Физические модели в естествознании. Учебное пособие

Познавательная модель – форма организации и представления знаний,

средство соединения новых и старых знаний. Познавательная модель обычно подгоняется под реальность и является теоретической моделью.

Прагматическая модель – средство организации практических действий,

рабочего представления целей системы для ее управления. Реальность в них подгоняется под некоторую прагматическую модель. Это, как правило,

прикладные модели.

Инструментальная модель – средство построения, исследования и/или использования прагматических и/или познавательных моделей.

Познавательные отражают существующие, а прагматические – хоть и не существующие, но желаемые и, возможно, исполнимые отношения и связи.

В качестве одного из признаков классификации видов моделирования можно выбрать степень полноты модели и разделить модели в соответствии с этим признаком на полные, неполные и приближенные.

Детерминированное моделирование отображает процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события, когда анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики, т. е. набор однородных реализаций.

Классификация моделей по отрасли знаний предполагает группирование моделей в соответствии с отраслями деятельности человека: математические,

биологические, химические, социальные, экономические, исторические и т.д.

По отношению к временному фактору выделяют динамические и статические модели.

Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в ее описании, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь «фотографию» системы, ее срез. Одним из видов статических моделей являются структурные модели.

21

Динамической моделью называется модель, если среди ее параметров есть временной параметр, т. е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

По форме представления модели делят на:

– материальные (физические) – это предметные модели, которые всегда имеют реальное воплощение. Отражают внешнее свойство и внутреннее устройство исходных объектов, суть процессов и явлений объекта-оригинала.

Область применения данного типа моделей эмпирическое естествознание.

Примеры: скелет человека, макет солнечной системы, физические и химические опыты;

– абстрактные (нематериальные) модели, которые не имеют реального воплощения, применяемые в области теоретического естествознания. В основе данных моделей информация. По признаку реализации они бывают:

мысленные, вербальные, информационные.

Материальные модели выделяют следующих разновидностей:

–натурные – модели полностью адекватные с оригиналом,

обеспечивающие высокую точность и достоверность результатов

моделирования (например, глобус, атом);

–квазинатурные (от лат. «квази» – почти) – это совокупность натурных и математических моделей;

–масштабные модели – это системы той же физической природы, что и оригинал, но отличающиеся от него размерами;

–аналоговое моделирование основано на аналогии процессов и явлений,

имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими уравнениями, логическими схемами и т. п.).

В рамках материальных моделей по характеру подобия выделяют модели,

построенные на принципе прямого и косвенного подобия; иногда выделяют модели условного подобия.

22

К моделям, построенным на основе прямого подобия, относят пространственно и физически подобные модели. Пространственно подобные модели геометрически подобны оригиналу, т.е. передаются наиболее общие черты формы объекта и соотношения определенных его частей. Например,

фотографии, макет рельефа местности, шаблоны и т.п.

Физически подобные модели обладают механическим, динамическим,

кинематическим и другими видами подобия с оригиналом. Эти модели широко применяются во многих отраслях естествознания. Прямое подобие

(геометрически и физически подобные модели) связано с проблемой переноса результатов моделирования на оригинал. Например, при изучении поведения русла реки на уменьшенной модели часть условий эксперимента можно привести в соответствие с натурой, изменяя масштабы модели (скорость течения, глубина потока, морфология русла), а часть условий (вязкость и плотность воды, сила тяготения, определяющие свойства волн, и т.д.) не может быть масштабирована. Задачами пересчета данных модельного эксперимента на реальные условия занимается теория подобия, которая позволяет перейти с использованием коэффициентов подобия от оригинала к модели и наоборот.

Косвенное подобие между оригиналом и моделью – аналогия – проявляется в совпадении или достаточной близости их абстрактных моделей и используется в практике реального моделирования. Наиболее известна электромеханическая аналогия, основанная на том, что некоторые закономерности электрических и механических процессов описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, различающимися лишь физической интерпретацией переменных, входящих в эти уравнения. Поэтому можно не только заменить неудобное и громоздкое экспериментирование с механической конструкцией на простые опыты с электрической схемой,

перепробовать множество вариантов, не переделывая конструкцию, но и проверить на модели варианты, в механике пока не осуществимые (например, с

произвольным и непрерывным изменением масс, длин и т.д.). Роль моделей,

обладающих косвенным подобием оригиналу, очень велика. Например, часы

23

являются аналогом времени; подопытные животные у медиков - аналоги человеческого организма.

