Физика в задачах Ч.2. Электростатика, постоянный ток, электромагнетизм. Учебное пособие

11

и в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстановленном из его середины( 2 ),

0 .

Механический момент, действующий на диполь с электрическим моментом P

,помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью ,

P , или, M pE sin ,

где – угол между направлениями векторов и .

Электрическая емкость уединенного проводника или конденсатора

С Q ,

где Q – заряд, сообщенный проводнику (конденсатору); – изменение по-

тенциала, вызванное зарядом.

Электрическая емкость уединенной проводящей сферы радиусом R , находя-

щейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью ,

C 4 0R .

Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость ее от этого не изменяется.

Электрическая емкость плоского конденсатора

C 0Sd ,

где S – площадь пластин (каждой пластины); d – расстояние между ними;

– диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами.

Электрическая емкость плоского конденсатора, заполненного n слоями диэлектриком толщиной di каждый с диэлектрическими проницаемостями i (слоистый конденсатор),

Электрическая емкость сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусами R1 и R2 , пространство между которыми заполнено диэлек-

триком с диэлектрической проницаемостью)

C 4 0 R1R2 R2 R1 .

Электрическая емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндра длиной l и радиусами R1 и R2 , пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью )

2 l C ln R2 0R1 .

12

Электрическая емкость C последовательно соединенных конденсаторов: в общем случае

в случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью C1 каждый

C C1n.

Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторов: в общем случае

C C1 C2 ... Cn ;

в случае двух конденсаторов

CC1 C2 ;

вслучае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью C1 каждый

C nC1

Энергия заряженного проводника выражается через заряд Q , потенциал и

электрическую емкость C проводника следующими соотношениями:

где C – электрическая емкость конденсатора; U – разность потенциалов на его пластинах.

Объемная плотность энергии (энергия электрического поля, приходящаяся на единицу объема)

w 1 0 E2 1 ED, 2 2

где E – напряженность электрического поля в среде с диэлектрической проницаемостью ; D – электрическое смещение.

13

Примеры решения задач.

Пример. Три одинаковых положительных заряда, Q1 Q2 Q3 1нКл , расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q4

нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?

Все три заряда, расположенных по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например Q1 , находился в равновесии.

Заряд Q1 будет находиться в равновесии,

если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рис.):

где F2 ,F3,F4 — силы, с которыми соответственно действуют на заряд Q1 заряды Q2 , Q3 , Q4 ; F — равнодействующая сил F2 и F3 .

Так как силы F и F4 направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство можно заменить скалярным равенством

Применяя закон Кулона и имея в виду, что Q2 Q3 Q1 , найдем

14

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчи-

вым.

Пример. Два заряда 9Q и -Q закреплены на расстоянии l=50 см друг от друга. Третий заряд Q1 может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда Q1, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда равновесие будет устойчивым?

Заряд Q1 будет находиться в равновесии в том случае, если векторная сумма сил, действующих на него, будет равна нулю. Это значит, что на заряд Q1 должны действовать две силы, равные по модулю и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков I, II, III может быть выполнено это условие. Для определен-

ности будем считать, что заряд Q1 —положительный.

На участке I на заряд Q1 действуют две противоположно направленные силы: F1 и F2. Сила F1, действующая со стороны заряда 9Q, в любой точке этого участка будет больше, чем сила F2, действующая со стороны заряда -Q, так как больший (по модулю) заряд 9Q всегда находится ближе к заряду Q1, чем меньший заряд -Q. Поэтому равновесие на этом участке невозможно;

На участке II обе силы F1 и F2 направлены в одну сторону — к заряду - Q. Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.

На участке III силы F1 и F2 направление противоположные стороны, так же как и на участке I, но в отличие от него меньший (по модулю) заряд (—Q) всегда находится ближе к заряду Q1, чем больший заряд (9Q). Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы F1 и F2 будут одинаковы по

модулю, т. е.

|F1|=|-F2|

Пусть расстояние от меньшего заряда до заряда Q1 равно х, тогда расстояние от большего заряда будет l+х. Выражая F1 и F2 в соответствии с законом Кулона, получим

Сокращая на QQ1 и извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, найдем l+x=±3x, откуда x1=+l/2 и x2=-l/4. Корень x2 не удовлетворяет физиче-

скому условию задачи (в этой точке силы F1 и F2 хотя и равны по модулю, но направлены в одну сторону).

