Техническая термодинамика и теплопередача. Учебное пособие

Подобные комплексы носят название критериев подобия (мы уже ознакомились с Re), их принято обозначать первыми буквами фамилий ученых, много сделавших для развития данной области знания.

Последнее выражение можно переписать в несколько ином виде,

учитывая, что q = α – коэффициент теплоотдачи: t

в общем виде (вместо δ – l):

α l = Nu ,

λ

где α – коэффициент теплоотдачи; λ – коэффициент теплопроводно- сти; l – определяющий размер (длина, диаметр и т. д.).

Критерии подобия можно получить для любого физического процесса. Для этого надо иметь его математическое описание. Основные положения теории подобия можно сформулировать в ви- де трех теорем подобия.

Первая теорема подобия. Подобные между собой процессы имеют одинаковые критерии подобия. Справедливость этой теоре- мы мы подтвердили на примере теплопроводности в двух подобных системах и получили одинаковые критерии Nu для этих систем.

Вторая теорема подобия. Зависимость между переменными, характеризующими какой-либо процесс, может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия k1, k2, ... , kn, в виде f(k1, k2, ..., kn.) = 0. Подобные зависимости называются критериаль- ными уравнениями. Представляя результаты какого-либо опыта в критериях подобия, мы получим обобщенную зависимость, которая справедлива для всех подобных между собой процессов. Благодаря введению критериев, мы значительно уменьшили число параметров в уравнении. Температура, при которой выбираются физические параметры, входящие в критерии подобия, называется определяющей. В качестве определяющей можно выбрать среднюю температуру жидкости tж или среднюю температуру стенки tс – это зависит от конкретного процесса.

Третья теорема подобия (сформулирована М. В. Кирпичевым и А. А. Гухманом в 1931 г.). Два явления подобны, если они имеют подобные условия однозначности и численно одинаковые критерии подобия. На основании этой теоремы был предложен новый метод исследования – метод моделей, или моделирование.

72

Моделированием называется метод экспериментального изучения модели явления вместо самого явления. Этот метод применяется в тех случаях, когда трудно или невозможно изучить натурное явление (дорого, труднодоступно). Модель должна быть изготовлена так, чтобы процесс, протекающий в ней, был подобен натурному. При этом, конечно, должно соблюдаться геометриче- ское подобие и равенство критериев подобия. Например, при проек- тировании Красноярской ГЭС была изготовлена в масштабе модель русла реки и окружающих берегов и гор, проводилось исследование того, как изменятся рельеф и течение в результате постройки плотины. На основании этих исследований принималось решение по проектированию.

2.9. ОСНОВНЫЕ КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ

Рассмотрим некоторые основные критерии подобия. Их общая особенность – безразмерность, они отражают характеристики какого- либо процесса. И все названы именами известных ученых.

1.Re = w l/ν – критерий Рейнольдса, характеризует соотно- шения между инерционными силами (~ρw2) и силами вязкостного трения; l – характерный размер;ν – кинематическая вязкость; µ – ди- намическая вязкость, ν = µ/ρ.

2.Nu = αl/λ – критерий Нуссельта, представляет собой безраз- мерный коэффициент теплоотдачи, характеризует в подобных про- цессах связь между интенсивностью теплообмена и температурным

полем в пограничном; здесь α – коэффициент теплоотдачи; l – харак- терный размер; λ – коэффициент теплопроводности.

3.Pr = µcp/λ – критерий Прандтля, характеризует теплофизи- ческие свойства теплоносителя, по существу является теплофизиче- ской константой вещества. Значения числа Pr приводятся в справоч- никах; здесь cp – теплоемкость.

4.Gr = gβl3(tс – tж)/ν2 – критерий Грасгофа, характеризует отношение объемной силы, возникающей вследствие теплового рас- ширения жидкости, к силам вязкости; здесь g – ускорение свободного

падения; β = 1/Т – коэффициент объемного расширения; tс – tж – раз- ность температур стенки и жидкости.