Модели условного подобия основаны на том, что подобие оригиналу устанавливается в результате соглашения. К ним причисляют различные географические карты и планы (модели местности), рабочие чертежи (модели будущей продукции), разнообразные сигналы (модели сообщений), деньги

(модель стоимости), удостоверения личности (официальная модель владельца)

и т.д. Данные модели являются вещественной формой, в которой абстрактные модели могут передаваться от одного человека к другому, храниться до момента их использования на основе соглашения о том, какое именно состояние реального объекта ставится в соответствие конкретной абстрактной модели. Обычно эти соглашения формулируются в виде совокупности правил построения моделей условного подобия и правил пользования ими.

Абстрактное (идеальное) моделирование: интуитивное, наглядно-

образное (например, атомная модель Резерфорда), знаковое.

Интуитивное моделирование основано на интуитивном представлении об объекте исследования, которое не поддается формализации либо в этом нет необходимости.

Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования различного вида: схемы, графики, чертежи, формулы,

наборы символов и т. д., включающие совокупность законов, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми элементами. Знаковая модель может делиться на: специальную, графическую и математическую.

Графической является модель, которая представлена геометрическими образами и объектами, например, макет дома является натурной геометрической моделью строящегося дома.

Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, классическим примером математического моделирования является описание и исследование основных законов механики И.Ньютона средствами математики.

24

Математическая модель – приближѐнное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.

Математическая модель (от лат. modulus – мера) – математизированный

«эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства.

В общем случае математическая модель реального объекта, процесса или системы представляется в виде системы функционалов

Ф i ( X , Y , Z , t ) = 0,

где X - вектор входных переменных, X =[ x1, x2, x3, ... , xn] t ,

Y- вектор выходных переменных, Y =[ y1, y2, y3, ... , yn] t ,

Z- вектор внешних воздействий, Z =[ z1, z2, z3, ... , zn] t ,

t - координата времени.

Построение математической модели заключается в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат.

Математические модели можно классифицировать:

–по принадлежности к иерархическому уровню;

–характеру отображаемых свойств объекта;

–способу представления свойств объекта;

–способу получения модели;

–форме представления свойств объекта.

По принадлежности к иерархическому уровню организации материи модели делятся на: модели микроуровня, макроуровня и мегауровня.

Математические модели на микроуровне процесса отражают физические процессы, протекающие в микромире, мире объектов неподлежащих непосредственному наблюдению. Они описывают процессы на уровне перехода.

25

Математические модели на макроуровне процесса описывают процессы макрообъектов, размерность которых соизмерима с масштабами человеческого опыта.

Математические модели на мегауровне описывают мегасистемы.

По способу представления свойств объекта математические модели делятся на аналитические, численные, алгоритмические и имитационные.

Аналитические математические модели представляют собой явные математические выражения выходных параметров как функций от параметров входных и внутренних и имеют единственные решения при любых начальных условиях. Аналитическая модель дает возможность в общих чертах разобраться в явлении, наметить как бы контур основных закономерностей. Любые уточнения могут быть получены с помощью статистических моделей.

Модель будет численной, если она имеет решения при конкретных начальных условиях (дифференциальные, интегральные уравнения).

Модель алгоритмическая, – если она описана некоторым алгоритмом или комплексом алгоритмов, определяющим ее функционирование и развитие.

Модель имитационная, – если она предназначена для испытания или изучения возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров модели. Имитационное моделирование может характеризовать как инструмент исследования сложных систем и процессов,

которые не поддаются формальному описанию. Это сравнительно новый класс моделей, которые основаны на программировании.

Основные классы имитационных моделей:

–непрерывные, воспроизводящие поведение объекта за определенный период времени;

–дискретные, описывающие потоки случайных событий;

–пространственные, описывающие процессы в пространстве (на плоскости или в объеме).

По способу получения модели делятся на теоретические и эмпирические.

26

Теоретические математические модели создаются в результате исследования объектов (процессов) на теоретическом уровне. Данные модели громоздки и не совсем адаптированы к реальным процессам.

Эмпирические математические модели создаются в результате проведения экспериментов (изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерения его параметров на входе и выходе) и обработки их результатов методами математической статистики.

К математическим моделям предъявляют определенные требования:

универсальность, точность, адекватность, экономичность.

Универсальность математической модели определяется полнотой отражения в ней оригинала.

Точность математической модели зависит от степени совпадения значений выходных параметров эксперимента проводимого над реальным объектом и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью модели.

Адекватность математической модели определяется способностью отражать заданные свойства объекта с погрешностью, не больше заданной.

