Теоретический курс механики анизотропного тела. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Д.А. Иванычев

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС МЕХАНИКИ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

Учебное пособие

z

0

fy

l

M

x

0

y

Липецк Липецкий государственный технический университет

2019

УДК 539.3(07) И233

Рецензенты:

кафедра вычислительной механики и математики Тульского государственного университета;

Шашкин А.И., д-р физ.-мат. наук, проф., декан факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета

Иванычев, Д.А.

И233 Теоретический курс механики анизотропного тела [Текст]: учеб. пособие / Д.А. Иванычев. – Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2019. – 85 с.

ISBN 978-5-88247-929-8

В учебном пособии изложены основные формулы и определяющие соотношения для расчета анизотропных тел, позволяющие эффективно решать разнообразные инженерные задачи для элементов конструкций, деталей из современных материалов. В пособии рассмотрены анизотропные балки различной конфигурации, пластинки, как сплошные конечной длины, так и бесконечные, ослабленные отверстием. В некоторых задачах для сравнения показано распределение напряжений в телах из изотропного материала. По каждой теме приводится теоретическая справка.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям инженерной подготовки.

Печатается по решению редакционно-издательского совета ЛГТУ.

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Вучебном пособии достаточно кратко изложены основные положения теории упругости анизотропного тела, традиционно входящие в аналогичные разделы дисциплины теории упругости. При постановке каждой задачи использованы термины теории упругости и показаны выражения для определения напряженно-деформированного состояния. Рассмотрены такие вопросы, как плоские задачи анизотропной упругости для тел прямоугольной и клинообразной формы, изгиб стержней сосредоточенными и распределенными силами, распределение напряжений в сплошной упругой бесконечной среде, а также в среде, имеющей вырезы. Вся представленная теория опирается на математическую базу и является строгой. В пособии рассмотрены материалы, обладающие анизотропией общего вида и ортотропные материалы, так как последние наиболее распространены. Для ряда задач приведены эпюры распределения напряжений, а также дано сравнение результатов решений аналогичных задач для изотропной среды.

Вконце пособия приведен библиографический список, содержащий названия работ, непосредственно использованных при написании учебного пособия, а также других работ по теории упругости, которые представляют интерес в изучении материала.

Предполагается, что студент владеет основными навыками математического анализа, знаком с теорией функции комплексного переменного и теорией решения дифференциальных уравнений высших порядков.

5

ВВЕДЕНИЕ

В современных конструкциях наряду с материалами, обычно принимаемыми при расчетах за однородные и изотропные, для изготовления деталей используются и анизотропные материалы, у которых наблюдается резкое различие в упругих свойствах для разных направлений. Примером таких материалов может служить натуральная древесина. Общеизвестно, что модуль упругости древесины при растяжении вдоль волокон значительно больше соответствующего модуля при растяжении поперек волокон, и что упругие постоянные ее зависят от направления по отношению к древесным волокнам. Анизотропными (и притом неоднородными) являются синтетические материалы, применяемые в самолетостроении: дельта-древесина, авиа-фанера, текстолит, стеклопластики и др. Анизотропией упругих свойств обладают кристаллы и некоторые горные породы. Кроме деталей, изготовленных из материалов, обладающих анизотропией, зависящей от внутреннего строения («естественной» анизотропией), в современных конструкциях используются элементы с так называемой конструктивной или искусственной анизотропией. К последним относятся пластинки и оболочки из изотропного материала, которым придана волнистость путем гофрирования или усиленные часто поставленными ребрами.

Для того чтобы рассчитывать на прочность анизотропные детали, испытывающие упругие деформации, необходимо уметь определять напряжения и деформации в анизотропных телах теоретическим путем, т.е. решать задачи теории упругости анизотропного тела. При решении задач о распределении напряжений и деформаций в анизотропном теле нужно исходить из уравнений теории упругости, учитывающих различие упругих свойств для разных направлений. С подобными задачами может встретиться конструктор, а также специалист горного дела и физик, работающий с кристаллами.

6

1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

1.1. Напряженно-деформированное состояние сплошного тела

При изучении напряженного и деформированного состояния анизотропных тел, вызванного какой-либо внешней нагрузкой, принимается ряд предположений и ограничений. Важнейшие из них сводятся к следующим:

1.Тело является сплошным (сплошной средой), причем напряжения на любой площадке внутри и на поверхности являются силами, отнесенными к единице площади. Иначе говоря, моментными напряжениями, которые вводятся в ряде современных работ, можно пренебречь, как это делается в классической теории упругости.

