Физика в задачах Ч.2. Электростатика, постоянный ток, электромагнетизм. Учебное пособие

21

Приведем это выражение к виду, удобному для интегрирования. Из рисунка видно, что

Пример. Точечный заряд находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом ,равномерно заряженным с поверхностной плотностью . Определить силу , действующую на заряд, если его расстояние от

оси цилиндра равно r.

Численное значение силы , действующей на точечный заряд Q, нахо-

дящийся в поле, определяется по формуле

F QE ,

где E — напряженность поля.

Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно за-

ряженного цилиндра

E , 2 0r

где — линейная плотность заряда.

Выразим линейную плотность через поверхностную плотность . Для этого выделим элемент цилиндра длиной и выразим находящийся на нем заряд Q двумя способами:

Q S 2 Rl;

Q l.

Приравняв правые части этих равенств, получим

22

l 2 R l.

После сокращения на l найдем

2 R ..

С учетом этого

E R .

0r

Подставив это выражение, получим искомую силу F:

последняя в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) направлена перпендикулярно поверхности цилиндра.

Пример. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом , равно-

мерно заряженным с линейной плотностью τ. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии r1 и r2 от поверхности цилиндра, в средней его части.

Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением

между напряженностью поля и изменением потенциала r

E grad .

Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

E ddr ,или d Edr.

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра:

r2

2 1 Edr.

r1

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

E 2 0r .

После подстановки, получим

23

Пример. Положительный заряд равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом a с линейной плотностью . Найти напряженность E электри-

ческого поля на оси кольца как функцию расстояния x от его центра. Иссле-

т.е. на больших расстояниях эта система ведет себя как точечный заряд.

24

Пример. Очень тонкий диск равномерно заряжен с поверхностной плотностью >0. Найти напряженность электрического поля на оси этого диска

в точке, из которой диск виден под телесным углом .

В непосредственной же близости от точки 0 телесный угол 2 и

E .

2 0

25

Пример. Определить ускоряющую разность потенциалов , которую должен

пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью u1 = 106 мс, чтобы скорость его возросла в = 2 раза.

Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением заряда

электрона е на разность потенциалов :

A eU.

Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона:

A T2 T1 m 22 m 12 , 2 2

где T1 и Т — кинетические энергии электрона до и после прохождения ускоряющего поля; m — масса электрона; 1 и 2 — начальная и конечная ско-

рости его.

Приравняв правые части равенств, получим eU m 22 m 12

22

или

eU mn 2 m 12 ,

22

где n 2 .

1

Отсюда искомая разность потенциалов

U m 12 (n2 1). 2e

Пример. На какое минимальное расстояние смогут сблизиться два электрона, если они движутся навстречу друг другу из бесконечности с относительными скоростями отн . Заряд электрона е , его масса m.

При движении одной заряженной частицы в электрическом поле другой сила взаимодействия между ними будет изменяться обратно пропорционально квадрату расстояния между зарядами. Для читателя, хорошо обладающего навыками интегрирования, работу такой силы при произвольном перемещении зарядов определить несложно. Однако гораздо проще решать подобные задачи, если воспользоваться законом сохранения механической энергии.

27

Скорость и электронов на минимальном расстоянии найдем из закона

сохранения импульса, записав его в проекции на произвольную ось, парал-

r r

лельную векторам 1 и 2 :

Подставляя значение скорости , получаем

Следовательно, искомое минимальное расстояние между электронами

где учтено, что при сближении электронов вдоль одной прямой их относительные скорости равны отн 1 2 .

Пример. Положительные заряды Q1 и Q2 находятся в вакууме на расстоянии r1 друг от друга. Определить работу A, которую надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния r2.

Положим, что первый заряд Q1 остается неподвижным, а второй Q2 под действием внешних сил перемещается в поле, созданном зарядом Q1, приближаясь к нему с расстояния r1 до r2.

Работа А' внешней силы по перемещению заряда Q из одной точки поля с потенциалом 1 в другую, потенциал которой 2, равна по модулю и противоположна по знаку работе А сил поля по перемещению заряда между теми же точками:

А'= —А.

