Теоретический курс механики анизотропного тела. Учебное пособие

Упругий потенциал, через который определяется внутренняя энергия упругого деформирования, представляет собой квадратичную функцию

В общем случае анизотропии с геометрической точки зрения число независимых упругих констант равно 21, однако физические эксперименты показывают, что даже у «самого анизотропного» тела число независимых констант равно 18.

Обобщенный закон Гука, выраженный через технические константы:

направлении одной оси, при растяжении в другой (например, для коэффициента ν yz , y – направление растяжения, x – направление сужения); μyz,zx , …, μyz,zx –

коэффициенты Ченцова, характеризующие сдвиги в плоскостях, параллельных координатным, вызванные касательными напряжениями, действующими в

11

других плоскостях, параллельных координатным; η yz,x , …, η xy,z –

коэффициенты взаимного влияния первого рода, характеризующие удлинения в

взаимного влияния второго рода, выражающие сдвиги в координатных плоскостях от нормальных напряжений, действующих в направлении координатных осей.

1.3. Основные случаи упругой симметрии

Если в структуре материала наблюдается симметрия, то симметрия будет и в упругих свойствах. Такой симметрией обладают кристаллические (горные породы) и волокнистые (древесина, фанера) материалы. Обобщенный закон Гука в этом случае упрощается, т.к. некоторые упругие константы равны нулю.

Плоскость упругой симметрии. Через каждую точку тела проходит плоскость, обладающая следующим свойством: любые два направления симметричные относительно этой плоскости, обладают симметрией в отношении упругих свойств. Как правило, эти плоскости параллельны одной плоскости. Направление, перпендикулярное к этим плоскостям называется главным.

Вводя систему координат x y z с осью z, совпадающей с главным направлением, можно получить следующее упрощение в упругих константах:

a14 = a24 = a34 = a46 = a15 = a25 = a35 = a56 = 0 ,

и число упругих независимых друг от друга констант сокращается до 13. Обобщенный закон Гука примет вид:

ε x = a11σ x + a12σ y + a13σ z + a16τ xy ,

γ yz = a44τ yz + a45τ xz , γ xz = a45τ yz + a55τ xz ,

12

поперечное сужение в плоскости изотропии при растяжении в той же

перпендикулярных плоскостям изотропии.

Изотропное тело. Все направления во всех точках тела являются эквивалентными в отношении упругих свойств, т.е. все направления являются

главными и E = E , , G = G, . Число независимых констант сокращается до двух. Обобщенный закон перетекает в закон Гука:

Кроме четырех распространенных случаев упругой симметрии, существует еще ряд других. Типичными здесь являются виды симметрии монокристаллов различных элементов и металлов. Существует всего 32 вида геометрической симметрии кристаллов, но число классов упругой симметрии равно девяти, т.к. одна и та же форма обобщенного закона Гука соответствует нескольким случаям геометрической симметрии.

1.4. Перерасчет коэффициентов упругости при переходе к новым осям

При определении упругого состояния анизотропных тел на практике приходится сталкиваться со следующей ситуацией: известны упругие

14

константы для некоторой системы координат x y z и требуется найти упругие константы относительно других осей x, y, z, , повернутых на угол ϕ вокруг общей оси z = z, . Для ортотропного материала обычно задают модули упругости в направлении главных осей, но в задачах по оптимизации геометрии тела часто приходится сталкиваться с обозначенной задачей.

Пусть aij – заданные упругие постоянные для координатной системы xy, а aij, – упругие константы для новых осей, повернутых на угол ϕ относительно первых (рис. 2). Предполагается, что главных направлений в плоскости расположения осей нет.

y’ y

x’

y’

z

Рис. 2. Расположение систем координат

Обобщенный закон Гука и упругий потенциал для первоначальной системы координат имеет вид (1.1) и (1.2) соответственно. Для новой системы:

15

Вводя косинусы и опуская промежуточные выкладки, можно записать окончательные выражения для упругих констант относительно новых осей:

16

+ (−2a14 + 2a24 − a56 )sin 2 ϕ cosϕ − a46 sin 3 ϕ , a13, = a13 cos2 ϕ + a36 sinϕ cosϕ + a23 sin 2 ϕ ,

a36, = 2(a23 − a13 ) cosϕ sinϕ + a36 (cos2 ϕ − sin 2 ϕ ) , a23, = a13 sin 2 ϕ − a36 cosϕ sinϕ + a23 cos2 ϕ ,

a33, = a33 , a34, = a34 cosϕ − a35 sin ϕ , a35, = a34 sin ϕ + a35 cosϕ .

