Физика в задачах Ч.2. Электростатика, постоянный ток, электромагнетизм. Учебное пособие

71

где t – мгновенное значение угла между вектором и вектором нормали n к плоскости рамки.

Количество электричества Q , протекающего в контуре

Q R ,

где R – сопротивление контура; – изменение потокосцепления. Электродвижущая сила самоиндукции, возникающая в замкнутом кон-

туре при изменении силы тока в нем

i L dIdt , или i L It .

Потокосцепление контура

LI ,

где L – индуктивность контура. Индуктивность соленоида (тороида)

L 0 n2V .

Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником по приведенной формуле для определения магнитной проницаемо-

сти следует пользоваться графиком зависимости B от H , а затем формулой

B 0 H .

Мгновенное значение силы тока I в цепи, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L :

а) после замыкания цепи

I r 1 e RL t ,

где i – ЭДС источника тока; t – время, прошедшее после замыкания цепи;

б) после размыкания цепи

I I0e RL t ,

где I0 – сила тока в цепи при t 0 ; t – время с момента размыкания цепи. Энергия W магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре

индуктивностью L , определяется формулой

W 12 LI 2 ,

где W – сила тока в контуре.

Объемная (пространственная) плотность энергии однородного магнитного поля (например, поля длинного соленоида)

Формула Томсона. Период собственных колебаний в контуре без активного сопротивления

T 2 LC ,

73

Пример. Длинный провод с током I=50А изогнут под углом =2 /3. Опреде-

лить магнитную индукцию В в точке А на расстоянии d.

Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О. В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция В в точке А будет равна геометрической сумме магнитных индукций B1 и В2 полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т. е. В = В1+В2. Магнит-

ная индукция В2 равна нулю. Это следует из закона Био — Савара — Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси проводника, dВ=0([dlr]=0).

Магнитную индукцию В1 найдем, воспользовавшись формулой:

B 0rI cos 1 cos 2 4 0

где r0 — кратчайшее расстояние от проводника 1 до точки А

В нашем случае α1→0 (проводник длинный), α2=α=2π/3 (cos α2=cos (2π/3))=–½. Расстояние r0=d sin (π−α)= d sin(π/3)= d3/ 2 . Тогда магнитная индукция

Вектор В сонаправлен с вектором В1 и определяется правилом правого винта. На рис. это направление отмечено

значком X (перпендикулярно плоскости чертежа от нас).

76

Пример. По длинному прямому тонкому проводу течет ток силой ; . Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого проводником в точке, удален-

ной от него на расстояние .

Магнитное поле, создаваемое прямым бесконечно длинным проводником ничтожно малого сечения, обладает осевой

симметрией. Это значит, что абсолютная ве- r

личина В магнитной индукции B в данной точке будет зависеть только от ее расстояния до проводника. Поэтому все точки на окружности радиуса, лежащей в плоскости, перпендикулярной проводнику, будут иметь одинаковое значение магнитной индукции;

B 1 ,

0 2 r

где 0 — магнитная постоянная.

Направление вектора В зависит от положения точки па окружности и от

направления силы тока в проводнике. r

Вектор B направлен по касательной к проведенной нами окружности (это следует из закона Био — Савара — Лапласа, записанного в векторной форме). Линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора магнитной индукции, называется магнитной силовой линией. Окружность на рис. удовлетворяет этому условию, а следовательно, является

магнитной силовой линией. Направление магнитной силовой линии, а значит, r

и вектора B определено по правилу правого винта.

Пример. Два параллельных бесконечно длинных провода R и С, по которым текут в одном направлении токи силой ; , расположены на расстоянии друг от друга. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого проводниками с током в точке А, отстоящей от одного проводника на рас-

стоянии , от другого на расстоянии .

77

cos вычисляем по теореме косинусов

cos r12 r22 d 2 .

2r1r2

Пример. По контуру, изображенному на рисунке, идет ток силой I 10 А. Определить магнитную индукцию в точке 0, если радиус дуги R = 10 см,

= ό0°.

78

В силу принципа суперпозиции полей

Для нахождения магнитной индукции, создаваемой проводником ВС, воспользуемся формулой

где 1 300 , 2 900 , a Rsin R / 2. С учетом данных значений

Магнитная индукция BCA , создаваемая проводником СА в точке 0, равна нулю, т.к. для любого элемента [dl,r ]=0. Поскольку вектор BAB направлен от наблюдателя, а вектор BBC - к наблюдателю, то результирующая индукция равна

Пример. Постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного провода, имеющего круглое сечение радиусом R . Найти индукцию поля B снаружи и внутри провода.

79

Из симметрии задачи следует, что линии вектора

B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода, причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от

оси провода. По теореме о циркуляции вектора B для

контура L1:

B 2 r 0 I ,

Внутри провода, из тех же соображений симметрии следует, что линии B являются тоже окружностями. По теорема о циркуляции В для контура L2:.

B 2 r 0 I(r),

контуром. Отсюда находим, что внутри провода

графически.

Пример. По проводу, согнутому в вид квадрата со стороной , течет

r

ток силой ; . Найти магнитную индукцию B в точке пересечения диагона-

лей квадрата

80

Расположим квадратный виток в плоскости чертежа. Согласно принципу суперпозиции

магнитных полей магнитная индукция B поля квадратного витка будет равна геометрической сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждой стороной квадрата в отдельности:

B B1 B2 B3 B4.

В точке О пересечения диагоналей квадрата все векторы индукции будут направлены перпендикулярно плоскости витка «к нам». Кроме того, из соображения сим-

метрии следует, что абсолютные значения этих векторов одинаковы: B1 B2 B3 B4 . Это позволяет векторное равенство заменить скалярным ра-

венством

B 4B1.

Магнитная индукция B1 поля, создаваемого отрезком прямолинейного провода с током, выражается формулой

Подставив это выражение B1 в формулу, найдем

B 22 0I .

a

Пример. Плоский квадратный контур со стороной а, по которому течет ток ; свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией S . Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура от-

носительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на