Физика в задачах Ч.2. Электростатика, постоянный ток, электромагнетизм. Учебное пособие

61

Пример. Ток мощностью P1 необходимо передать на расстояние l при

напряжении U. Потери мощности на линии передачи не должны превышать k%. Какого сечения нужно взять алюминиевый провод?

По условию теряемая мощность P1 kP . С другой стороны мощность

электрического тока, выделяемая на проводнике P1 I 2 , отсюда

R

Сопротивление проводов R 2l , ρ=2,8·10-8Ом·м – удельное со-

S

противление алюминия. Приравниваем два выражения для сопротивления

kU2 2l S 2l P . P S kU2

Пример. Сила тока в проводнике сопротивлением = 20 Ом нарастает в течение времени ∆2 = 2 с по линейному закону от 4 = 0 до l 6 А . Определить теплоту Q1 , выделившуюся в этом проводнике за первую и Q2 — за

вторую секунды, а также найти отношение Q2 Q1

Закон Джоуля—Ленца в виде

Q I 2rt справедлив для случая постоянного

тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде

dQ I 2rdt.

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем слу-

чае

; = <2,

где k — коэффициент пропорциональности, численно равный приращению силы тока в единицу времени, т. е.

62

k I 6 А/с.

t 2 dQ k2rtdt.

Для определения теплоты, выделившейся за конечный промежуток времени t , выражение надо проинтегрировать в пределах от t1 до t :

t2

Q k2t t2dt 1 k2r(t23 t13).

3

t1

При определении теплоты, выделившейся за первую секунду, пределы интегрирования t = 0, t = 1 с и, следовательно,

Следовательно,

Q2 420 7, Q1 60

т. е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую.

Пример. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех сопротивлений и гальванометра. В этой цепи = 100 Ом, = 50 Ом, ? = 20 Ом, ЭДС элемента +4 = 2 В. Гальванометр регистрирует ток ;? = 50мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить ЭДС 2 вто-

рого элемента. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.Указание. Для расчета разветвленных цепей применяются законы Кирхгофа.

На основании законов Кирхгофа можно составить уравнения, необходимые для определения искомых величин (сил токов, сопротивлений и ЭДС).

Применяя законы Кирхгофа, следует соблюдать следующие правила:

1. Перед составлением уравнений произвольно выбрать: а) направления токов (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на чертеже; б)

направление обхода контуров.

63

2.При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа считать токи, подходящие к узлу, положительными; токи, отходящие от узла, отрицательными.

Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.

3.При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа надо считать, что: а) падение напряжения на участке цепи (т. е. произведение I@) входит

вуравнение со знаком плюс, если направление тока в данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура; в противном случае произ-

ведение I@входит в уравнение со знаком минус; б) ЭДС входит в уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении обхода контура, т. е. если при обходе приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока;

впротивном случае ЭДС входит в уравнение со знаком минус.

Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. Для составления уравнений первый контур можно выбирать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным выше способом, получены отрицательные значения силы тока или сопротивления, то это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течет в направлении, противоположном выбранному.

Выберем направления токов, как они показаны на рис., и условимся обходить контуры по часовой стрелке.

По первому закону Кирхгофа для узла F имеем

I1 I2 I3 0 .

По второму закону Кирхгофа имеем для контура ABCDFA

I1r1 I r2 1

или после умножения обеих частей равенства на I

I1r1 I r2 1.

Соответственно для контура AFGHAнайдем:

I1r1 I3r3 2.

После подстановки известных числовых значений в формулы получим: I1 I2 0,05 0;

50I1 25I2 1;

100I1 0,05 20 2;

64

Перенеся в этих уравнениях неизвестные величины в левые части, а известные — в правые, получим следующую систему уравнений:

I1 I2 0,05;

50I1 25I2 1;

100I1 2 1. Решая данную систему уравнений, получим

2 4 В.

Пример. Цилиндрический воздушный конденсатор с внутренним (R1) и внешним (R2) радиусами заряжен до разности потенциалов φ0 . Пространство

между обкладками заполняют слабопроводящей средой с удельным сопротивлением ρ. Определить силу тока утечки, если высота конденсатора равна h.

В случае слабопроводящей среды изменением разности потенциалов

φ0 можно пренебречь, считая φ0 = соnst. Так как участок однородный, то

I0 0 R ,

где R – полное сопротивление участка.

Величину R определим путем интегрирования. Элементарное сопротивление тонкостенного цилиндрического слоя толщиной dr и радиусом r составляет

dR ρ dr , 2πrh

откуда

Следовательно,

2 h

I0 ln R2 0R1 .