5. M = w – критерий Маха, отношение скорости потока к мест- a

ной скорости звука, здесь a – скорость звука.

73

Критерий Маха чаще используется в газодинамике, аэро- механике.

Помимо названных критериев есть и другие. Перечислим неко- торые из них: критерии Пекле (Pe), Стантона (St), Эйлера (Eu), Нью- тона (Ne), Рэлея (Ra), Фруда (Fr), Галилея (Ga), Фурье (Fo), причем, некоторые из них представляют собой комбинацию других критериев.

В зависимости от условий теплообмена применяются разные критерии. Например, при вынужденной конвекции определяющими являются Re и Pr, а определяемым – Нуссельта (Nu); при естествен- ной конвекции определяющими являются критерии Pr и Gr, а сама критериальная зависимость имеет вид

Nu = f (Gr, Pr ).

2.10. КРИТЕРИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛООТДАЧИ

Мы рассмотрели один пример по нахождению критериального уравнения теплоотдачи – теплоотдачи при естественной конвекции вокруг горизонтальной трубы. Учеными в результате эксперимен- тальных исследований различных случаев движения жидкости были выведены десятки критериальных уравнений для конкретного случая и в конкретном диапазоне значений критериев. Все эти уравнения дают возможность вычислить коэффициент теплоотдачи α, не прово- дя эксперимента. Рассмотрим некоторые из них.

Продольное обтекание пластины. Ламинарный режим.

Коэффициент теплоотдачи при ламинарном течении теплоносителя в пограничном слое можно рассчитывать по формуле

где X = x/l – расстояние от начала пластины (безразмерное). Предел измерения безразмерных чисел:

Reж < Reкр = wж l/νж = 5 105; 0,6 ≤ Pr ≤15.

Индекс «ж» означает, что все теплофизические параметры, вхо- дящие в критерий, следует брать при температуре набегающего пото- ка tж, Prс – при температуре пластины tс.

74

0,25

Отношение Prж в целом (оно будет встречаться и в других

Prс

формулах) учитывает изменение свойств теплоносителя по толщине пограничного слоя. Для газов (уже отмечалось ранее) с достаточной

0,25

точностью можно считать, что Prж = 1.

Prс

При турбулентном течении зависимость будет другой (приво- дить ее не будем).

Течение теплоносителя внутри труб. Обобщение большого числа экспериментальных данных дает следующую зависимость для расчета коэффициента теплоотдачи от стенки трубы к текущему в ней теплоносителю на участке стабилизированного течения:

– формула М. А. Михеева, справедлива для турбулентного течения при Reж = 104…5 106 и Pr = 0,6…2 500, определяющим размером является внутренний диаметр трубы d. Если это не круглая труба, а канал произвольного сечения, то эта формула применима, только определяющим размером будет эквивалентный диаметр канала dэкв = 4 F/П, где F – площадь поперечного сечения; П – внутренний периметр этого сечения.

Определяющей температурой tж является средняя между темпе- ратурами теплоносителя на входе и выходе из трубы. Коэффициент εl учитывает влияние начального участка: при l/d ≥ 50, εl = 1, при l/d < 50, εl >1 – и берется из справочных таблиц.

Можно привести и другие расчетные зависимости для вычисле- ния коэффициента теплоотдачи α, они отличаются коэффициентами и определяющими критериями, а структура этих зависимостей одина- кова. Все эти зависимости можно найти в учебниках и справочной литературе в разделе «Расчетные соотношения теплоотдачи».

2.11. ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН

Тепловое излучение есть результат превращения внутренней энергии тел в энергию электромагнитных колебаний. При попада- нии тепловых лучей (волн) на другое тело их энергия частично поглощается этим телом, снова превращаясь во внутреннюю. Так осуществляется лучистый теплообмен между телами.

75

Тепловое излучение характеризуется длиной волны λ и частотой колебаний ν. При температурах, с какими имеют дело в технике, ос- новное количество энергии излучается при λ = 0,8…80 мкм. Эти лучи принято называть тепловыми (инфракрасными).

