Теоретический курс механики анизотропного тела. Учебное пособие

Рис. 18. Форма продольного сечения стержня

f = Pla33 = Pl .

S Ez S

2. Растяжение стержня под действием собственного веса. Пусть теперь стержень, изображенный на рис. 17, деформируется не силой, а собственным весом, тогда в качестве внешней нагрузки имеется:

X = Y = 0 , Z = γ ;

σ z = γ (l − z) , σ x = σ y = σ z = τ yz = τ xz = τ xy = 0,

где γ – удельный вес материала.

Для тех же кинематических граничных условий, что и в предыдущей задаче, имеются компоненты перемещения:

u= γ [−0,5a35 z 2 + (a13 x + 0,5a36 y(l − z))],

v= γ [−0,5a34 z 2 + (a23 y + 0,5a36 y(l − z))],

w = γ [0,5(a13 x2 + a23 y 2 + a36 xy) + (a34 y + a35 x)l + 0,5a33 z(2l − z)] .

Поперечные сечения не остаются плоскими, а принимают форму поверхностей второго порядка.

В общем случае анизотропии ось искривляется, и уравнение изогнутой оси имеет вид

x, = −0,5γ a35 z 2 , y, = −0,5γ a34 z 2 .

41

При этом проекции перемещения центра нижнего конца стержня на оси координат:

f x = − 0,5γ l 2 a35 , f y = − 0,5γ l 2 a34 , f z = − 0,5γ l 2 a33 .

3. Сдвиг. Однородный стержень в форме прямоугольного параллелепипеда находится в равновесии под действием касательных усилий, равномерно приложенных к его граням (рис. 19); l, b, h – длины ребер стержня, t – поверхностное усилие. Необходимо найти компоненты вектора перемещения, удлинение оси стержня, объемное расширение и изменение объема тела.

y t

b

O

l fz

Рис. 19. Сечение стержня плоскостью yz

Оси координат расположены параллельно ребрам (рис. 19). В общем случае анизотропии компоненты тензора напряжений и деформаций определяются по зависимостям:

τ yz = t , σ x = σ y = σ z = τ xz = τ xy = 0 ;

ε x = ta14 , ε y = ta24 , ε z = ta34 , γ xz = ta45 , γ xy = ta46 .

Путем интегрирования деформаций с учетом начальных условий: u = t(a14 x + 0,5a46 y) , v = t(0,5a46 x + a24 y) ,

w = t(a45 x + a44 y + a34 z) .

Прямоугольный стержень примет форму косоугольного параллелепипеда. Плоские сечения остаются плоскими и в деформированном состоянии. Расстояние между гранями изменится, т.е. происходит удлинение волокон, например вдоль оси z оно определяется:

42

f z = tla34 .

Объемное расширение

θ = ε x + ε y + ε z = t(a14 + a24 + a34 ) .

Изменение объема тела V определяется так:

V= tlbh(a14 + a24 + a34 ) .

3.2.Изгиб стержня моментами

Рассматривается упругое равновесие однородного сплошного стержня произвольной формы поперечного сечения из материала, обладающего анизотропией упругих свойств общего вида. К торцам стержня приложены усилия, приводящие к изгибающим моментам M x , действующим в главной плоскости zy (рис. 20). Ось y – одна из главных осей инерции; l – длина стержня; I x – момент инерции сечения относительно оси x. Необходимо определить компоненты вектора перемещений, уравнение изогнутой оси и наибольший прогиб.

z

O’

l

f y

x

M1 O

y

Рис. 20. Изгиб анизотропного стержня

В случае общей анизотропии, причем прямолинейной, напряжения имеют

вид

43

Деформации определяются из обобщенного закона Гука:

Перемещения определяются путем интегрирования деформаций, а постоянные, возникающие в процессе интегрирования, определяются из условий закрепления торцов.

Консольное закрепление (рис. 20). Торец стержня z = l закреплен, другой, z = 0 , свободен.

