Техническая термодинамика и теплопередача. Учебное пособие

К основным термодинамическим процессам относятся:

−изотермический (T = const);

−изобарный (p = const);

−изохорный (v = const);

−адиабатный (pvk = const, dq = 0).

Их изображения в р, v-координатах представлены на рис. 1.1.

В качестве обобщающего процесса в термодинамике рассматри- вается политропный процесс pvn = const (n – показатель политропы). Более подробно мы рассмотрим его в дальнейшем.

1.5. ТЕПЛОЕМКОСТЬ

Теплоемкостью называется количество тепла, которое необхо- димо сообщить телу, чтобы повысить его температуру на 1 К.

Обычно теплоемкость относят к единице количества вещества

ив зависимости от этого различают:

−удельную массовую теплоемкость с, отнесенную к 1 кг газа, Дж/(кг К);

−удельную объемную теплоемкость с′, отнесенную к 1 м3 при нормальных физических условиях, Дж/(м3К);

−удельную мольную теплоемкость µс, отнесенную к одному кмолю, Дж/(кмоль К).

Математическое выражение для удельной теплоемкости опреде- ляется следующим образом: если при температуре Т сообщить 1 кг газа бесконечно малое количество тепла dq, то температура газа из-

менится на dT, и тогда с = dq/dT, или dq = c dT – основное уравнение теплоты в дифференциальном виде.

Теплоемкость однородного газа зависит от следующих факто- ров: природы газа, характера процесса, температуры. Рассмотрим влияние этих факторов подробнее.

1. Природа газа. Чем сложнее газ, чем выше его молярная масса, чем выше степень связи у его молекул, тем выше его теплоем- кость. Более полные сведения об этом можно найти в молекулярно- кинетической теории.1

1 Мухачев Г. А., Щукин В. А. Термодинамика и теплопередача : учебник для вузов. 3-е изд., перераб. М. : Высш. шк., 1991.

11

2. Характер процесса. Теплоемкость является функцией про- цесса, т. е. зависит от характера подвода тепла. Это означает, что одно и то же рабочее тело в зависимости от процесса требует для своего нагревания на 1 К различного количества теплоты. Численная вели- чина теплоемкости меняется от +∞ до −∞ .

В термодинамических расчетах большое значение имеют тепло-

Между этими теплоемкостями есть взаимосвязь, выраженная уравнением Майера:

сp – cv = R, или сp – cv = 8 314 Дж/(кмоль К).

Из уравнения Майера видно, что сp > cv (так как сp = cv+R, R – величина положительная). Дело в том, что в процессе V = const тепло- та, сообщаемая газу, идет лишь на изменение его внутренней энергии, тогда как в процессе р = const теплота расходуется и на увеличение внутренней энергии, и на совершение работы против внешних сил (напомним, что по физическому смыслу R – работа).

Если повышать температуру газа путем его сжатия, не подводя и не отнимая тепло, то процесс называется адиабатным, в этом случае имеем:

dq = 0, т. е. dq = cdT = 0, c = dq/dT = 0.

При изотермическом процессе:

Т = const, dT = 0 и dq = 0, так как dq = cdT = 0, c = dq/dT = 0/0 = ±∞.

Отношение ср/cv численно равно показателю адиабаты k. Показа- тель адиабаты k зависит от количества атомов в молекуле газа. Для двухатомных газов (и воздуха) k = 1,4; для одноатомных газов k = 1,67; для трехатомных k = 1,33.

3. Температура. Опыты показывают, что при повышении температуры газа колебательные движения атомов в молекуле усили- ваются, на что расходуется все большее и большее количество энер- гии. Следовательно, чем выше температура, тем больше теплоты приходится расходовать для нагревания газа на 1°, т. е. теплоемкость возрастает с ростом температуры.

12

Таким образом, теплоемкость с зависит от температуры t. Эта зависимость может быть представлена в следующем виде:

c = со + аt + bt2 + dt3 + ...,

где со – теплоемкость при 0 °С; а, b, d – постоянные коэффициенты. В технических расчетах можно применять линейные зависимо-

сти, так как коэффициенты b, d весьма малы:

c = со+at.

На графике (рис. 1.2) представлены две зависимости: полином 2-й степени и линейная.

C

c = c0 + at

c = c0 + at + bt2

t

Рис. 1.2. Зависимость истинной теплоемкости от температуры

Поскольку теплоемкость зависит от температуры, в термодина- мике различают истинную и среднюю теплоемкости.