Экономичность математической модели – это затраты вычислительных ресурсов на ее реализацию.

В естествознании широкую область применения получили также структурные и функциональные модели (в биологии).

Р. Пайерлс дал классификацию математических моделей, которые используются в естественных науках [26].

Тип 1: Гипотеза – модели, которые «представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его истинным». Например, модель Солнечной системы по Птолемею и модель Коперника, модель атома Резерфорда и модель Большого Взрыва.

Если модель первого типа построена, то это означает, что она временно признаѐтся за истину, но статус модели первого типа может быть только временным.

27

Тип 2: Феноменологическая модель – модель отражающая механизм для описания явления, который не может быть достаточно подтверждѐн имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус временных решений. Например, модели теплорода, кварковая модель элементарных частиц.

Роль модели в исследовании может меняться со временем. Если новые данные и теории подтвердят феноменологические модели, то они будут повышены до статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешѐл в первый тип. А вот модели эфира, проделали путь от типа 1 к типу 2,

а сейчас находятся вне науки.

Тип 3: Приближение. Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае — использование приближений. Среди них модели линейного отклика. Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример — закон Ома.

Тип 4: Упрощение. В данной модели отбрасываются детали, которые могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на результат. Примеры:

применение модели идеального газа к неидеальному, уравнение состояния Ван-

дер-Ваальса, большинство моделей физики твердого тела, жидкостей и ядерной физики.

Тип 5: Эвристическая модель сохраняет лишь качественное подобие реальности и даѐт предсказания только «по порядку величины». Типичный пример – приближение средней длины свободного пробега в кинетической теории. Оно даѐт простые формулы для коэффициентов вязкости, диффузии,

теплопроводности, согласующиеся с реальностью по порядку величины.

28

Тип 6: Аналогия предполагает получение знаний о системе на основе изучения более простой системы, которая не имеет полного сходства с исходной системой, а лишь передает ее типичные свойства. Например,

Дебаевская модель фонноного излучения.

Тип 7: Мысленный эксперимент, целью которого является опровержение выдвинутых гипотез. Например, цикл Карно.

Тип 8: Демонстрация возможности – это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия. Данного типа модели широко распространенны в математических моделях биологических систем.

Восемь типов моделей по Р. Пайерлсу суть восемь типов исследовательских позиций при моделировании.

3 Идеальные модели как основа теоретического

естествознания

В естествознании можно выделить два уровня научного познания:

экспериментальный и теоретический. Объектом экспериментального естествознания является тот или иной фрагмент живой и неживой природы,

например, кислород как химический элемент, океан, птицы и т.д.

Теоретическое естествознание имеет дело не непосредственно с фрагментами реального мира, а с их идеальными представлениями, выраженными на языке науки. В теоретическом естествознании субъект отрывается от мира чувственных вещей и уходит в область работы с понятиями, которые заменяют

29

ему реальные объекты. Развитие теоретического естествознания связано в первую очередь с развитием его понятийного аппарата.

В теоретическом естествознании объект может быть представлен по-

разному.

Одна из форм такого представления – идеальная модель. Идеальные модели – это абстрактные объекты, выступающие в качестве имен исходных объектов. Следовательно, прежде чем моделировать какой-либо объект,

необходимо как-то его обозначить. Простейшей является операция присвоения ему имени. Нет имени – нечего моделировать. Итак, фундаментальный уровень моделирования любой научной теории образован именами объектов из ее предметной области.

Предметная область теории – это сфера реальности, включающая объекты, на описание и объяснение свойств и поведения которых претендует теория.

Наличие следующего уровня обусловлено тем, что при продолжении исследования поименованных объектов выделяются и изучаются некоторые их свойства и отношения между ними.

Под идеальной моделью реального объекта понимают логический конструкт (абстрактный объект), построенный на базе реальных знаний об объекте, который позволяет объяснить то, что наблюдаемо в опыте,

эксперименте. Когда мы называем идеальную модель реального объекта логическим конструктом, то тем самым подчеркиваем, что она существует только в головах людей. Ее нельзя наблюдать. С ней можно работать только в мыслях и при помощи мысли. Но это такой логический конструкт, который позволяет объяснить то, что происходит с реальным объектом. Это позволяет предположить, что в идеальной модели реального объекта воспроизведены определенные свойства реального объекта. Конечно, не все, а лишь некоторые.

Идеальная модель – абстрактный объект, который отражает лишь некоторые черты реального объекта.

30