65

Пример. Определить сопротивление изоляции на один погонный метр длины провода диаметром d, если диаметр наружной проводящей оболочки равен D, а удельное сопротивление фарфоровой изоляции равно ρ.

По закону Ома в дифференциальной форме

j E ρ .

Напряженность электрического поля Е выразим через потенциал

где U0 – напряжение между проводом и наружной оболочкой изоляции. С учетом получененного выражения

полный ток, отнесенный к длине провода l, будет

Таким образом, в соответствии с законом Ома сопротивление изоляции на единицу длины будет

Пример. К источнику с электродвижущей силой ε подключены последовательно конденсатор емкостью С и резистор R. Найти закон изменения со временем заряда на обкладках конденсатора. Определить работу, совершаемую источником при заряде конденсатора, и количество теплоты, выделяющейся при этом в цепи.

На основании обобщенного закона Ома получим

ε dqdt R Cq .

После разделения переменных уравнение примет

вид

66

Интегрируя данное выражение в пределах от 0 до t и от 0 до q, после потенцирования получим закон изменения со временем заряда на обкладках конденсатора

q Cε 1 exp tCR .

Работа, совершаемая источником за все время зарядки конденсатора,

q

Aист Idt dq C 2 ,

00

где qк = Сε – конечный заряд конденсатора.

Количество теплоты, выделившейся за все время зарядки на сопротивление R, может быть найдено из закона сохранения энергии

Q Aист W,

где W qk2 C 2 - энергия заряженного конденсатора.

2C 2

С учетом найденного значения Аист получим

Q Cε2 .

2

Это выражение может быть получено и независимым путем из закона Джоуля-Ленца:

67

3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Основные формулы

Закон Био – Савара – Лапласа

d 0 dlr I , 4 r3

где d – магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с током; – магнитная проницаемость; 0 – магнитная постоянная μ4 = 4π ∙

10JKГн/м ; dl – вектор, равный по модулю длинепроводника dl и совпадающий по направлению с током (элемент проводника); I – сила тока; r – ра- диус-вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, магнитная индукция в которой определяется.

Модуль вектора d выражается формулой

d 0 I sin dl , 4 r2

где – угол между векторами dl и r .

где R – радиус кривизны проводника.

Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым

проводником с током,

B 0 I , 2 r

где r – расстояние от оси проводника.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника,

Обозначения ясны из рис. а. Вектор индукции перпендикулярен плоскости чертежа, направлен к нам и поэтому изображен точкой.

68

При симметричном расположении концов проводника относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рис.б),cos 2 cos 1 cos и, следовательно,

B 0 I cos . 2 r0

Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в средней его ча-

сти (или тороида на его оси)

0 nI,

где n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида;I- сила тока в одном витке.

Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция результирующего поля равна векторной сумме 1 , 2 ,…, n , магнитных индукций складываемых полей, т.е.

n

i.

i 1

Вчастном случае наложения двух полей

1 2,

амодуль магнитной продукции

B B12 B22 2B1B2 cos ,

где – угол между векторами 1 и 2 .

Закон Ампера. Сила, действующая на проводник с током в магни-

ном поле,

F l I ,

где I – сила тока; l – вектор, равный по модулю длине l проводника и совпадающий по направлению с током; – магнитная индукция поля.

Модуль вектора F определяется выражением

F BIl sin , где – угол между векторами l и .

Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных проводников с токами I1 и I2 , находящихся на расстоянии d друг от друга,

рассчитанная на отрезок проводника длиной l ,выражается формулой

F 0 I1I2 l . 2 d

Магнитный момент контура с током

m IS,

где S – вектор, равный по модулю площади S , охватываемой контуром, и совпадающий по направлению с нормалью к его плоскости.

Механический момент, действующий на контур с током, помещенный

где – угол между вектором нормали n к плоскости контура и вектором маг-

BndS ,

S

где интегрирование ведется во всей поверхности S .

Потокосцепление, т. е. полный магнитный поток, сцепленный со всеми

витками соленоида или тороида,

N ,

где – магнитный поток через один виток; N – число витков соленоида или тороида.

Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле

A I ,

где – изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром; I – сила тока в контуре.

Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея — Макс-

велла)

i N ddt ddt ,

где i – электродвижущая сила индукции; N –число витков контура; –

потокосцепление.

Частные случаи применения основного закона электромагнитной индук-

ции:

а) разность потенциалов U на концах проводника длиной l , движущегося со скоростью v в однородном магнитном поле,

U Blvsin ,

где – угол между направлениями векторов скорости v и магнитной Β индукции;

б) электродвижущая сила индукции i , возникающая в рамке, содержащей N

витков, площадью S , при вращении рамки с угловой скоростью в однород-

ном магнитном поле с индукцией B

i BNS sin t ,