2.Связь между компонентами деформации и проекциями перемещения и их первыми производными по координатам является линейной, т.е. рассматриваются только малые деформации.

3.Между компонентами напряжений и деформаций существуют линейные зависимости, т.е. материал подчинен обобщенному закону Гука, причем коэффициенты этих линейных зависимостей могут быть как постоянными (однородное тело), так и переменными функциями координат, непрерывными или прерывными (в случае неоднородного тела).

4.Начальные, т. е. существующие без внешней нагрузки напряжения, в том числе и температурные, не учитываются; задачи динамики не рассматриваются.

Таким образом, можно подойти к теории упругости анизотропного тела с позиций классической линейной теории упругости однородного или неоднородного тела.

При рассмотрении конкретных задач потребуются в основном декартовы или цилиндрические ортогональные координаты и лишь в отдельных случаях – сферические.

7

Координаты точек в трехмерном пространстве будут обозначаться для декартовой системы координат так: х, у, z. Этими же буквами будут обозначаться и координатные направления.

На площадках, нормальных к координатным направлениям, действуют напряжения, каждое из которых раскладывается на три составляющие – нормальную (нормальное напряжение) и две касательные (касательные напряжения). Нормальные напряжения обозначаются буквой σ с одним индексом, указывающим направление нормали к площадке (и напряжения). Касательные напряжения обозначаются буквой τ с двумя индексами (направление нормали к площадке и направление напряжения). На площадках, нормальных к осям декартовой системы координат, имеются составляющие

напряжений: σ x ,τ xy ,τ xz ,τ yz ,σ y ,τ yz ,τ xz ,τ zy ,σ z .

Составляющие напряжений образуют тензор напряжений (второго ранга); он часто записывается в виде матрицы, которая из соображений равновесия бесконечно малого элемента тела оказывается симметричной (а тензор, следовательно, оказывается симметричным):

σx ,τ xy ,τ xz

τxy ,σ y ,τ yz .

τxz ,τ yz ,σ z

На рис. 1 показаны площадки, нормальные к координатным направлениям х, y, z декартовой системы координат.

z σ z

σ x

x

Рис. 1. Направление положительных напряжений

8

Составляющие напряжений на площадках принимаются положительными. Зная составляющие напряжений в точке (из которых независимых будет, следовательно, только шесть) на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через какую-нибудь точку тела, можно определить напряжения на любой четвертой площадке, проходящей через ту же точку. При обозначении через n нормали к четвертой площадке и через X n , Yn , Zn проекции напряжения, действующего на эту площадку, на оси x, y, z имеются три формулы, по которым и определяются искомые проекции:

X n = σ x cos(n, x) + τ xy cos(n, y) + τ xz cos(n, z) ,

Yn = τ xy cos(n, x) + σ y cos(n, y) + τ yz cos(n, z) ,

Zn = τ xz cos(n, x) + τ yz cos(n, y) + σ z cos(n, z) .

Аналогичные формулы можно записать в цилиндрических, сферических и других криволинейных координатах. Кроме декартовых, встретятся только цилиндрические и сферические координаты.

Проекции перемещения точки на оси декартовых координат обозначаются следующим образом: u, v, w.

Деформация тела в окрестности данной точки характеризуется составляющими деформации – тремя относительными удлинениями и тремя относительными сдвигами. Первые три обозначаются буквой ε с индексом, указывающим первоначальное направление отрезка, который удлиняется или

изменение угла между отрезками, первоначальные направления которых были х и y.

Составляющие деформации εi и ε ij = 1/ 2γ ij образуют симметричный тензор второго ранга. Будучи записанным с помощью матрицы, он для декартовой системы имеет вид

9

εx ,ε xy ,ε xz

εxy ,ε y ,ε yz .

εxz ,ε yz ,ε z

Связь между деформациями и перемещениями (соотношения Коши):

где X, Y, Z – массовые силы.

1.2.Обобщенный закон Гука

Вобщем случае анизотропии каждая составляющая деформации является линейной функцией всех шести составляющих напряжений. Рассматривается однородное тело, обладающее анизотропией самого общего вида. Отнеся его к декартовой системе координат, положение которой пока не уточняется, необходимо записать уравнения обобщенного закона Гука для этой системы (с очевидными сокращениями):