Физика в задачах Ч.2. Электростатика, постоянный ток, электромагнетизм. Учебное пособие

31

График зависимости E(r) будет

иметь вид, представленный на рис.: в первой и третьей из рассматриваемых областей, электрическое поле равно нулю, а во второй и четвертой - уменьшается по абсолютной величине обратно пропорционально квадрату расстояния от центра шара.

Пример. Две концентрические сферы с радиусами R1 и R2 ( R2 > R1 ) равно-

мерно заряжены с поверхностными плотностями 1 и 2 . Найти выраже-

ние для напряженности и потенциала электростатического поля как функции расстояния r от центра сфер.

Для определения потенциала используем связь между E и в сферических координатах:

Пример. Точечный заряд q находится в центре шара радиусом R из одно-

родного изотропного диэлектрика проницаемостью . Найти напряжен-

ность поля как функцию расстояния r от центра шара. Представить графики зависимостей E r и D r .

33

Графики зависимостей D r и E r имеют следующий вид:

D, E

D

E

R r

Пример. Два металлических шара, находящиеся на большом расстоянии, один диаметром d1 и зарядом q1 , другой d2 и q2 , соединяются длинным тонким

проводником. Какой заряд переместится по нему?

Так как по условию задачи шары находятся далеко друг от друга, то будем полагать, что до соединения их проводником они не взаимодействуют друг с другом, а после соединения - заряды на поверхностях каждого из шаров распределятся равномерно.

После соединения шаров проводником заряды q1 и q2 перераспреде-

лятся между ними таким образом, чтобы потенциалы шаров стали одинаковыми.

Потенциал на поверхности шара радиусом R с зарядом Q

R2 12 d2 после их соединения

где q1 , q2 - заряды, которые будут находиться на шарах после их соединения.

На основании закона сохранения заряда получим

q1 + q2 = q1 + q2 ; q2 = q1 + q2 - q1 .

34

Если первоначально на этом шаре был заряд q1 , а стал q1 , то это означает, что по проводнику переместился заряд

Пример. Из трех концентрических тонких металлических сфер радиусами R1 , R2 и R3 крайние заземлены, а средней сообщен заряд q. Найти зависи-

мость потенциала электрического поля от расстояния до центра сфер.

Сферы находятся в вакууме. При сообщении средней сфере заряда q на поверхностях внутренней

и внешней сфер будут индуцированы заряды q1 и

q3 .

Заземление любой поверхности приводит к тому, что на ней устанавливается потенциал, равный нулю.

На поверхности сферы радиусом R1 потенциал будет равен:

Решив эту систему уравнений относительно q1 и q3 , получим

Учитывая, что потенциал внутри сферы постоянен и равен потенциалу на ее поверхности, а вне сферы изменяется так же, как у точечного заряда, помещенного в центр сферы, найдем потенциалы электрических полей во всех точках пространства:

а) при 0 r R1 :

35

Пример.В вершинах квадрата со стороной l находятся четыре заряда величиной q каждый. Чему равен потенциал электрического поля в центре квад-

рата?

Исходя из принципа суперпозиции потенциала электрического поля, потенциал в точке O будет равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

36

Пример. Вычислить энергию взаимодействия четырех одинаковых точечных зарядов q, расположенных в вершинах квадрата со стороной а.

.

Воспользуемся формулой

W 1 n qi i

2 i 1 .

В данном случае qi q , i const , где -потенциал в месте

нахождения одного из зарядов, обусловленный полем всех остальных зарядов. В соответствии с формулой для потенциала, точечного заряда и прин-

ципа суперпозиции найдем

Пример. Заряд q распределен равномерно по объему шара радиусом R . Полагая диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти собственную электрическую энергию шара и отношение энергии W1 , локализо-

ванной внутри шара, к энергии W2 в окружающем пространстве.

Прежде всего найдем с помощью теоремы Гаусса напряженность поле внутри и вне шара

Объемная плотность энергии будет также являться функцией расстояния:

Поскольку зависимость r различна для областей пространства

внутри и вне шара, то нахождение полной энергии электрического поля разбивается на два интеграла

38

Пример. Плоский воздушный конденсатор (S, d1) заряжен до разности потенциалов U0 . Какую работу надо совершить, чтобы увеличить расстояние

между обкладками до d2 , не отключая конденсатор от источника.

Конденсатор соединен с источником, поэтому при любых манипуляциях разность потенциалов на его зажимах остается постоянной и равной U0 ,

при этом заряд может изменяться. При раздвижении пластин внешняя сила равна и противоположна силе взаимодействия и ее работа

A 2 Fx dx

1.

Поскольку поле, создаваемое каждой из пластин, на небольших расстояниях однородно, то

q1 q2 q- абсолютное значение заряда пластин. Напряженность поля, со-

зданного одной пластиной, вдвое меньше напряженности между обкладками конденсатора и равна

E1 U0 / 2x .

Подставляя найденные соотношения в выражение для силы, получаем

При раздвижении обкладок x изменяется в пределах от d1 до d2 , тогда

39

Пример. Конденсатор емкостью # был заряжен до разности потенциалов. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С . Какая энергия % израсходуется на образование искры в момент присоединения второго кон-

денсатора?

Энергия W , израсходованная на образование искры,

W W1 W2 ,

где W1 — энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к

нему второго конденсатора; W — энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

W CU 2 , 2

где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов; U – разность потенциалов на обкладках конденсаторов.

Принимая во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

W C1U12 C1 C2 U22 ,

22

где С1 и С — емкости первого и второго конденсаторов; U1 — разность по-

тенциалов, до которой был заряжен первый конденсатор; U — разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежний, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:

Подставив выражение U2 в формулу, получим

После простых преобразований найдем

40

Пример. На пластинах плоского конденсатора находится заряд Q. Площадь каждой пластины конденсатора равна S, диэлектрик — воздух. Определить силу , с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами счи-

тать однородным.

Заряд Q одной пластины находится в поле, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила

F QE1,

где E1 — напряженность поля, создаваемого зарядом одной пластины. Но

где — поверхностная плотность заряда пластины. С учетом выражения

Пример. Конденсатор емкостью С1 был заряжен до разности потенциалов U1 . После отключения от источника тока конденсатор был соединен парал-

лельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С2. Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Энергия W , израсходованная на образование искры,

W W1 W2 ,

где W1 — энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к

нему второго конденсатора; W2 — энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

W CU2 , 2

где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов; U – разность потенциалов на обкладках конденсаторов.

Выразив энергии W1 и W2 и принимая во внимание, что общая емкость

параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

W C1U12 C1 C2 U22 ,

22