Численные методы. Ч.2. Учебное пособие

Лекция 14

В этом случае

При τ =τопт справедлива оценка

ε (k ) ≤ ρоптk ε (0) .

14.7. МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ

Метод релаксации является одним из наиболее эффективных и широко используемых методов для решения СЛАУ с симметричными положительно определенными матрицами A .

Метод релаксации является модификацией метода Зейделя. Сутьметода релаксации состоит в следующем:после вычисления i -ой компоненты (k +1) -го приближения по формуле Зейделя:

xi(k +1) = αi1 x1(k +1) + αi 2 x2(k +1) + ... + αii −1 xi(−k1+1) + αii +1 xi(+k1+1) + ... + αin xn(k +1) + βi

производят дополнительное смещение этой компоненты на величину

(ω −1)(xi(k +1) − xi(k ) ),

где ω – параметр, введенный для увеличения скорости сходимости, т.о. i -ая компонента (k +1) -го приближения вычисляется по формуле

xi(k +1) = x(i k +1) (xi(k +1) − xi(k ) )(ω −1)

где ω (0,2) . При ω (0,2) метод релаксации сходится x(0) . Выбор параметра релаксации довольно трудная задача и она

во многих случаях решается экспериментальным путем.

14.8. МЕТОД СКОРЕЙШЕГО СПУСКА

Пусть дана система Ax = B , где A – симметричная положительно определенная матрица. Рассмотрим явный итерационный процесс

- 51 -

Лекция 14

II. Задача поставлена некорректно (задача некорректна),если ее решение неустойчиво относительно входных данных (малому изменению входных данных может соответствовать большое изменение решения).

Корректность исходной задачи еще не гарантирует хороших свойств численного метода ее решения. К вычислительным алгоритмам, предназначенным для широкого использования, предъявляют ряд жестких требований.

1. Корректность вычислительного алгоритма.

Вычислительный алгоритм называют корректным, если

Если хотя бы одно из условий не выполнено, то алгоритм на-

зывают некорректным.

Понятие обусловленности математической задачи рассмо-

где detA ≠ 0, b ≠ 0. В этом случае система (14.32) имеет единственное решение x ≠ 0. На практике, при решении системы (14.32) любым методом, вычисления производятся с округлением, т. е. неточно. Погрешность вычисления можно интерпретировать как погрешность правой части.

Наряду с системой (14.32) рассмотрим систему

где η ≠ 0 –погрешностьправойчасти,а r –погрешностьрешения. Имеем

A r =η , r = A−1 η .

Найдем отношение относительной погрешности решения к относительной погрешности правой части

- 53 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

т. е. для отношения относительной погрешности решения к относительной погрешности правой части выполняется неравенство:

максимально возможному коэффициенту усиления относительной погрешности от правой части к решению системы (14.35). Неравенство (14.34) запишем в наиболее употребляемой форме

называется плохо обусловленной, а если число ν ( A) невелико, то хорошо обусловленной. Неравенство (14.36) – это на самом деле условие устойчивости задачи решения системы линейных уравнений.

Выводы

В лекции поставлены и освещены следующие вопросы, касающиеся задачи итерационных методов решения систем линейных скалярных уравнений: норма вектора и матрицы, итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, оценка погрешности методов. Для уточнения решений разобраны метод простой итерации, метод Зейделя, метод релаксации, метод скорейшего спуска. Для каждого метода выведены оценки погрешностей найденного решения. Рассмотренные в лекции методы могут быть применены для любых невырожденных систем линейных алгебраических уравнений т. е. являются универсальными.

- 54 -

Лекция 14

Вопросы для самопроверки

1.Пусть дана система уравнений A*X=F:

Для решения этой системы постройте итерационный процесс. Выполняются ли условия сходимости процесса итераций?

3.Систему из задания 2 решите методом итераций с точностью ε = 0.0001. Найдите критерий окончания итерационного процесса.

4.Систему из задания 2 решите методом итераций с точностью ε = 0.001. Оцените число необходимых итераций (шагов).

5.Укажите, чем отличается метод Зейделя от метода простой итерации?