При x = y = 0 , z = l , необходимо выполнить следующие условия:

u = v = w = 0 , ∂u = ∂v = ∂v − ∂u = 0 . ∂z ∂z ∂x ∂y

Окончательно:

u= M x [2a13 xy + a36 y 2 − a35 y(l − z)], 2I x

Изогнутая ось стержня имеет форму плоской параболы

y, = − M x a33 (l − z)2 . 2I x

Уравнение, связывающее кривизну изогнутой оси с изгибающим моментом, для анизотропного стержня имеет вид

44

Наибольший по величине прогиб образуется на свободном конце и определяется по формуле

В отличие от изотропного стержня, изгиб анизотропного сопровождается закручиванием с углом

Балка на двух опорах. Имеется шарнирно закрепленная балка на двух опорах. По краям балки приложены моменты M x , вызывающие чистый изгиб

(рис. 21).

Этих условий не достаточно для определения всех неизвестных, можно предположить, что в опоре О (совпадает с началом координат) вращение близкого к опоре балки элемента отсутствовало, т.е. к условиям x = y = z = 0 ,

добавится условие, отвечающее за поворот этого элемента:

∂v − ∂u = 0 . ∂x ∂y

После интегрирования, аналогично предыдущему, имеются компоненты перемещения:

u= M x (2a13 xy + a36 y2 + a35 yz) , 2I x

45

v= M x [−a13 x2 + a23 y2 + a33 (lz − z 2 ) − a35 xz] , 2I x

w= M x [a35 xy + a34 y2 + a33 y(2z − l)] . 2I x

Уравнение изогнутой оси

y, = M x a33 (lz − z 2 ) .

2I x

Наибольший прогиб образуется в середине пролета балки и определяется по формуле

Выражения для определения кривизны изогнутой оси балки и угла закручивания ϑ такие же, как и для консольно закрепленной балки (3.1) и (3.2) соответственно.

Если моменты приложены в другой главной плоскости xz, то распределение напряжений изменится в силу анизотропии упругих свойств:

Угол закручивания ϑ = M y a34 . 2I y

При совместном действии моментов в двух взаимно ортогональных плоскостях угол закручивания определяется по формуле

Если необходимо избавиться от закручивания при действии изгибающих моментов, то последние нужно подобрать, удовлетворяя зависимости (3.3) при

ϑ = 0 :

M x a35 I y = M y a34 I x .

46

3.3.Изгиб анизотропной консоли сосредоточенной силой

1.Консоль эллиптического сечения. Рассматривается консольно закрепленная балка эллиптического сечения с полуосями а, b из материала, обладающего анизотропией общего вида (21 независимая константа aij ). Балка

изгибается силой Р, направленной по одной из главных осей (рис. 22).

z

y

Рис. 22. Изгиб анизотропной консоли

где S – площадь поперечного сечения. Функции напряжений имеют вид

Постоянные p, q, r находятся из уравнений:

где c = a / b ; g1 , g2 , g3 выражаются через упругие константы материала:

Следует отметить, что в случае общей анизотропии все шесть компонент тензора напряжений не будут равны нулю.

Для ортотропной консоли с плоскостями упругой симметрии, нормальными к ее оси и параллельными плоскостям симметрии эллиптического цилиндра, при условии, что a45 = a36 = 0 и r = 0 :

Наибольшей величины касательное напряжение достигает в центре сечения, где оно определяется по формуле

48

σ z в случае ортотропного стержня достигает максимума в заделанном сечении z = l в точках y = ±b .

2. Консоль прямоугольного сечения. Рассматривается ортотропная консольно закрепленная балка прямоугольного в плане сечения. Совместим начало осей координат x, y, z с центром тяжести свободного торца (геометрический центр). Плоскости упругой симметрии параллельны граням прямоугольного стержня (рис. 23).

z

y

Рис. 23. Изгиб консоли прямоугольного сечения Решение задачи получено Сен-Венаном. Выражения для напряжений

выглядят так:

где момент инерции I = ab3 /12 , а уравнение для функции ψ

получить следующее:

Касательные напряжения в центре сечения ( x = 0 , y = 0 ) и в точках A и

A1 на серединах сторон, параллельных силе ( x = ±a / 2 , y = 0 ), вычисляются по формулам:

Коэффициенты β0 и β A – функции отношения d, заданные рядами: 50