Тепловой поток, излучаемый с единицы поверхности тела по всем направлениям, называется поверхностной плотностью потока интегрального излучения E, Вт/м2. Он определяется природой данно- го тела и его температурой. Это собственное излучение тела.

Рассмотрим произвольное тело, на него падает энергия излуче- ния Епад, часть падающей энергии поглощается (ЕА), часть отражается (ER) и часть проникает сквозь него (ЕD). По закону сохранения энер-

ЕА

ЕD

Рис. 2.3. Распределение энергии излучения, падающей на тело

Если А = 1, то вся энергия поглощается телом. Тело, поглощаю- щее все падающее на него излучение, называется абсолютно черным.

Если R = 1, то вся энергия отражается от тела. Причем, отра- жение может происходить по законам геометрической оптики у зеркальных тел и диффузно – у абсолютно белых тел.

Если D = 1, то такие тела называются абсолютно прозрачными, или проницаемыми (диатермичными).

76

В природе не существует абсолютно черных, белых и про- зрачных тел. Если поверхность поглощает тепловые лучи, но не поглощает световые, она не кажется черной. Более того, наше зре- ние может воспринимать такую поверхность как белую, например, снег, для которого А = 0,98. Стекло, прозрачное в видимой части спектра, почти непрозрачно для тепловых лучей (А = 0,94).

Сумма потоков собственного и отраженного телом излучения называется его эффективным излучением:

Еэф = Е + R Eпад .

Суммарный процесс взаимного испускания, поглощения, отражения и пропускания энергии в системах тел называется лучи-

стым теплообменом.

2.12. ЗАКОН СТЕФАНА–БОЛЬЦМАНА

Поверхностная плотность потока интегрального излучения абсолютно черного тела в зависимости от его температуры описыва- ется законом Стефана–Больцмана:

E0 = σ0 T 4 ,

здесь σ0 = 5,67 10-8 Вт/м2 К4 – постоянная Стефана–Больцмана. Для технических расчетов закон Стефана–Больцмана записывается в бо- лее удобной форме:

E0 = C0 (T 100)4 ,

где С0 = σ0 108 = 5,67 Вт/м2 К4 – коэффициент излучения абсолютно черного тела.

Тела, с которыми имеют дело на практике, излучают меньше теп- ловой энергии, чем абсолютно черные тела при той же температуре.

Отношение поверхностной плотности потока собственного интегрального излучения Е данного тела к поверхностной плотности потока интегрального излучения Е0 абсолютно черного тела при той же температуре называется степенью черноты этого тела:

ε = E E0 .

Степень черноты ε меняется для различных тел от нуля до еди- ницы в зависимости от материала, состояния поверхности и темпера-

77

туры. Используя это понятие, можно записать закон Стефана– Больцмана для реального тела:

E = εE0 = εC0 (T 100)4 = C (T 100)4 .

Здесь С = С0ε – коэффициент излучения реального тела, Вт/м2К4. Согласно закону Кирхгофа, степень черноты любого тела в со-

стоянии термодинамического равновесия численно равна его коэф- фициенту поглощения при той же температуре, т. е. А = ε. В соответ- ствии с этим законом отношение энергии излучения к коэффициенту поглощения (Е/А) не зависит от природы тела и равно энергии излу- чения Е0 абсолютно черного тела при той же температуре. Чем боль- ше коэффициент поглощения, тем больше и энергия излучения этого тела при заданной температуре. Если тело мало излучает, то оно мало и поглощает. Абсолютно белое тело не способно ни излучать, ни по- глощать энергию.

2.13.ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ СИСТЕМЫ ТЕЛ

ВПРОЗРАЧНОЙ СРЕДЕ

Рассмотрим теплообмен лучистой энергией между двумя еди- ничными (например, по 1 м2) поверхностями, обращенными друг к другу с небольшим зазором, причем Т1 > Т2 (рис. 2.4.). В этой систе- ме Е1 – энергия собственного излучения первого тела на второе, Е2 – второго на первое.

