систем линейных уравнений; вычисление определителей; нахождение обратной матрицы. Дано определение понятию «прямой метод решения систем линейных алгебраических уравнений». Для решения систем линейных алгебраических рассмотрены следующие прямые методы: метод Гаусса, метод Халецкого, метод квадратных корней, метод прогонки для матриц специального вида. Кроме того разобраны методы вычисления определителей квадратных матриц и нахождения обратных невырожденных матриц.

Вопросы для самопроверки

1.Является ли вектор [1; 1; 1]Т решением системыA*X=F, где

2.Является ли вектор [1; 1; 1]Трешением системы A*X=F, где

- 39 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

3.К какому типу методов - прямым или итерационным - относится метод Гаусса?

4.Кратко изложите сущность метода Гаусса.

5.ВчемзаключаетсяпрямойиобратныйходвметодеГаусса?

6.Изложите сущность схемы Халецкого.

7.Представьте матрицу

ввидепроизведенияверхнейинижнейтреугольныхматриц. 8. Изложите сущность метода квадратных корней.

9. Изложите сущность метода прогонки.

10. Вычислите определитель матрицы

с помощью элементарных преобразований. 11. Для

найдите обратную матрицу по схеме Гаусса-Жордана.

Рекомендованная литература: 2, 4, 5, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17.

- 40 -