Если заранее известно, что материал ортотропен и геометрическая ось z совпадает с одним из главных направлений и требуется определить два других главных направления, то эти направления определятся, если разрешить четыре уравнения относительно ϕ :

Условия существования общих решений у этих уравнений запишутся так:

(a16 − a26 )[(a11 − a22 )2 − (a16 + a26 )2 ] = (a16 + a26 )(a11 − a12 ) ×

× (a11 + a22 − 2a12 − 212 − a66 ) .

Если хотя бы одно условие не выполняется, то тело не является ортотропным.

2.ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ

2.1.Обобщенное плоское напряженное состояние

Рассматривается равновесие однородной сплошной анизотропной упругой пластинки, находящейся под действием внешних и массовых сил. Внешние силы распределены по краю пластинки, массовые – внутри области. Пластинка обладает частным случаем анизотропии: в каждой точке имеется плоскость упругой симметрии, параллельная срединной плоскости. Усилия, приложенные к краю, действуют в плоскостях, параллельных срединной.

17

Деформации пластинки находятся в зоне упругих деформаций и срединная поверхность остается плоской, не депланирует. Такое состояние пластинки называется обобщенным плоским напряженным состоянием (рис. 3).

проекции поверхностных усилий, приложенных к боковой поверхности пластинки; X , Y – проекции объемных сил на единицу объема, причем

Zn = Z = 0 .

В обобщенном плоском напряженном состоянии рассматриваются средние по толщине напряжения, деформации и перемещения, которые выражаются через интегралы от соответствующих величин (напряжением σ x

пренебрегают):

Поля средних напряжений, деформаций и перемещений должны удовлетворять следующим уравнениям теории упругости:

Уравнения равновесия:

где X , Y – средние массовые силы, вычисляются аналогично, что и средние

напряжения.

18

Обобщенный закон Гука:

можно получить дифференциальное уравнение равновесия

Если массовые силы отсутствуют, то правая часть равенства равна нулю.

2.2. Плоская деформация

Рассматривается однородное анизотропное тело в виде цилиндра произвольного поперечного сечения, находящееся в равновесии под действием усилий, приложенных к боковой поверхности. Усилия распределены равномерно вдоль образующей цилиндра (рис. 4). Цилиндр обладает частной анизотропией – в каждой точке тела имеется плоскость упругой симметрии. Усилия вызывают малые деформации. Упругое состояние цилиндра, возникающее под действием таких нагрузок, называется плоской деформацией, т.е. зависящей от двух координат, например для перемещений: u = u(x, y) ,

v = v(x, y) , w = 0 .

19

y

O

z

Рис. 4. Анизотропный цилиндр

Все соотношения теории упругости, включая дифференциальное уравнение (2.2), для обобщенного напряженного состояния справедливы и для плоского деформированного состояния, только в обобщенном законе Гука (2.1) коэффициенты упругости aij нужно заменить на приведенные коэффициенты

Приведенные условия не учитывают граничные условия на концах цилиндра. Рассмотрим случай, когда торцы цилиндра конечной длины свободны от усилий, т.е. необходимо внести поправку в напряжение σ z ,

учитывающее приближенно на основании принципа Сен-Венана влияние граничных условий при приближении к торцам.

Совмещая начало координат с центром тяжести сечения, и направляя оси x и y вдоль главных осей инерции, определяются напряжения по описанным выше выражениям. Компонента σ z приведет к интегральному значению силы

P, направленной вдоль образующей:

P = ∫σ z dA ,

A

где А – площадь поперечного сечения.

20