Техническая термодинамика и теплопередача. Учебное пособие

Разобьем весь процесс на бесконечно большое число бесконечно малых отрезков и будем считать, что температура рабочего тела на каждом элементарном участке процесса ввиду его малости остает- ся неизменной. Для каждого участка отношение бесконечно малого количества тепла dq, подводимого к рабочему телу на этом участке, к постоянной температуре T, при которой это тепло подведено, dq/dT, тоже представляет собой бесконечно малую величину, обозначенную через ds, т. е. dq/dT = ds.

Для процесса 1–2 можно это уравнение проинтегрировать:

где ∆S – изменение энтропии.

С использованием понятия энтропии элементарное приращение количества тепла можно представить в виде

Уравнение (6) представляет собой аналитическую форму записи второго закона термодинамики. Математическая запись второго зако- на показывает, что dq и dS имеют одинаковые знаки. При подводе теплоты dq > 0, и энтропия тела возрастает (dS > 0), а при отводе теп- лоты (dq < 0) – убывает (dS < 0).

Энтропия представляет собой некоторую однозначную функцию состояния рабочего тела, принимающую для каждого состояния вполне определенное значение, это третий тепловой параметр состоя- ния. Единица изменения удельной энтропии – Дж/(кг К).

Понятие энтропии позволяет ввести чрезвычайно удобную для термодинамических расчетов T, S-диаграмму, на которой (как и на p, v-диаграмме) состояние системы изображается точкой, а равновесный термодинамический процесс – линией (рис. 1.8). Изобразим произвольный процесс 1–2.

Из уравнения (5) следует, что

2

dq=TdS, q = ∫TdS.

1

Очевидно, что в T, S-диаграмме элементарная теплота процесса dq изображается элементарной площадкой с основанием dS и высотой T, а площадь, ограниченная линией процесса, крайними ординатами и осью абсцисс, эквивалентна теплоте процесса q.

21

Вот почему изображение в T, S-координатах называют тепловой диаграммой по аналогии с рабочей диаграммой в p, v-координатах (там площадь эквивалентна работе).

dq

T

dS

S

Рис. 1.8. Графическое изображение теплоты в T, S-координатах

Для того чтобы вычислить тепло q, надо знать вид зависимости T(S), т. е. знать характер процесса (рис. 1.9).

T

а

S = const

2

б S

Рис. 1.9. Изображение процессов в T, S-координатах:

а – изотермического; б – адиабатного

22

Рассмотрим два примера:

1. Изотермический процесс (T = const). В этом случае

S2

q = ∫ TdS = T (S2 − S1 ) .

S11

Применим к этому процессу I закон термодинамики: dq = cvdT + pdv, но так как T = const, то dT = 0 и dq = pdv – все тепло идет на совершение работы.

2. Адиабатный процесс (dq = 0). В этом случае dq = TdS = 0,

но так как T ≠ 0, то dS = 0, или S = const – уравнение адиабатного процесса в T-S-координатах.

Опять вспомним I закон: dq = du + dl, но так как dq = 0, то 0 = du + dl. Последнее уравнение удовлетворяет двум характерным случаям:

1)du = dl – адиабатное расширение (процесс 1–2);

2)du = – dl – адиабатное сжатие (процесс 2–1).

Общая формулировка второго закона термодинамики.

Первый закон устанавливает количественное соотношение между теплом и работой. С точки зрения первого закона любой мыслимый процесс, который не противоречит закону сохранения энергии, прин- ципиально возможен в природе.

Ответ о направлении протекания процессов дает второй закон термодинамики. Одна из его формулировок гласит: «Теплота сама собой (без компенсации) не может переходить от тел с низкой темпе- ратурой к телам с высокой температурой» (Клаузиус, 1850).

Переход тепла от тела холодного к телу горячему возможен (в холодильной машине), но осуществляется переход не самопроиз- вольно, а за счет затраты энергии (холодильник включен в электросеть).

Статистическое толкование второго закона термодинами-

ки. Второе начало термодинамики основано на том факте, что неупо- рядоченных состояний имеется намного больше, чем упорядоченных. Рассмотрим, например, коробку с «картинкой-загадкой», которую нужно составить из кусков. Пусть имеется только одно размещение кусочков, при котором они создают картинку. Но, с другой стороны, существует очень большое число размещений, где кусочки находятся в беспорядке и никакой картинки не образуют.

23

Наиболее вероятным для замкнутой системы будет состояние теплового равновесия. В то же время маловероятным был бы само- произвольный выход системы из состояния равновесия.

Необратимые процессы во всем окружающем мире протекают так, что система переходит из состояния менее вероятного в более вероятное, причем беспорядок в системе увеличивается. Следова- тельно, энтропия является мерой беспорядка в системе.

Доказано, что для замкнутых систем энтропия всегда возраста- ет: dS ≥ 0 .