Средней теплоемкостью сср данного процесса в интервале температур от t1 до t2 называется отношение количества теплоты, со- общаемое газу, к разности конечной и начальной температур:

Выражение с = dq/dT определяет теплоемкость при данной температуре, или так называемую истинную теплоемкость.

1.6. РАБОТА И РАБОЧАЯ ДИАГРАММА

Рассмотрим процесс изменения состояния 1 кг газа в цилиндре с подвижным поршнем, двигающимся без трения; давление окружаю- щей среды р, площадь поршня F (рис. 1.3). Подведем к цилиндру теп- ло q; газ нагреется, расширится и сдвинет поршень на высоту dh.

13

Тогда элементарная работа, совершаемая газом против сил дав- ления, равна:

dl = p F dh = pdv.

Таким образом, элементарная работа равна произведению дав- ления газа на изменение его объема: dl = pdv. Работу, совершаемую при расширении газа, называют также технической.

F

P

dh

1 кг раб. тела

q

Рис. 1.3. К определению физического смысла работы

Для графического определения работы удобно пользоваться диаграммой, по которой на оси абсцисс откладывается значение удельного объема газа v, по оси ординат – установившееся при этом давление (рис. 1.4).

Линия 1–2 характеризует процесс расширения газа; выделим элементарный участок, где р = const, с основанием dv.

Тогда выражение pdv представляет элементарную работу dl: pdv = dl, а графически – это площадь элементарного участка. Для на- хождения всей работы в процессе 1–2 надо взять интеграл:

v2

l = ∫ pdv .

v1

14

Работа при увеличении объема газа принимается за положи- тельную, при сжатии работа отрицательная.

Рассмотрим некоторые примеры (рис. 1.5).

Для случая р = const – изобарный процесс расширения (1–2) или сжатия (2–1):

v2

l = ∫ pdv = р(v2 – v1).

v1

15

Для случая v = const – изохорный процесс (dv = 0) работа не совершается:

dl = pdv = 0

P

L

а

V

1

2

V1 = V2 V

б

Рис. 1.5. Определение работы: а – изобарного;

б– изохорного процесса

Всистеме СИ работа измеряется в джоулях: 1 Дж = 1 Н м.

1.7.ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ И ТЕПЛОТА

Молекулы газообразного рабочего тела находятся в постоянном хаотичном движении. Внутренняя энергия состоит из кинетической энергии поступательного, вращательного и колебательного движения молекул, потенциальной энергии взаимодействия молекул, энергии внутриатомных и внутриядерных движений частиц, из которых состоят атомы, и др.

16

Внутренняя кинетическая энергия является функцией темпера- туры:

Uкин = f(T).

Между молекулами реального газа существуют силы взаимо- действия. Эти силы определяют по потенциальной энергии:

Uпот = f(р,v).

Тогда полная энергия

U = Uкин + Uпот= f (р, v, T).

Таким образом, полная внутренняя энергия систем является функ- цией основных параметров состояния, т. е. функцией состояния.

В идеальном газе силы сцепления между молекулами отсутст- вуют, т. е. для идеального газа внутренняя энергия является функцией только температуры: U = f(T). Для идеального газа dU = cvdT.

Техническое определение внутренней энергии. Внутренняя энергия – это тепловой параметр состояния, численно равный теплу, которое нужно сообщить 1 кг газа, чтобы повысить его температуру от условного 0 (для газа обычно 0 °С) до заданной температуры в процессе V = const.

Внутренняя энергия может переходить в другие виды энергии или передаваться от тела с большим ее запасом к телу с меньшим за- пасом, в последнем случае она проявляется в виде теплоты. Теплота – это форма проявления внутренней энергии, результат процесса. Внут- ренняя энергия – функция состояния рабочего тела.

Единицы измерения теплоты, внутренней энергии такие же, как для измерения работы, – джоуль; в случае удельных величин – Дж/кг.

1.8. ЭНТАЛЬПИЯ

Одной из энергетических характеристик термодинамической системы является тепловая функция, или энтальпия. Энтальпию называют вторым тепловым параметром состояния (первый параметр – внутренняя энергия).

Рассмотрим полную энергию системы, состоящей из рабочего тела (газа) и поршня с грузом (рис. 1.6).

