Физика в задачах Ч.2. Электростатика, постоянный ток, электромагнетизм. Учебное пособие

82

Отметим, что задача могла быть решена и другим способом. Известно, что работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока че-

рез контур:

A I I 1 2 ,

где 1 — магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; 2 —

то же, после перемещения.

В случае φ = 904; Ф = BS; Ф = 0. Следовательно,

A IBS IBa2, что совпадает с полученным выше результатом.

Пример. Рядом с длинным прямым проводом MN , по которому течет ток силой I1, расположена квадратная рамка со стороной l , обтекаемая током

силой I2 . Рамка лежит в одной плоскости с проводником MN так, что ее сторона, ближайшая к проводу, находится от него на расстоянии a0 . Опре-

делить магнитную силу, действующую на рамку, а также работу этой силы при удалении рамки из магнитного поля. Считать, что при движении рамки токи I1 и I2 поддерживаются постоянными.

Рамка с током находится в неоднородном магнитном поле, создаваемым бесконечно длинным прямым проводником MN . Каждая сторона рамки АВСD будет испытывать действие сил Ампера, направление которых указано на рисунке. Так как стороны АВ и DС расположены одинаково относительно провода, действующие на них

силы F3 и F4 должны быть численно равны и равнодействующая всех сил,

приложенных к рамке , равна

F F1 F2

Силы, действующие на стороны АD и ВС рамки, определим путем интегрирования

Работа по удалению рамки из магнитного поля равна

A I2 Ф Ф0 I2Ф0 .

Для нахождения магнитного потока через рамку в неоднородном магнитном поле разделим ее площадь на узкие полосы шириной dx , в пределах которых магнитную индукцию можно считать постоянной. Элементарный магнитный поток через полоску, находящуюся на расстоянии х от прямого тока, равен

Пример. В центре длинного соленоида, имеющего n витков на метр, помещена рамка, состоящая из N витков провода площадью S каждый. Рамка может вращаться вокруг оси ОО/, перпендикулярной оси соленоида. При пропускании тока по рамке и соленоиду, соединенных последовательно, рамка повернулась на угол . Определить силу тока, если жесткость пружины k .

При появлении тока рамка установится в таком положении, когда момент сил магнитного поля M уравновесится моментом упругих сил пружины

84

где Pm NIS - магнитный момент рамки; B 0nI - индукция поля соле-

ноида.

С учетом этих выражений имеем:

M 0 nNI 2 S sin .

Заметим, что вначале, когда тока нет, / 2.Согласно закону Гука

M упр k ,

где / 2 и, следовательно, sin cos . Таким образом, 0nNI 2S cos k . Откуда

I k / 0nNS cos .

Пример. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U, попал в однородное магнитное поле напряженностью Н. Определить радиус R кривизны

траектории и частоту обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля.

Радиус кривизны траектории электрона определим, исходя из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон действует сила

Лоренца Fл (действием силы тяжести можно пренебречь). Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, сообщает электрону нор-

где е – заряд электрона; – скорость электрона; В – магнитная индукция; m

– масса электрона; R – радиус кривизны траектории; – угол между направ-

90°, sin α = 1).

Из формулы найдем

R meB .

Входящий в равенство импульс m может быть выражен через кинетическую энергию Т электрона:

m 2mT .

Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую раз-

ность потенциалов U, определяется равенством

T eU . Подставив это выражение в формулу, получим

85

m 2meU .

Магнитная индукция В может быть выражена через напряженность Н

магнитного поля в вакууме соотношением

B 0H,

где 0 – магнитная постоянная.

Подставив найденные выражения В и m в формулу, определим

R 2me .

0eH

Частота обращения n определяется формулой, связывающей частоту со

скоростью и радиусом:

n . 2 R

Подставив в формулу выражение для радиуса кривизны, получим

Пример. Электрон влетает со скоростью υ0 в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам, длина которых l. Напряженность электрического поля конденсатора Е. При вылете из него электрон попадает в

однородное магнитное поле, направленное вдоль вектора v 0. Магнитная ин-

дукция этого поля В. Определить траекторию электрона в магнитном поле.