Это положение представляет собой наиболее общую формули- ровку второго начала термодинамики, известную под названием критерия возрастания энтропии.

Следует подчеркнуть что неравенство dS ≥ 0 применимо только к изолированным системам.

Больцман доказал (1872), что между термодинамической веро- ятностью данного состояния системы Р и энтропией S существует функциональная зависимость:

S = k ln P,

где k – постоянная Больцмана.

С принципом возрастания энтропии в замкнутых системах связаны представления о «тепловой смерти Вселенной», выдвинутые Клаузиусом, который утверждал: «Энергия мира постоянна, энтропия мира стремится к максимуму». Достижение конечного состояния теплового равновесия и прекращение всех процессов – это тепловая смерть Вселенной.

Однако Вселенную нельзя рассматривать как конечную изоли- рованную систему. В космосе есть и такие процессы, которые не под- чиняются законам термодинамики конечных систем.

1.11. КРУГОВОЙ ЦИКЛ

Чтобы выяснить особенности превращения тепла в работу в теп- ловых двигателях и понять сущность второго закона, рассмотрим, как должно изменяться состояние рабочего тела в такой непрерывно дейст- вующей машине, как поршневой тепловой двигатель.

Тепловой двигатель должен непрерывно превращать теплоту в работу, иначе бы он нас не удовлетворял.

24

В поршневом тепловом двигателе за счет подвода тепла температура рабочего тела увеличивается, газ расширяется и со- вершает полезную работу (рис. 1.10). Можно ли по этой схеме получать работу непрерывно? Очевидно, нельзя, так как рабочее тело, получая тепло от горячего источника тепла, постепенно повы- сит свою температуру, и наступит такой момент, когда температура рабочего тела будет равна температуре источника тепла, дальней- шая передача тепла прекратится и поршень остановится.

Раб. тело

q

Рис. 1.10. Термодинамическая схема теплового двигателя

Невозможность непрерывного расширения рабочего тела требует того, чтобы оно из определенного состояния было возвра- щено в исходное, а поршень – в первоначальное положение. Для этого расширившееся рабочее тело надо сжать, затратить на это работу.

Рассмотрим процесс в p,v-координатах (рис. 1.11).

P

1

a

2

b

Рис. 1.11. Круговой процесс (цикл) в p,v-координатах

25

Расширяясь по линии 1–а–2, рабочее тело совершает работу, равную площади v1–а–2–v2. Если вернуть тело в исходное состояние по тому же пути, то при этом потребуется совершить над рабочим телом ту же самую работу. Это не имеет смысла, так как суммарная работа – работа цикла – окажется равной нулю.

Для того чтобы двигатель непрерывно производил работу, рабо- та расширения должна быть больше работы сжатия, поэтому кривая сжатия 2–b–1 должна лежать ниже кривой расширения, в итоге будет получена полезная работа, равная площади 1–a–2–b–1.

Таким образом, для непрерывной работы двигателя необходим циклический процесс, в котором рабочему телу от горячего источни- ка с температурой Т1 подводится теплота q1 и отводится от него к хо- лодному источнику с температурой Т2 < Т1 теплота q2.

Так как часть тепла рабочего тела возвращается к холодному источнику в виде тепла q2, только разность q1–q2 превращается в полезную работу. Отсюда вытекает еще одна формулировка второго закона: вечный двигатель второго рода невозможен (т. е. такой, который мог бы работать при наличии только одного источника тепла).

Под коэффициентом полезного действия (КПД) теплового дви- гателя понимают отношение тепла, превращенного в полезную работу, ко всему теплу затраченному:

q1 − q2 = 1 − q2 = ηt , q1 q1

где q1 – затраченное тепло; ∆q = q1 – q2 – полезное тепло; q2 – тепло, возвращенное холодному источнику; ηt – термический КПД теплового двигателя.

В тепловых двигателях q2 > 0, поэтому ηt < 1 (строго меньше единицы).

1.12. ПРЯМОЙ ЦИКЛ КАРНО

Итак, для превращения теплоты в работу в непрерывно дейст- вующей машине нужно по крайней мере иметь источник тепла (горячий источник), рабочее тело, совершающее термодинамический процесс, и тело, способное охлаждать рабочее тело (холодный источник).

Такой цикл, дающий максимальный КПД и состоящий из двух изотерм и двух адиабат, был предложен французским инженером

26

Сади Карно в 1824 году в его единственной работе «Размышление о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу». Главная идея работы Карно заключается в следующем: в процессе превращения теплоты от горячего нагревателя в работу должна происходить отдача теплоты холодному резервуару.

