Физика в задачах Ч.2. Электростатика, постоянный ток, электромагнетизм. Учебное пособие

41

где С1 и С2 — емкости первого и второго конденсаторов; U1 — разность по-

тенциалов, до которой был заряжен первый конденсатор; U2 — разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежний, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:

Подставив выражение U2 в формулу, получим

Пример. В незаряженный плоский воздушный конденсатор параллельно его обкладкам вносят тонкую металлическую пластину с зарядом q . Площади

обкладок конденсатора и внесенной пластины равны S , расстояние между обкладками конденсатора d. Как зависит разность потенциалов на обкладках конденсатора от расстояния x между одной из обкладок и металлической пластиной?

Электрическое поле, создаваемое вблизи заряженной плоской пластины, будет однородным и равным по величине

где qS - поверхностная плотность

заряда на пластине.

Тонкая пластина с зарядом q создаст по обе стороны от поверхностей

что приведет к появлению индуцированных зарядов на обкладках конденсатора.

Однако в силу закона сохранения заряда суммарный заряд каждой пластины останется равным нулю, а значит, результирующее поле, создаваемое индуцированными зарядами, также будет равным нулю. Таким образом, между обкладками конденсатора будет только поле, создаваемое внесенной пластиной.

42

Если потенциал одной из обкладок обозначить через 1 , а другой - через 2 , то разности потенциалов между каждой из них и внесенной пластиной будут равны

обкладками конденсатора.

Вычитая друг из друга два последних соотношения, получаем

Очевидно, что в случае x 0 , т.е. когда пластина располагается на одной из обкладок, мы приходим к известной формуле:

выражающей разность потенциалов между двумя произвольными точками,

находящимися на расстоянии d в однородном электрическом поле напряжен-

r

ностью E , создаваемом заряженной пластиной с поверхностной плотностью заряда qS .

Пример. Между соединенными проводником обкладками плоского незаряженного конденсатора помещена металлическая пластина, делящая расстояние между обкладками в отношении 1:3. Какой величины заряд протечет по про-

воднику, если на внутреннюю пластину поместить заряд Q?

Заряд Q пластины создаст по обе

стороны от нее электрическое поле

r

напряженностью E . Так как рассматривается плоский конденсатор, то расстояние между двумя любыми попарно взятыми пластинами будет много меньше их линейных размеров, поэтому поля между ними можно считать однородными.

43

Электрическое поле E приведет к появлению на обкладках конденсатора индуцированных зарядов, причем, как следует из закона сохранения электрического заряда, суммарный заряд на обеих обкладках конденсатора не изменится, т.е. останется равным нулю. В случае если обкладки конденсатора не соединены проводником, то наличие заряженной пластины приведет к возникновению разности потенциалов между ними. Так как в нашем случае обкладки закорочены, то заряды будут перемещаться с одной обкладки на другую до тех пор, пока потенциалы на них не станут равными, в результате чего на обклад-

ках возникнут заряды q1 и q2 , причем q1 + q2 =0.

Пусть для определенности Q 0 , q1 =q>0, q2 =-q. Тогда векторы напряженности электрического поля E , создаваемого зарядами средней пластины, векторы E1 поля, создаваемого обкладкой с зарядом q1 , и векторы

E2 поля обкладки с зарядом q2 будут направлены перпендикулярно пластинам. Следовательно, напряженность электрического поля между пластиной и обкладкой, находящейся на расстоянии d1 14 d (где d - расстояние между

обкладками конденсатора) от нее, будет равна

E1 E E1 E2 ,

где E Q 2S 0 , E1 E2 q 2S 0 - значения напряженностей электрических полей, создаваемых средней и крайними пластинами соответственно; S - площадь пластины и каждой из обкладок. Следовательно,

Разность потенциалов между рассматриваемыми пластинами

где 1 , - потенциалы обкладки с зарядом q и пластины соответственно. Аналогично для области между пластиной и второй обкладкой конден-

Так как обкладки соединены проводником, то 1 = 2 . Следовательно,

44

Отсюда находим величину заряда, наведенного на каждой из обкладок:

q q1 q2 14 Q .

Если первоначально на обкладках заряда не было, а после того как между ними была помещена заряженная пластина, на каждой из них возникли

разноименные заряды q , то это означает, что заряд, равный q , перетек по

проводнику с одной обкладки на другую.

При этом обкладка, расположенная ближе к пластине, приобрела заряд противоположный по знаку заряду пластины.

Пример. Расстояние между обкладками плоского закороченного проводником конденсатора равно d . Между обкладками помещают металлическую плоскопараллельную пластину толщиной b и зарядом Q на расстоянии a от одной из обкладок. Определить заряды на каждой из сторон пластины.

Заряд Q пластины создаст по

обе стороны от нее электрическое

r

поле напряженностью E , которое приведет к появлению индуцирован-

ных зарядов q1 и q2 на обкладках конденсатора, причем q1 =- q2 .

Пусть Q 0 , q1 =q>0, q2 =-q. Тогда напряженность электрического поля в зазоре шириной a равна

чены), то разности потенциалов между пластиной и обкладками также равны друг другу:

- 1 = - 2 , или E1a EП d a b .

Следовательно,

Q 2q a Q 2q d a b .

45

Отсюда находим

предположении - положительными), поэтому направлены навстречу друг другу. Следовательно,

Q Q Q Q d a b .

Пример. Между обкладками плоского воздушного конденсатора параллельно его пластинам помещается металлическая пластинка толщиной a . Размеры

пластинки совпадают с размерами обкладок, площадь которых равна S , а

расстояние между ними - d . Определить емкость получившегося конденсатора.