E1A1

E1(1 – A2)A1

E1(1–A2)

E2

E2 A1

Рис. 2.4. Схема лучистого теплообмена между двумя телами

78

Если Е1 – падающее излучение первого тела на второе, то часть излучения Е1 А2 поглощается вторым телом, а часть Е1(1 – А2) отражается и вновь возвращается отраженной первому телу. Из этого опять поверхность первого тела поглощает Е1(1 – А2) А1 и отражает Е1(1 – А2)(1 – А1) и т. д. Такое же рассуждение можно провести об энергии излучения второго тела. Вывод полностью приводить не будем. Окончательный вид формулы для полного теплового потока, передаваемого излучением между двумя телами, будет сле- дующим:

где εПР=1/(1/ε1 + 1/ε2 – 1) – приведенная степень черноты системы тел; F – площадь теплообменной поверхности, одинаковая в этом случае для обоих тел; С0 – коэффициент излучения, С0 = 5,67 Вт/м2К. Значения ε1 и ε2 можно найти в справочниках, если известны материалы поверх- ностей.

В случае теплообмена между произвольными телами каждое из них излучает на другое лишь часть энергии, излучаемой им по всем направлениям, остальная энергия рассеивается в пространстве или попадает на другие тела. В этом случае в последнюю формулу вводится поправочный коэффициент, называемый коэффициентом облученно- сти тела ϕ1,2 и учитывающий долю облучения первого тела, которая воспринимается вторым.

Таким образом, теплообмен между двумя произвольно располо- женными телами может быть рассчитан по формуле

Коэффициент облученности называют также угловым коэффи- циентом излучения. Это чисто геометрический фактор, зависящий только от формы, размеров тела и взаимного расположения тел. Различают коэффициент облученности первым телом второго ϕ1,2 и коэффициент облученности вторым телом первого ϕ2,1. При этом ϕ1,2 F1 = ϕ2,1 F2 . Коэффициент облученности определяется аналити-

чески или экспериментально. Для большинства частных случаев,

79

имеющих место в технике, значения коэффициентов облученности или соответствующие формулы для их расчета приводятся в спра- вочниках. Если все излучение одного тела попадает на другое,

то ϕ1,2 = 1.

2.14. СЛОЖНЫЙ ТЕПЛООБМЕН И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА

Разделение теплопереноса на теплопроводность, конвекцию и излучение удобно для изучения этих процессов. В действительности очень часто встречается сложный теплообмен, при котором теплота передается двумя или даже тремя способами одновременно.

Процесс переноса тепла между потоком излучаемого газа и твердой поверхностью также является результатом свободного дей- ствия конвективного теплообмена и излучения. В целом интенсив- ность сложного теплообмена в этом случае характеризуют суммар- ным коэффициентом теплоотдачи:

α = αк + αл .

Обычно считают, что конвекция и излучение не влияют друг на друга. Коэффициент теплоотдачи конвекцией αк считают по фор- мулам приведенным в п. 2.10, а под коэффициентом теплоотдачи излучением αл понимают отношение плотности теплового потока излучения к разности температур поверхности и газа:

αл = qл (tс − tг ).

При рассмотрении процесса переноса теплоты от нагретого теплоносителя к холодному через разделяющую их твердую стенку задача еще более усложняется. Такой процесс называется теплопере- дачей. Он объединяет все рассмотренные нами ранее элементарные процессы. Вначале теплота передается от горячего теплоносителя tж к одной из поверхностей стенки путем конвективного теплообмена, который может сопровождаться излучением. Интенсивность теплоот- дачи характеризуется коэффициентом α1.

Затем теплота теплопроводностью переносится от одной поверх- ности к другой (а стенок может быть и несколько), затем опять путем конвективного теплообмена, характеризуемого коэффициентом α2, теп- ло передается от поверхности стенки к холодному теплоносителю с tж2.

80