Теоретический курс механики анизотропного тела. Учебное пособие

В точках A и A1 при ϕ = 0

Распределение напряжений в анизотропной пластинке гораздо более сложное, чем распределение в изотропной.

5.3.Исследование напряжений в ортотропной бесконечной пластинке

скруговым вырезом

Рассматривается равновесие ортотропной пластинки с круговым вырезом радиуса а под действием внешних сил, приложенных к удаленным от отверстия краям пластинки.

Начало координат совмещено с центром отверстия. Оси x и y совпадают с главными направлениями упругости ортотропного материала. Для главных

Далее будут использованы следующие формулы: 71

Рассмотрим частные случаи нагружения пластинки из фанеры первого типа, для которой

μ1 = 3,08i , μ2 = 1,12i , n = 4,2 , если ось х направлена вдоль волокон рубашки, и μ1 = 0,32i , μ2 = 0,89i , n = 1,21, если ось х направлена поперек волокон.

1. Равномерное давление, действующее на контур отверстия. По контуру отверстия распределены равномерные нормальные усилия q,

Круговое отверстие деформируется в эллиптическое с полуосями a, и b, :

На рис. 38 показано распределение напряжения σθ по краю отверстия,

ось х параллельна волокнам рубашки. Наибольшее значение составляет 1,2 q ,

наименьшее 0,75 q .

Здесь и далее на графиках значения σθ отложены на продолжениях радиусов круга с отсчетом от контура круга. Положительные значения указаны стрелками, направленными от контура круга, отрицательные – к контуру. На каждом графике показывается схема нагружения. Штриховая линия показывает распределение напряжений в изотропной пластинке.

q

Рис. 38. Эпюра σθ в случае равномерного давления

2. Касательные усилия, равномерно распределенные по контуру отверстия. По краю отверстия равномерно распределены усилия t,

приходящиеся на единицу площади.

Круговое отверстие в деформированном состоянии представляет собой эллипс.

В изотропной пластинке σθ = 0 .

На рис. 39 представлено распределение σθ по краю отверстия. Ось х направлена вдоль волокон рубашки.

73

74

направления растягивающих усилий. Наибольшее напряжение получается не по краю отверстия, а в двух других точках, симметричных относительно центра отверстия.

В изотропной пластинке σθ = p[1 − 2cos 2(θ − ϕ)] .

На рис. 41 показано распределение σθ вдоль края отверстия в пластинке при растяжении под углом 45O к главному направлению. Ось х параллельна волокнам рубашки. Точки, в которых σθ = 0 , определяются углами θ = 33O , 87O , 213O , 267O .

y

y

x

45O

σθ

p

87O

x

33O

p

Рис. 41. Распределение напряжений при растяжении под углом 45O

75

Наибольшее напряжение получается в точках θ = 110O и 290O и равно 3,9 ð , тогда как в изотропной пластинке в этих же местах 3 ð .

4. Растяжение в главном направлении. Пластинка растягивается усилиями р, приходящимися на единицу площади. Направление усилий совпадает с одним из главных направлений упругости х (рис. 42).

В1

Рис. 42. Растяжение пластинки в главном направлении

Распределение напряжений получается симметричным относительно главных осей. Наибольшее напряжение получается в точках контура на главной оси.

В точках А и А1

в точках B и B1

σθ = р(1 + p) .

Отверстие круглой формы в деформированном состоянии представляет собой эллипс с полуосями:

76

На рис. 43 показано распределение напряжений по краю отверстия при растяжении пластинки вдоль волокон рубашки.

y

y

39O

x

p

Рис. 43. Распределение напряжений при растяжении вдоль волокон

В точках А, А1 σθ = −0,29 р; в точках B , B1 σθ = 5,2 р. Точки, в которых

σθ = 0 , получаются при θ = ±39O , ± 141O .

Если пластинка растягивается усилиями, действующими поперек волокон, то картина распределения напряжений меняется (рис. 44); ось х направлена поперек волокон.

В точках А, А1 σθ = −3,4 р ; в точках B , B1 σθ = 2,2 р . Растягивающие напряжения по величине превосходят сжимающие. Точки, в которых σθ = 0 ,

получаются при θ = ±20O , ± 160O .

77

20O

x

p

Рис. 44. Растяжение пластинки поперек волокон

5. Всестороннее растяжение. Пластинка растягивается равными по величине усилиями p (всестороннее растяжение).

В случае изотропной пластинки σθ = 2 p .

На рис. 45 показано распределение напряжения σθ по контуру отверстия в пластинке из фанеры первого типа; ось х направлена вдоль волокон рубашки. Наибольшее напряжение составляет σθ = 2,2 p и действует не на главных осях упругости.

78

x

а x

p

Рис. 45. Всестороннее растяжение пластинки

6. Стесненное сжатие. Прямоугольная ортотропная пластинка с круговым вырезом сжимается в главном направлении, но не может расширяться в поперечном направлении (края защемлены).

Поставленная задача представляется как всестороннее сжатие усилиями р

На рис. 46 показано распределение напряжения σθ в данном случае.

79

y

y

x

σθ p

p

σθ = −2,75 р .

7.Сдвиг. Пластинка деформируется приложенными на достаточном удалении от отверстия распределенными касательными усилиями s, приходящимися на единицу площади, параллельными главным направлениям

(рис. 47).

Напряжение σθ имеет вид