Полная энергия системы состоит из внутренней энергии рабочего тела U и потенциальной энергии поршня с грузом:

U + pFh = U + pv = i.

17

Это выражение обозначим через i и назовем энтальпией. Энтальпия представляет собой сумму внутренней энергии системы и произведение давления системы р на объем v. Единица измерения удельной энтальпии – Дж/кг.

Рис. 1.6. К определению физического смысла энтальпии

Энтальпией удобно пользоваться в тех случаях, когда в качестве независимых переменных выбирают давление р и температуру.

Для идеального газа di = CpdT.

Техническое определение энтальпии: энтальпия – это тепловой параметр состояния рабочего тела, численно равный теплу, которое необходимо сообщить 1 кг, чтобы повысить его температуру от услов- ного 0 (для газов обычно 0 °С) до заданной в процессе р = const.

1.9.ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

Вприроде существует множество различных видов энергии (кинетическая, электрическая, внутренняя и т. д.), качественно отличающихся друг от друга. Энергия одного вида в результате взаимодействия тел может превращаться или переходить в любой другой вид энергии, причем в изолированной системе сумма всех видов энергии остается постоянной.

Вчисле первых ученых, утверждавших принцип сохранения материи и энергии, был М. В. Ломоносов. В своем знаменитом пись- ме к Эйлеру он писал: «Все перемены, в натуре случающиеся, такого суть состояния, что сколько чего у одного тела отнимается, столько же присовокупляется к другому. Так, ежели где убудет несколько материи, то умножится в другом месте. Сей всеобщий естественный закон простирается и в самые правила движения. Ибо тело, движущее

18

своей силой другое, столько же оные у себя теряет, сколько сообщает другому, которое от него движение получает».

Первый закон (первое начало) термодинамики представляет собой частный случай всеобщего закона сохранения и превращения энергии применительно к тепловым явлениям. Он утверждает, что энергия не исчезает и не возникает вновь, она лишь переходит из одной формы в другую.

Пусть телу произвольной массы сообщается тепло dQ, при этом происходит следующее:

−изменится внутренняя кинетическая энергия dUкин;

−изменится внутренняя потенциальная энергия dUпот;

Mw2

− изменится внешняя энергия системы d + d ( gMh).2

В последнем выражении первый член характеризует изменение внешней кинетической энергии, второй – внешней потенциальной.

Кроме того, рабочее тело может совершать работу против внеш-

них сил dLвнеш.

Уравнение баланса энергии имеет следующий вид:

Для идеального газа d(Mgh) = 0, для относительно неподвижного

Mw2

рабочего тела d = 0, тогда:2

dQ = dU + dLвнеш,

или для 1 кг рабочего тела

Уравнение (5) представляет собой математическую формулировку первого закона термодинамики. Каждый из трех членов этого уравнения может быть положительным, отрицательным или равным 0.

В соответствии с уравнением (5) первый закон можно сформу-

лировать так: тепло, подводимое к рабочему телу, частично идет

на изменение его внутренней энергии, частично – на совершение

работы.

Проанализируем первый закон с математической точки зрения: du – полный дифференциал, так как внутренняя энергия является функцией состояния. Элементарная работа dl не является полным

19

дифференциалом, так как работа зависит от процесса, а не от со- стояния. Следовательно, их сумма dq не является полным диффе- ренциалом, т. е. тепло участвующее в процессе, зависит от характе- ра процесса.

Рассмотрим некоторые модификации этого уравнения. С учетом dl = pdv получим:

dq = du + pdv.

Для идеального газа

dq = cvdT + pdv.

Продифференцируем выражение для энтальпии газа i = u + pv: di = du + pdv + vdp, но так как du + pdv = dq, то di = dq + vdp, или окончательно

dq = di – vdp.

Первый закон термодинамики дает количественное соотноше- ние между теплом, работой и внутренней энергией.

1.10. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ. ЭНТРОПИЯ

Немецким ученым Рудольфом Клаузиусом в 1854 году при исследовании условий превращения тепла в работу была введена в термодинамику специальная математическая функция, названная им энтропией, что в переводе с греческого tropos означает превращение или преобразование.

Рассмотрим в p, v-координатах произвольный обратимый про- цесс 1–2 изменения состояния газа (рис. 1.7).

P

1

dq

2

V

Рис. 1.7. К определению понятия энтропии

20