Рис. 1.12. Прямой цикл Карно

Осуществление цикла Карно в тепловой машине можно представить следующим образом (рис. 1.12). Газ (рабочее тело) с на- чальными параметрами, характеризующимися точкой 0, помещен в цилиндр под поршень, причем стенки цилиндра нетеплопроводные, так что тепло может передаваться через основание цилиндра. Вводим цилиндр в соприкосновение с горячим источником теплоты с темпе- ратурой Т1. Газ расширяется изотермически при температуре Т1: 0–1– изотермическое расширение.

В точке 1 подвод тепла прекращается, и дальнейшие расширение идет по адиабате 1–2 только за счет внутренней энергии, в результате чего температура падает до Т2.

Теперь возвратим рабочее тело в начальное состояние. Для этого поместим рабочее тело на холодный источник с температурой Т2 и будем сжимать по изотерме 2–3, совершая работу и отводя тепло q2 к холодному источнику. Завершаем сжатие по адиабате 3–0 без подвода тепла, температура увеличивается до Т1. Выведем формулу термического КПД цикла Карно, используя ηt для любого цикла:

27

Из формулы видно, что термический КПД цикла Карно зависит только от абсолютных температур горячего и холодного источников – это теорема Карно.

Увеличение КПД возможно либо за счет увеличения температу- ры Т1 горячего источника, либо за счет уменьшения Т2 холодного, причем влияние Т1 и Т2 на значение ηt различно:

Таким образом, увеличение температуры горячего источника в меньшей степени повышает КПД цикла Карно, чем такое же (в кельвинах) уменьшение температуры холодного1.

КПД реальных тепловых двигателей будет значительно ниже КПД цикла Карно по следующим причинам:

1)не всегда целесообразно добиваться в тепловых двигателях осуществления цикла Карно;

2)цикл Карно состоит только из обратимых процессов (что не- реально на практике);

3)в реальных тепловых двигателях кроме потери тепла, имею- щей место в цикле Карно, есть другие потери, например, связанные

сохлаждением двигателя.

1.13. ОБРАТНЫЙ ЦИКЛ КАРНО

Особенностью обратного цикла Карно (рис. 1.13) является то, что рабочее тело получает тепло q2 при температуре Т2 (от холодного источ- ника), а отдает тепло q1 при температуре Т1 (горячего источника), причем отдает его в большем количестве, чем получает, и если в прямом цикле Карно результатом является получение полезной работы, то для осуще- ствления обратного цикла Карно необходимо затратить работу:

l0 = q1 – q2.

Обратный цикл Карно является идеальным циклом холодильных установок и так называемых тепловых насосов. Эффективность холо- дильной установки оценивается холодильным коэффициентом ε, определяемым как отношение количества теплоты, отнятой за цикл

1 Резников А. Н., Резников Л. А. Тепловые процессы в технологических сис- темах : учебник для вузов. М. : Машиностроение, 1990.

28

от холодильной камеры (холодопроизводительности), к затраченной в цикле работе:

Рис. 1.13. Обратный цикл Карно

Заметим, что чем меньше разность температур между холодиль- ной камерой и окружающей средой, тем меньше нужно затратить энергии для передачи теплоты от холодного тела к горячему и тем выше холодильный коэффициент.

1.14. ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЕ В Р, V И T, S-КООРДИНАТАХ

Основными термодинамическими процессами являются: изо- барный (p = const), изохорный (V = const), изотермический (Т = const), адиабатный (pvk = const, dq = 0) и политропный (pvn = const) процессы.

Рассмотрим ниже основные характеристики данных процессов

вопределенной последовательности:

1)определяется уравнение процесса, устанавливается связь ме- жду начальными и конечными параметрами;

2)вычисляется работа изменения объема газа;

3)определяется количество теплоты, подведенной к газу (или отведенной от него) в процессе;

4)определяется изменение внутренней энергии системы в про-

цессе;

5)определяется изменение энтропии в процессе;

6)изображается процесс в р, v и Т, S-координатах.

29

Изохорный процесс. При изохорном процессе dv = 0, так как v = const. Из уравнения состояния р1v = RT1, p2v = RT2 следует связь между начальными и конечными параметрами:

p2 = Т2 . p1 Т1

Работа расширения изохорного процесса описана формулой

dl = pdv = 0.

Количество теплоты, подведенной к рабочему телу

T1

Изменение внутренней энергии системы в процессе dv = 0 будет определяться следующим образом:

u = cv (T2 − T1 ) при cv = const, или

Для определения изменения энтропии в изохорном процессе во

втором законе термодинамики dS = dq произведем замену dq = cvdT T

и проинтегрируем получившееся выражение. В результате получим

S2 – S1 = cv lnT2/T1,

т. е. зависимость энтропии от температуры при cv = const имеет лога- рифмический характер.

Изобразим изохорный процесс в р, v и Т, S-координатах (рис. 1.14).

Рис. 1.14. Изохорный процесс в p, v и T, S-координатах

30