Физика твердого тела. Учебное пособие

Перемножив левые и правые части всех трех уравнений в (2.13), получим dpdV h3, где dV dxdydz , dp dpxdpydpz . Если взять

dV 1, то получим dp h3 .

Следовательно, для одного квантового состояния электрона необ-

ходим «объем» h3 , т. е. в объеме h3 могут находиться только два электрона (принцип Паули) с разными спинами. Следовательно, число

где mn – эффективная масса электрона, то удобнее проводить расчеты в сферических координатах, в которых элемент объема имеет вид 4 p2dp . Тогда число квантовых состояний электрона dN внутри тонкого шарового слоя радиусом p и толщиной dp будет находиться по формуле

21

Подставив (2.16) и (2.17) в (2.15), получим количество электронов,

2.3. Концентрация носителей заряда в собственных полупроводниках

Чтобы найти концентрацию электронов в зоне проводимости собственного полупроводника, надо вычислить интеграл от (2.19) с учетом того, что электроны – частицы с полуцелым спином и подчиняются статистике Ферми–Дирака:

1 e kT

электронов; E2 – энергия, соответствующая верхней границы зоны проводимости; k – постоянная Больцмана (напомним, что при T 0 , если энергия электрона E EF , то fn (E) 1, а если энергия электрона

E EF , то fn (E) 0. Энергию Ферми можно определить как предель-

но возможную энергию электрона при T 0 ).

Вычисления существенно упрощаются для случая невырожденного полупроводника, когда уровень Ферми находится в запрещенной зоне

22

и exp(E EF) 1, тогда статистика Ферми–Дирака превращается в

распределение Максвелла. Кроме того, поскольку экспоненциальный сомножитель быстро уменьшается с ростом энергии, верхний предел интегрирования можно заменить на . После вычисления интеграла (2.20) в указанных приближениях получим выражение для концентрации электронов в зоне проводимости

дает формулу для определения концентрации дырок в валентной зоне

ной зоне; mp * – эффективная масса дырок.

Для вычисления концентрации носителей заряда по формулам (2.21) и (2.22) нужно знать положение уровня Ферми. В собственном

23

полупроводнике концентрации электронов в зоне проводимости ni и дырок в валентной зоне pi одинаковы: ni pi (индекс i обозначает

собственный полупроводник, от англ. intrinsic), что позволяет определить положение уровня Ферми.

где индекс i указывает, что речь идет о собственном полупроводнике.

При T 0 К уровень Ферми находится в середине запрещенной

зоны E EC EV . В полупроводниках, у которых m m , поло-

F 2 p n

жение уровня Ферми не меняется с ростом температуры, он всегда находится посередине запрещенной зоны (рис. 2.2, а). Если эффектив-

ная масса дырок больше эффективной массы электронов (mp mn , рис. 2.2, б), то с ростом температуры уровень Ферми смещается ко дну зоны проводимости; если mp mn , то с ростом температуры уровень Ферми смещается к потолку валентной зоны (рис. 2.2, в).

24

Найдем произведение np , перемножив (2.21) и (2.22):

где Eg EC EV – ширина запрещенной зоны. В собственных полупроводниках концентрацию носителей заряда можно записать как

Рис. 2.3

На рис. 2.3 представлена температурная зависимость концентрации носителей заряда для собственного полупроводника. Зависимость по-

казана в осях lnni от T1 , где она имеет вид прямой линии. Пролога-

рифмируем (2.24):

lnni ln NC NV 2EkTg ,

25

тангенс угла наклона прямой определяется шириной запрещенной зоны Eg :

2.4.Концентрация носителей заряда

впримесных полупроводниках

Механизмы образования свободных носителей заряда в примесных полупроводниках различны при высоких и низких температурах.

Низкие температуры

Рассмотрим в качестве примера донорный полупроводник. При низких температурах концентрация электронов в зоне проводимости

определяется в основном концентрацией примесных атомов Nd . Поскольку энергия активации Ed значительно меньше ширины запрещенной зоны Eg ( Ed Eg ), то при низких температурах электроны

с примесных уровней переходят в зону проводимости, и именно донорные уровни служат основными поставщиками электронов в зоне проводимости. Электронам валентной зоны не хватает энергии теплового движения, чтобы преодолеть запрещенную зону.

Таким образом, в примесном полупроводнике при очень низких температурах можно пренебречь собственной проводимостью. В этом случае все электроны в зоне проводимости – это электроны, перешедшие с донорных уровней, и их концентрация

где Nd – концентрация донорной примеси; nd – концентрация элек-

тронов, еще остающихся на донорных уровнях (рис. 2.4, а). Положение уровня Ферми можно найти из (2.26). Концентрация

электронов на донорных уровнях nd определяется через концентрацию доноров Nd и функцию распределения Ферми–Дирака fn (Ed ) для электронов с энергией Ed :

26

Рис. 2.4

Трансцендентное уравнение (2.28) ввиду его сложности не решают, а ограничиваются рассмотрением частных случаев. Так, при низких температурах (порядка десятков кельвинов) решение уравнения имеет вид

27

При T 0 К уровень Ферми лежит посередине между донорным

уровнем и дном зоны проводимости. Последнее слагаемое в (2.29) с повышением температуры меняет знак, поэтому положение уровня Ферми при повышении температуры сначала приближается ко дну зоны проводимости, а затем при дальнейшем росте температуры начинает опускаться к середине запрещенной зоны (рис. 2.24, б). Середина запрещенной зоны соответствует уровню Ферми в собственных полу-

проводниках при T 0 К и обозначена на рис. 2.24 через EFi .

Чтобы найти концентрацию свободных электронов, подставим найденный уровень Ферми (2.29) в (2.21):

где Ed – расстояние между дном зоны проводимости и донорным

уровнем (энергия активации примесей).

На рис. 2.5 приведена температурная зависимость концентрации носителей заряда для примесного полупроводника n-типа. Зависи-

мость показана в осях lnn от T1 , где она имеет вид прямой линии. Прологарифмировав (2.30), получим

lnn ln NC Nd 2EkTd ,

а тангенс угла наклона прямой, изображенной на рис. 2.25, определяется энергией активации примесей Ed :

28

Рис. 2.5

Угол наклона кривой для примесных полупроводников меньше

угла наклона кривой для собственных полупроводников, так как энергия активации всегда меньше ширины запрещенной зоны

Ed Eg .

В акцепторных полупроводниках свободные носители заряда при низких температурах образуются при переходе электронов из валентной зоны на акцепторные уровни, расположенные вблизи потолка валентной зоны (рис. 2.6, а).

Для акцепторных полупроводников (полупроводников p -типа)

можно получить по аналогии с проведенными выше рассуждениями выражения для положения уровня Ферми и концентрации дырок в валентной зоне:

29

где Ea – энергия акцепторного уровня; Na – концентрация акцепторной примеси; Ea – энергия активации акцепторного уровня (разность

энергий между потолком валентной зоны и энергией акцепторного уровня).

E

T

Рис. 2.6

Область истощения примесей

Если продолжать повышать температуру, то концентрация электронов в зоне проводимости увеличивается, а концентрация электро-

нов на донорных уровнях nd уменьшается – донорные уровни исто-

щаются. Когда все электроны перейдут с донорных уровней в зону проводимости (а электроны из валентной зоны еще не обладают достаточной энергией для преодоления запрещенной зоны), то концентрация электронов в зоне проводимости станет равной концентрации донорных уровней:

Эта область называется областью истощения примесей. В этой области концентрация свободных носителей заряда не зависит от температуры. Температура, при которой уровень Ферми достигнет донорного

30