2πmυ

Таким образом, h eB 0 .

Пример. В циклотроне протоны ускоряются до кинетической энергии Ек . Оставляя частоту изменения направления электрического поля постоянной, найти такой закон изменения индукции В от радиуса кривизны траектории протонов в дуантах, при котором напряженность электрического поля между дуантами будет всегда сонаправлена скорости протонов. Определить максимальный радиус полуокружности, по которой протоны движутся в дуантах. Индукция магнитного поля B0.

Принцип действия циклотрона состоит в том, что заряженная частица многократно проходит ускоряющее электрическое поле, локализованное в пространстве между дуантами. Внутри

дуанта частица под действием магнитного поля движется по дуге окружности радиусом r. Так как сила Лоренца перпендикулярна скорости, то она не меняет модуль скорости, а изменяет ее направ-

ление.

Уравнение движения протона в магнитном поле, с учетом зависимости массы от скорости, можно записать в виде

Таким образом, радиус кривизны траектории возрастает по мере ускорения частицы. Исходя из условия, что время движения протона по дуге полуокружности в одном из дуантов не должно зависеть от скорости, т.е.

найдем соотношение между В и В0:

B0 B1 υ2c2 .

Это и есть зависимость B(r), при которой напряженность электрического поля и скорость протонов между дуантов остаются все время сонаправленными, причем частота изменения направления электрического поля постоянна. Индукция поля возрастает по мере увеличения скорости протонов.

Для расчета максимального радиуса кривизны траектории определим соответствующее значение скорости из выражения для полной энергии протона

откуда υ c1 E02 E2 ,

где E0 = mc2.

Пример. В однородном магнитном поле с индукцией S равномерно с частотой вращается рамка, содержащая a витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки f . Определить мгновенное значение ЭДС индукции i ,

соответствующее углу поворота рамки α..

88

Мгновенное значение ЭДС индукции i

определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея – Максвелла

i ddt , где – потокосцепление.

Потокосцепление связано с магнитным потоком и числом N витков плотно прилегающих друг к другу соотношением

N .

Подставляя выражения в формулу, получим

i N ddt .

При вращении рамки (рис.) магнитный поток , пронизывающий рамку в момент времени t, изменяется по закону

BS cos t,

где В – магнитная индукция; S – площадь рамки; – круговая (или циклическая) частота.

Подставив в формулу выражение и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

i NBS sin t.

Круговая частота связана с частотой вращения n соотношением

2 n. Подставляя значение в формулу, получим

i 2 nNBS sin t.

Пример. Тороид с железным ненамагниченным сердечником, длина которого по средней линии l1, имеет воздушный зазор l2. По обмотке тороида, содержащей N витков, пустили ток, в результате чего индукция в зазоре стала B2 Определить силу тока.

90

Пример. В однородном магнитном поле с индукцией В расположена прямоугольная рамка аbсd, подвижная сторона которой ad длиной l перемещается со скоростью υ перпендикулярно линиям индукции поля. Определить ЭДС индукции, возникающую в контуре abcd.

Задача решается двумя способами: или с применением закона Фарадея, или с применением силы Лоренца.

1. Магнитный поток Ф сквозь рамку возрастает, что ведет к возникновению вихревого электрического поля, а значит, согласно закону Фарадея, в рамке появляется ЭДС индукции

Ф = BS = Blx;

ε dФdt Bl dxdt ,

где dxdt - скорость перемещения проводника ad

Поэтому

Bl .

Знак “-” показывает, что ЭДС индукции действует в контуре в таком

направлении, при котором связанная с ним правилом правого винта нормаль к r

контуру противоположна вектору B (т.е. направлена к наблюдателю). Таким образом, ЭДС индукции, а значит, и индукционный ток направлены в контуре abcd против часовой стрелки.

2. В связи с тем, что действующая в цепи ЭДС измеряется работой сторонних сил (т.е. сил неэлектрического происхождения) при перемещении вдоль замкнутой цепи единичного положительного заряда, можно записать

При движении в магнитном поле проводника ad вместе с ним движутся со скоростью υ его свободные заряды. Поэтому на каждый из них действует