15

Пример. Три одинаковых заряда величиной q каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника. Где и какой заряд Q нужно поместить, чтобы вся система находилась в равновесии?

Так как по условию задачи все заряды находятся на равных расстояниях друг от друга и величины зарядов равны между собой, то между любыми двумя из них будет действовать сила отталкивания

остальные два заряда. Очевидно, что для равновесия системы в геометрическом центре треугольника (в случае равностороннего треугольника - это точка пересечения биссектрис, медиан или высот) необходимо поместить отрица-

тельный заряд Q, который будет притягивать каждый из зарядов q с силой

где r a 2cos - расстояние между зарядами q и Q.

16

Пример. Два точечных электрических заряда Q1 и Q2 находятся в воздухе на расстоянии друг от друга. Определить напряженностьЕ и потенциал поля, создаваемого этими зарядами в точке , удаленной от заряда Q1 на расстояние и от заряда Q2 на .

Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность

E электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма,

напряженностей E1 и E2 полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

E E1 E2. Напряженность электрического поля, создаваемого в воздухе ( = 1)

первым и вторым зарядами,

Вектор E1 направлен по силовой линии от заряда Q1 , так как заряд Q1

r

положителен; вектор E2 направлен также по силовой линии, но к заряду Q2 ,

так как заряд Q2 отрицателен.

r

Абсолютное значение вектора E найдем по теореме косинусов:

E E12 E22 2E1E2 cos a ,

где — угол между векторами E1 и E2 , который может быть найден из треугольника со сторонами r r и d:

cos a d 2 r12 r22 .

2r1r2

Подставляя выражения E1 и E2 в равенство и вынося общий множи-

1 тель 4 0 за знак корня, получим

При вычислении Е знак заряда Q2 опущен, так как знак заряда определяет направление вектора напряженности, а направление E2 было учтено при его графическом изображении (см. рис.).

17

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал результирующего поля, созданного двумя зарядами Q1 и Q2 . равен

алгебраической сумме потенциалов, т. е.

1 2 .

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой

Пример. Маленький шарик с зарядом q Кл находится на расстоянии l от

большой заземленной металлической пластины. С какой силой они взаимодействуют?

Сила взаимодействия между точечным зарядом и большой заземленной металлической плоскостью равна силе взаимодействия двух

точечных зарядов q и q , расположенных

зеркально относительно плоскости. Следовательно,

Пример. Шарик массой m подвешен на невесомой непроводящей нити в од-

нородном электрическом поле напряженностью E , силовые линии которого горизонтальны. Какой угол с вертикалью составит нить, если шарику сообщить заряд q ?

На заряженный шарик, помещенный в электрическое поле напряженно-

r

стью E , будут действовать три силы: сила тяжести mg , сила натяжения нити

r

причем, так как заряд шарика q 0, то Fэл будет направлена вдоль силовых линий поля.

18

Под действием этих трех сил шарик будет отклонять нить от вертикального положения до тех пор, пока все силы не уравновесят друг друга. Запишем условие равновесия шарика, например, через равенство нулю моментов сил, действующих на него относительно оси OZ, проходящей через точку подвеса O перпендикулярно плоскости рисунка:

Mz mglsin Fэлl cos 0 ,

где l - длина нити, сила Fэл qE . Следовательно, mgsin qEcos .

Отсюда находим

tg mgqE ; arctg mgqE

Условия равновесия шарика можно было записать через равенство нулю проекций сил, действующих на шарик, на оси ОХ и ОУ системы координат:

Fx Fэл T sin 0 , Fy T cos mg 0 .

Решение этой системы уравнений приводит к тому же ответу.

Пример. Металлическое кольцо радиусом R несет на себе электрический заряд q, при котором натяжение проволоки, из которой сделано кольцо,

равно T . Какой заряд Q

разорвалось? Проволока выдерживает максимальное натяжение T0 .

Рассмотрим бесконечно малый элемент кольца длиной l .

Полагая, что электрический заряд кольца q

распределен по всей его длине равномерно, найдем заряд q на выделенном элементе кольца. Так как на единицу длины прихо-

дится заряд qед q2 R , то на элементе кольца длиной l будет находиться заряд