Работа А сил поля по перемещению заряда A=Q( 1— 2). Тогда работа А' внешних сил может быть записана в виде

A'= –Q( 1— 2)=Q( 2— 1).

Потенциалы точек начала и конца пути выразятся формулами

28

Подставляя выражения 1 и 2 в формулу и учитывая, что для данного случая переносимый заряд Q=Q2, получим

Пример. Найти работу А поля по перемещению заряда Q из точки 1 в точку 2, находящиеся между двумя разноименно заряженными с поверхностной плотностью бесконечными параллельными плоскостями, расстояние

между которыми равно l.

Работу сил поля по перемещению заряда Q из точки 1 поля с потенциалом 1 в точку 2 поля с потенциалом 2 найдем по формуле

A=Q( 1— 2).

Для определения потенциалов в точках 1 и 2 проведем через эти точки эквипотенциальные поверхности I и II. Эти поверхности будут плоскостями, так как поле между двумя равномерно заряженными бесконечными параллельными плоскостями однородно. Для такого поля справедливо соотношение

1— 2=El,

где Е — напряженность поля; l — расстояние между эквипотенциальными поверхностями.

Напряженность поля между параллельными бесконечными разно-

именно заряженными плоскостями E= / 0. Подставив, получим

A=Q( / 0)l.

Пример. Точечный заряд Q находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R, равномерно заряженным с поверхностной плотностью . Определить силу F, действующую на заряд, находящийся на рассто-

янии r от оси цилиндра.

Численное значение силы F, действующей на точечный заряд Q, нахо-

дящийся в поле, определяется по формуле

F QE,

где E — напряженность поля.

Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра

E , 2 0r

где — линейная плотность заряда.

Выразим линейную плотность через поверхностную плотность . Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд Q двумя способами:

29

Q S 2 Rl;

Q l.

Приравняв правые части этих равенств, получим

l 2 R l.

После сокращения на l найдем

2 R .. С учетом этого формула примет вид

последняя в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) направлена перпендикулярно поверхности цилиндра.

Пример. Металлический шар радиусом R1 помещен в центр толстостенной металлической сферы с внутренним радиусом R2 и наружным радиусом R3

. Заряд шара q1 , заряд сферы q2 . Найти и графически изобразить зависи-

мость величины напряженности электрического поля E от расстояния r до центра шара.

Электрическое поле заряда q1 приведет к появлению индуцированных зарядов q

и q на внутренней и внешней поверхностях

сферической оболочки, причем, как следует из закона сохранения заряда, q + q =0.

Сферическая симметрия всех тел системы позволяет предполагать равномерное распределение зарядов на соответствующих поверхностях и строгую радиальность сило-

вых линий.

Так как силовые линии напряженности электрического поля терпят разрыв на любой проводящей поверхности, то найдем величины напряженности поля в четырех разных областях - в точках, где расстояние r от центра шара ограничено соответствующими радиусами окружностей:

0 r< R1 , R1 <r< R2 , R2 <r< R3 и r> R3 .

30

В области R2 <r< R3 электрическое поле равно нулю, так как шар радиусом R1 , изготовлен из металла:

E(0 r< R1 )=0.

В области R1 <r< R2 результирующее электрическое поле будет равно полю, создаваемому только зарядом q1 , находящимся на шаре, так как внутри

сферы электрическое поле, создаваемое зарядами, находящимися на ее поверхности, равно нулю:

В области R2 <r< R3 электрическое поле равно нулю, так как сфера также изготовлена из металла:

E( R2 <r< R3 )=0.

В области r> R3 результирующее поле будет создано всеми зарядами

системы. В силу симметрии векторы напряженности полей всех зарядов в любой точке будут лежать на одной прямой. Поэтому, следуя принципу суперпозиции электрических полей, получим

или, учитывая закон сохранения заряда ( q + q =0):

Значения полей вблизи границ областей (при r R1 , r R2 , r R3 ):