Рекомендованная литература: 2–8, 13–16.

- 55 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Лекция 15. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

План

15.1.Метод простой итерации.

15.2.Метод Ньютона.

ВВЕДЕНИЕ

Система нелинейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

где хотя бы одна функция fi , (i =1,2,...,n ) нелинейная. Запишем короче систему (15.1). Совокупность аргументов

{x1, x2 ,..., xn } можно рассматривать как n-мерный вектор:

Аналогично совокупность функций представляет собой век- тор-функцию:

Для решения системы (15.1) в редких случаях можно применитьметодпоследовательногоисключениянеизвестных,который приводит решение системы к решению одного нелинейного уравнения с одним неизвестным с последовательной подстановкой.

- 56 -

Лекция 15

Однако в большинстве случаев, нелинейные системы решаются итерационными методами. Мы будем предполагать существование изолированных решений нелинейных систем.

15.1. МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ

Этот метод состоит в следующем: система уравнений (15.1) или (15.2) преобразуется к виду:

где функции ϕi (i =1,2,...,n ) действительны и непрерывны в некоторой окрестности решения

x1

x= ...x2 .

xn

Итерации проводятся по формуле

где k =0,1,2,... .

Подойдем к изучению этого метода с более общих позиций.

- 57 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

при всех x1 , x2 , то такое отображение называют сжимающим. Следующая теорема обосновывает метод простой итерации

решения системы нелинейных уравнений (15.7).

Теорема.Если отображение y = ϕ (x ) сжимающее, то уравнение x = ϕ (x ) имеет решение x и

ρ (x, x(k ) ) ≤ qk ρ (x(1), x(0) ) ,

1 − q

где ρ ( x, y) расстояние между x и y .

Доказательство.

Согласно (15.8) имеем:

ρ (x(k +1), x(k ) ) = ρ (ϕ (x(k ) ),ϕ (x(k −1) ))≤ q ρ (x(k ), x(k −1) ),

поэтому

ρ(x(k +1), x(k ) )≤ q ρ (x(k ), x(k −1) )≤

≤q2 ρ (x(k −1), x(k −2) )≤ ... ≤ qk ρ (x(1), x(0) )

При l > k имеем цепочку неравенств.

ρ(x(l ), x(k ) )≤ ρ (x(l ), x(l −1) )+ ... + ρ (x(k +1), x(k ) )≤

≤ql −1 ρ (x(1), x(0) )+ + qk ρ (x(1), x(0) ) =

=qk ρ (x(1), x(0) )(ql −k −1 + ql −k −2 + + q +1) =

- 58 -

Лекция 15

то есть неравенством (15.9) мы на самом деле показали, что последовательность x(k ) является фундаментальной последовательностью.

Согласно критерию Коши последовательность x(k ) имеет не-

который предел x .

Переходя к пределу в неравенстве (15.9) при l →∞ получаем

системы x = ϕ (x ) , то есть надо доказать, что x = ϕ (x ) .

Вектор x являетсярешениемсистемы x = ϕ (x ) ,таккакпереходя к пределу при k стремящемся к бесконечности и учитывая непрерывность вектор-функции φ ( x ) будем иметь

Сходимость метода итераций считается хорошей, еслиq < 1/2, тогда (15.12) примет вид:

Приведем достаточное условие, обеспечивающее неравенство (15.8) в норме ∞ .

Предположим, что функции φi , i =1,2,...,n имеют непрерывные частные производные

∂ϕi , k =1,n .

∂xk

Неравенство (15.8) будет выполнено, если

- 59 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

На практике используют следующие положения о сходимо-

15.2. МЕТОД НЬЮТОНА

МетодНьютонаприменяетсякрешениюсистемуравненийвида

Сущность метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений состоит в следующем. Пусть каким-либо образом нами

получено x(k) -е приближение к решению x . Мы можем k приравнятькнулю,тогдакаждуюфункцию fi , i =1,2,...,n представляютпо формуле Тейлора с остаточным членом в окрестности точки x(k) .

Пусть

- 60 -