46

Для определения емкости получившегося конденсатора поместим на его обкладки равные по величине разноименные заряды q и (- q) и емкость

определим по формуле

C q ,

где 2 1 - разность потенци-

алов между обкладками.

Заряды на обкладках конденсатора будут индуцировать на сторонах незаряженной металлической пластинки заряды Q и Q , противоположные

по знаку и равные по величине.

Пусть пластинка помещена на произвольном расстоянии x от одной из обкладок, тогда расстояние до другой обкладки будет равно d a x .

Напряженность электрического поля в воздушном зазоре шириной x

Так как электрическое поле внутри конденсатора однородно, то разность потенциалов между обкладкой с зарядом q и пластиной

Аналогично, для воздушного зазора шириной d a x :

47

Разность потенциалов между обкладкой с зарядом ( q) и пластиной

Складывая выражения, найдем разность потенциалов между обкладками конденсатора:

Следовательно, емкость получившегося конденсатора

Как видим, емкость получившегося конденсатора не зависит от места расположения внесенной пластины и поэтому для определения емкости системы пластину можно располагать на каком угодно расстоянии x . Если ее расположить непосредственно на одной из обкладок, то получим новый конденсатор с расстоянием между обкладками равном (d a) и емкостью.

Рассмотрим систему, состоящую из двух последовательно соединенных конденсаторов с одинаковыми пластинами площадью S и расстояниями между обкладками x и d a x соответственно. Их емкости, очевидно, равны

Следовательно, можно сделать еще один вывод: если между обкладками конденсатора поместить металлическую пластину, то образовавшуюся систему можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора. Это, очевидно, справедливо также для случаев, когда внутри конденсатора находится несколько пластин.

48

Пример. Электрон, имеющий кинетическую энергию W , влетает в плоский конденсатор, между пластинами которого поддерживается разность по-

тенциалов . Расстояние между пластинами d , их длина l . На расстоя-

нии h от конденсатора находится экран. Начальная скорость электрона направлена параллельно пластинам. Найти смещение электрона на экране.

Заряд электрона q . Силой тяжести пренебречь.

Решение задач о движении заряженных частиц в электрическом поле конденсатора или заряженной плоскости сходно с решением задач на движение тела, брошенного под углом к горизонту вблизи поверхности земли. Отличие со-

стоит лишь в том, что движение частиц в однородном электрическом поле происходит с некоторым ускорением a , отличным от ускорения свободного падения g . Действие силы тяжести в подобных задачах обычно не учитывается,

так как гравитационные силы ничтожно малы по сравнению с электрическими.

Если электрон влетает в электрическое поле заряженного конденсатора, r

то под действием силы F поля он будет отклоняться от своего начального направления движения и вылетит из конденсатора под некоторым углом к этому направлению.

По условию задачи электрон влетает в конденсатор параллельно его об- r

кладкам. Очевидно, что под действием силы F в поле конденсатора электрон будет двигаться по параболе. Выберем систему координат XOY так, как показано на рис., и запишем уравнение, выражающее второй закон Ньютона, в проекциях на оси OX и OY :

OX : max 0 , OY : may F ,

где m - масса частицы.

r

Так как сила F , действующая на электрон в электрическом поле, равна

F e E ,

то движение частицы вдоль оси OX будет происходить с постоянной скоростью, а вдоль оси OY - равноускоренно. Следовательно, кинематические уравнения движения электрона можно записать в виде

x 0t , y 12ayt2 ,

49

где 0 - скорость электрона при влете в конденсатор; ay - проекция ускорения электрона на ось OY : ay F / m e E / m .

Если длина конденсатора равна l , то уравнения движения (2) электрона в момент вылета из конденсатора примут вид

l 0 , y1 12 ay 2 ,

где - время движения электрона в конденсаторе; y1 - смещение электрона по оси OY за этот промежуток времени.

края конденсатора до экрана достаточно определить угол , который будет составлять вектор его скорости с пластинами, так как здесь электрон будет двигаться равномерно и прямолинейно. С этой целью определим проекции вектора на оси системы координат в момент вылета электрона из конденсатора:

Наконец, определим начальную скорость электрона при влете в конденсатор и величину напряженности поля между его обкладками.

Из выражения для кинетической энергии частицы W 12 m 02

Получим 0 2W / m .

Так как между обкладками конденсатора поддерживается постоянная разность потенциалов , то напряженность электрического поля в зазоре

конденсатора E . d

Окончательно смешение электрона на экране найдем как сумму смещений y и y2 :

50

2.ПОСТОЯННЫЙ ТОК Основные формулы

Сила постоянного тока

I Qt ,

где Q – количество электричества, прошедшее через поперечное сечение проводника за время t .

Плотность электрического тока есть векторная величина, равная отношению силы тока к площади S поперечного сечения проводника;

j SI k ,

где k – единичный вектор, по направлению совпадающий с направлением движения положительных носителей заряда.

Сопротивление однородного проводника

R lS ,

где – удельное сопротивление вещества проводника; l – его длина.

Проводимость G проводника и удельная проводимость вещества

G 1R , 1 .

Зависимость удельного сопротивления от температуры

0 1 t ,

где и 0 – удельные сопротивления соответственно при t = 0 C ; t – температура (по шкале Цельсия); – температурный коэффициент сопротивления.

Сопротивление соединения проводников:

Здесь Ri – сопротивление i −го проводника; n – число проводников.

Закон Ома:

для неоднородного участка цепи

I 1 2 12 U ;

R R

для однородного участка цепи

I 1 2 U ;

R R